短时傅立叶变换[演示模板、实例]

1、 短时傅立叶变换对Fourier变换的修补Fourier变换的不足：n对处理非线性问题力不从心。n不能表征随时间变化的频率。n变换在无限的时域上进行。n不具有灵活可变的时间_频率窗。基本原理：n通过将信号截断来表征信号的时变频谱现象。n截断函数（窗函数）会扰乱信号的特性。短时Fourier变换示意图数学描述：1.( )2.( )( ) ()( )( )0tttg tssgtstst选择一个中心在 的窗函数；改变函数使接近远离223.( )1 ( )( )21( ) ()2( ,)( )|1|( ) ()|2tjttjsptjsssedsgt edPtssgt ed对函数作傅立叶变换因此，在t时

2、刻信号的能量密度频谱是|频谱图特点：n原理简单明确n有合理的物理意义n计算容易。问题：n窗函数对信号的干扰n窗函数的时宽不能太小n窗函数的优化与选取特性分析：n总能量22222222( ,)|( )| ()| |( )|(|( )| ()|)|( )|sptEPtdtdsdtdstgdtdgstdt dgdsg推论：n（能量守恒定理） 若窗函数的能量为1，则短时傅立叶变换后的能量不变。边缘分布特性：2*()*22( )( ,)|( )|1( ) ()( )()2( ) ()( )() ()( )( ) ()()| ( )| |()|sptjP tPtdsdsgt sgt ed d dsgt s

3、gtd dssgt gt dsgtd 边缘分布特性：222( )( ,)|( )| ()| |()|sptPPtdtsdtsgd同样，频率边缘分布为：22( ) | ( )|( ) | ( )|P ts tPs重构定理：2( )L R( )( ) ()j ts ts tsg ted d 若（ ），则重构定理的证明：*( )( ) ()( ) ()(,)()(,)() ()()()j tj tj ttjtts tsg ted dsg tdedsgdedssggge =其中：重构定理的证明：*2()()222( )() ()()()|()|()|()|( )|()|( ) |()|( )jtj t

4、jtjts tsggededsgeddsedgds tgds tgds t 所以：结论：n短时傅立叶变换具有完备性和稳定性。短时傅立叶变换的窗口特性：000,0( )( )(),( )()jttg tg tgtgteg tt设是对称实函数，即对其平移和频率调制000000000( ),1 ()( ) ()21( )( )2,jttts tssgt edsgds g 0，的短时傅立叶变换在t的值短时傅立叶变换的窗口特性：短时傅立叶变换的窗口特性：n结论： 短时傅立叶变换在时频平面上具有短时傅立叶变换在时频平面上具有不变的分辨率。不变的分辨率。短时傅立叶变换的窗口特性：短时傅立叶变换频率窗口参数：

5、20102(1)()1|(0)|2()A=10log|(0)|:()()pggggpgO带宽：（均方带宽）： 满足旁瓣：渐进衰减指数常见窗口函数的特性：名称函数表达式宽度旁瓣A衰减指数矩形10.89-13dB0Hamming0.54+0.46cos(2t)1.36-43dB0GaussianExp(-18t2)1.55-55dBHanningcos2(t)1.44-32dB2Blackman0.42+0.5cos(2t)+0.08cos(4t)1.68-58dB2常见窗口函数：例：202021/42()1/421/420( ),( )()1 ( )( ) ()21()2( )(),atjtjt

6、atjjatas teg tessgt edaeeedag tet 正弦波在高斯窗下的短时傅立叶变换：则：为时移 频移的傅立叶变换。20020()1/42()21/21 ( )()1( ,) |( )|()jtatasptseeaPtsea（ ）例：线性调频、二次调频和高斯调制函数的短时傅立叶变换时域形式短时傅立叶变换的时频形式短时傅立叶变换的时频相位离散短时傅立叶变换：n用离散傅立叶变换（DFT)一样的方法。可以研究离散短时傅立叶变换。2 ln01.( ) ( )( ) ( )2.( )()( ) ().( ) ()( )( , )( ) ()jNNns ts ng tg ns ng nms n g nms n g nmDSTFT s m ls n g nm e将信号和窗函数离散