人教版八年级上册第十二章全等三角形专题复习盘点

1、人教版八年级数学上册第十二章全等三角形专题复习盘点全等三角形是中考设计考点密度较大的一章，全面、规范、有效复习掌握全等三角形的知识，把握考点，消除易错点，训练提升问题解决能力，是复习的最高目标.一、重点难点1.重点：（1）准确掌握三角形全等的基本判定方法，并能灵活运用证明三角形的全等；（2）熟练运用三角形全等的性质，并能以此进行线段的长度，线段的相等，角的大小计算等计算;（3）准确掌握角的平分线的性质和逆性质，为基本计算题的顺利完成提供支撑；（4）掌握直角三角形全等的特别判断方法，注意方法的使用条件，不能随意使用.2.难点：（1）全等三角形证明中的判定方法的选择；（2）全等三角形性质的活用.(

2、3)全等三角形的构造与证明.二、高频考点考点1三角形全等判定定理的运用例1 (2019年邵阳)如图1，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件是 （不添加任何字母和辅助线）分析：A=A，AD=AE，可添加AB=AC，此时满足SAS；添加条件ADC=AEB，此时满足ASA；添加条件ABE=ACD，此时满足AAS.可以添加的条件：AB=AC或ADC=AEB或ABE=ACD.解：可以添加的条件：AB=AC或ADC=AEB或ABE=ACD.点评：这是一道条件添加开放题，是数学创新题型的代表之一，牢记全等三角形的判定方法是解题的关键考点2 三角形全等的性质例2 (2019年浙江省

3、温州市)如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CFAB交ED的延长线于点F（1）求证：BDECDF；（2）当ADBC，AE=1，CF=2时，求AC的长分析：把中线转化为一组等线段，为三角形全等提供条件；利用平行线的性质，提供等角，为三角形的全等提供角元素.解：（1）证明：CFAB，B=FCD，BED=F，AD是BC边上的中线，BD=CD，BDECDF（AAS）；（2）解：BDECDF，BE=CF=2，AB=AE+BE=1+2=3，ADBC，ADB=ADC， BD=CD，ADB=ADC，AD=AD，ADBADC（SAS），AC=AB=3点评：熟练运用三角形判定定理准

4、确判定三角形的全等，后借助三角形全等的性质，可以证明线段的相等，求线段的长.这是三角形全等的一种重要的题型，要熟练掌握.考点3 用角平分线性质，探求角的大小例3（2019大庆）如图3，在ABC中，BE是ABC的平分线，CE是外角ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若A=60°，则BEC是 （）A15°B30°C45°D60°分析：利用角平分线中，部分与整体的关系，外角与不相邻内角的关系可以实现解题的目标.解：BE平分ABC，EBM=ABC，CE平分ACM，ECM=ACM，BEC=ECM-EBM=×（ACM-ABC）=A=30

5、6;，选B点评：直接用分等角等于原角的一半是解题的关键.此题也可以引申为一个一般性结论用.在ABC中，BE是ABC的平分线，CE是外角ACM的平分线，BE与CE相交于点E，那么BEC=A.考点4 结论判断中的全等与角的平分线例4（2019滨州）如图4，在OAB和OCD中，OA=OB，OC=OD，OAOC，AOB=COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM下列结论：AC=BD；AMB=40°；OM平分BOC；MO平分BMC其中正确的个数为 （）A4B3C2D1分析：AOB=COD=40°，AOB+AOD=COD+AOD，即AOC=BOD，在AOC和BOD中，A

6、OCBOD（SAS），OCA=ODB，AC=BD，正确；OAC=OBD，由三角形的外角性质得：AMB+OAC=AOB+OBD，AMB=AOB=40°，正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图4所示，OGC=OHD=90°，在OCG和ODH中，OCGODH（AAS），OG=OH，MO平分BMC，正确；正确的个数有3个.解：选B.点评：探索结论将是数学学习与探究的重要内容，是数学创新精神的熠光体现.考点5 全等中的计算综合例5 如图5，在ABC中，已知ABC60°，AD,CE分别是ABC的角平分线，且AD，CE交于点P.（1）求DPC的度数； （2）若AE=3,CD=

7、8，求AC的长.分析：（1）运用三角形的内角和定理，角平分线性质定理，三角形外角和定理即可求得；（2）采用截长法，运用上述学到性质和方法可以计算出AC的长度.解：（1） ABC60°，BAC+ACB120°，AD,CE分别是ABC的角平分线， BAC+ACB60°即DAC+ECA60°，DPC是APC的一个外角，DPC=DAC+ECA，DPC60°；（2）在AC上截取CF=CD，CE平分ACB，PCF=PCD，PC=PC，PCFPCD，CD=CF, DPC=FPC60°，EPA=FPA60°，AD平分BAC，EAP=FAP，

8、APAP，APEAPF（ASA），AE=AF，AC=AF+CF，AC=AE+CD=3+8=11.点评：这是全等三角形性质，角的平分线性质的具体应用，同时解答的过程中，也为同学们提供了一种证明一条线段等于其余两条线段和的重要方法-截长法，希望同学们能熟练掌握这种解题方法并能灵活运用.考点6 直角三角形全等的证明例6（2019年黄石）如图6，在ABC中，BAC=90°,E为BC上的点，且AB=AE，D为线段 BE的中点，过点E作EFAE,过点A作AFBC,且AF、EF相交于点F.（1）求证：C=BAD；（2）求证：AC=EF.分析：本题第一问涉及两角相等的证明方法，解答时，同学们要仔细观

9、察两个角的位置关系，根据角的位置关系去选择解题方法，常用方法如下：1.同角或等角的余角相等；2.两角分局两个三角形 全等三角形的对应角相等；3.遇到平行线 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等.第二问，涉及证明线段的相等，常用的方法是三角形全等法.解：（1）方法1：AB=AE，D为线段 BE的中点，BD=DE，AD=AD，ABDAED（SSS），ADB=ADE=90°, C+DAC=90°；BAC=90°, BAD+DAC=90°,C=BAD；方法2：AB=AE，D为线段 BE的中点，BD=DE，AD=AD，ABDAED（SSS），ADB=AD

10、E=90°,ADBE, AFBC, ADAF，FAC+DAC=90°；BAC=90°, BAD+DAC=90°,FAC=BAD,AFBC,FAC=C，C=BAD；（2）ABDAED（SSS），EAD=BAD，C=EAD=BAD.EFAE,FEC+AED=90°,EAD+AED=90°,FEC=C=EAD=BAD.AFBC,FEC=F，F=C，AB=AE, BAC=AEF=90°,BACAEF（AAS），AC=EF.点评：直角三角形是特殊的三角形，三角形全等的判定方法都适合直角三角形.考点7 垂直转型为直角三角形全等例7（20

11、19贵州省铜仁市）如图7，AB=AC，ABAC，ADAE，且ABD=ACE求证：BD=CE分析：将一般性条件特殊化也是数学创新的有效方式之一.证明：ABAC，ADAE，BAE+CAE=90°，BAE+BAD=90°，CAE=BADAB=AC，ABD=ACE，ABDACE（ASA）BD=CE点评：将一般角变式直角，利用互余关系提供三角形全等需要的角元素是解题的关键.这种一般与特殊的解题思想也是数学学习的重要思想之一.三、易错点剖析1.忽视概念的条件致错例1 判断正误 （1）大小相同的两个图形叫做全等形 （ ）（2）能够重合的两个三角形叫做全等三角形（ ）错解：（1）正确；（2

12、）正确.错因剖析：全等形的描述有两种方式，一种是从形状和大小两个角度着手描述，一个从图形的重合度角度描述，形状、大小相同的两个图形是全等形；能够完全重合的两个三角形是全等三角形，注意：用重合式描述全等形时，必须加上“完全”两个字，否则描述都是错误的.正解：（1）错；（2）错.2.对应关系理解不准致错例2 如图1，已知，OCAOBD，A=28°,OD=3cm,则 =A=28°, =OD=3cm.错解：（1）B或BOD（2）AC或OC.错因剖析：全等三角形的对应点应该写在对应的位置上，当用这些对应点描述对应边，对应角时，对应点必须写在相同的位置上，否则，就不是对应点，写出的答案

13、也就是错误的.正解：OCAOBD，1号位是O,O；2号位是C，B；3号位是A，D，A与D是对应角，二角相等即D =A=28°；OA与OD是对应边即OA=OD=3cm.3. 错用AAA来判断三角形全等致错例3 如图1，已知，OCA和OBD中，D =A，B =C.则OA与OD相等吗？给出说明.错解：OA=OD.理由如下：D =A，B =C，DOB =AOC（对顶角相等）OCAOBD，OA=OD（全等三角形的对应边相等）.错因剖析：乍看似乎很合理，细看就知完全不可能，三角形的全等判定方法中，有一个共同的特点，判定的三个元素中，必须有一个元素是边，而这种方法恰恰没有满足这一硬件，所以这种判断

14、是不科学的，不正确的，由此得到的结论也一定是错误的.正解：不一定相等.理由：不能判断两个三角形全等，不能下结论.4.不能区分判定方法的使用条件致错例4如图2，点B，F，C，E在同一直线上，AC,DF相交于点G，ABBE，垂足为点B，DEBE，垂足为点E，且AB=DE,BF=CE.求证：ACB=DFE.错解：BF=CE，BF+FC=CE+FC, .BC=EF.在ABC和DEF中:AB=DE，BC=EF， ABCDEF， ACB=DFE.错因剖析：根据已知条件，可以判定ABC、DEF是直角三角形，但其斜边并无相等条件，不能用“HL”判定这两个三角形全等. 正解：ABBE于点B，DEBE于

15、点E，.ABC=DEF=90°.又BF=CE，.BF+FC=CE+FC,即BC=EF.在ABC和DEF中: AB=DE， ABC=DEF， BC=EF，.ABCSADEF(SAS).ACB=DFE.5.用部分等量替代整体线段的相等致错例5 如图3，如图，在AFD和CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，B=D，AD/BC，求证：AD=BC.错解：AD/BC，A=C.在ADF和CBE中: A=C，D=B, AE=CF，ADFCBE(AAS).AD=BC(全等三角形的对应边相等）.错因剖析：没有认真结合图形分析条件，错把三角形边上的一部分当作全边

16、来证明，不符合“AAS”的条件，审题和读图是解平面几何题的重要准备工作，正确地读图能帮助同学们更准确地理解题意，找准条件，进而选择合适的解题方法，如证题前将原图分解成两个三角形进行分析，则可避免出现上述错误的出现. 正解：AD/BC，.A=C，AE=CF，AE+EF=CF+EF，即AF=CE. D=B，在ADF和CBE中: A=C， AF=CE，.ADFQCBE(AAS) AD=BC.6.对点到直线的距离理解不准致错例6 如图4，射线OC是AOB的平分线，点P是OC上的一点，PDOA于点D，交OB于点F，PEOB于点E，点M是OB上一点，且ME=EF，连

17、接PM.若PD=3cm.写出图中可求的线段.错解：根据角的平分线性质，知可求的线段有：PM，PE，PF，MF.错因剖析：角的平分线在使用时，要满足如下的几个条件：（1）有角的平分线这一射线； （2） 动点必须在角的平分线上；（3）动点向角的两边引作垂线；（4）构成的两条垂线段叫做距离，是相等的.正解：图中可求的线段有：PE.理由如下：射线OC是AOB的平分线，点P是OC上的一点，PDOA，PEOB，PD=PE.PD=3cm，PE=3cm.四、思想方法通过全等三角形的复习学习，同学们需要掌握如下数学思想：1.等量代换思想.常见模型有如下两种：（1）若a=b，则a±c=b±c;

18、(2)若=，则±=±.2.一般与特殊思想，全等三角形判定的判定方法使用一切三角形，而直角三角形的“HL”法只能使用于直角三角形.3.分类思想，在证明三角形的全等时，要根据已知条件，对照判定方法，分类选择证明方法.4.类比思想，类比记忆三角形全等判定方法，类比掌握判定方法，这是一种高效而简便的学习方法，记忆方法.学习需要把握灵魂.五、牛刀小试1. （2019·贵州安顺）如图1，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是 （）AADBACDFCABEDDBFEC2. （2019黑龙江省齐齐哈尔市）如图2，已知在ABC和DEF中，BE，BFCE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使ABCDEF，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）3. （2019年淄博）已知，在如图3所示的“风筝”图案中，AB=AD，AC=AE，BAE=DAC求证：E=C4. （2019江苏无锡）如图4，在ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BD=