2020年中考复习 将军饮马问题 讲义

1、将军饮马(作对称点求最短线段终极版)背景知识：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今常用知识点： 两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，轴对称，平移；解题思路： 找对称点，变折线为直线。常见模型：一、两定点一动点型：如图：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小。解题思路

2、：连接AB，与直线的交点为点Q，即此时点 P运动到点Q处，最小值为AB.证明：运用三角形三边关系：两边之和大于第三边， 当A、P、B三点共线可取等于。 在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.解题思路：作定点B关于直线的对称点C,连接AC,交 直线于点Q，当点P运动到点Q，最小值为AC.证明：关键是作其中一个定点的对称点，使得PB=PC，求 PA+PB的最小值，即求PA+PC的最小值。再转化为上述题型。引申1：此题型也可以求值最大。解题思路：延长AB交直线于点Q,当点P运动到点Q，最大值为AB.证明：三角形任意两边之差小于第三边，当A、B、P三点

3、共线可取等于.(提示：如果两定点不在直线的同侧，可以作其中一个定点关于直线的对称点)引申2：此题型也可以求值最小。解题思路：连接AB，作AB的垂直平分线角于点P.证明：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，可得 PA=PB二.两动点一定点型（两动点在角的两边上）如图，在MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得BAC周长最短解题思路：作点A关于OM的对称点，作点A关于ON的对称点 ，连接，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，此ABC周长最短证明：两点之间，线段最短变式1：如图：在MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得ABBC最短

4、解题思路:作点A关于OM的对称点，过点作ON，交OM于点B，交ON于点C,即为所求。此ABBC最短值为证明：垂线段最短。变式2：如图在MON的内部有两点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短解题思路：作点A关于OM的对称点，作点B关于ON的对称点 ，连接，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，此四边形ABCD周长最短证明：两点之间，线段最短。变式3：如图，A为上一定点，B为上一定点，分别在和找一点M、N，使得AM+MN+NB的值最小。解题思路：作两个定点A、B分别关于、的对称点、连接,交于点N，交于点M，此AM+MN+NB的最小值为。证明：

5、两点之间，线段最短。三、.两动点两定点型（两动点在直线上，且之间的距离为定值）如图：已知A、B是两个定点，在定直线上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.解题关键：平移其中一个定点，再作它的对称点。解题思路1：将点A向右平移长度d得到点， 作关于直线的对称点，连接，交直线于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。此AM+MN+NB最小值为+MN.(先平移再对称)解题思路2:作关于直线的对称点，将点向右平移长度d得到点，连接交直线于点Q将点Q向左平移长度d，得到点P,此AM+MN+NB最小值为+PQ.(先对称再平移)证明：两点之间，线段最短。变

6、式1：如图正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF=2，连接CE，CF，则CEF周长的最小值为 解题思路1：作点C的对称点，即为图中的点A，将点A沿BD的方向平移长度为2，得到点,连接交BD于点F，再将点F沿BD方向平移2长度得到点E。此CEF周长的最小值为.解题思路2：先将点C沿BD的方向平移长度为，得到点 作点关于BD的对称点,连接交BD于点F， 再将点F沿BD方向平移长度得到点E。此CEF周长的最小值为.变式2：如图，菱形ABCD的边长为3，BAD=60°，点E、F在对角线AC上移动，（点E在点F的左侧），且EF=1,则DE+BF的最小值为？提示：此题可

7、以直接运用上述解题思路1。先对称再平移，点B关于AC的对称点为点D,将点D沿着AC的方向平移长度为1，得到点M,连接MB交AC于点F，再将点F沿着AC的方向平移长度为1，得到点E,此DE+BF最小值为BM，可根据勾股定理求得。四.造桥选址型：将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？模型建立：如图：直线l1l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CDl2, 且ACBDCD最短（CD=d）（点A为军,CD为桥，点B为瞭望台）解题思路:将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点,连接,此时四边形为平行四边

8、形，则=,连接DB,当三点共线时，ACBDCD最短，为证明：两点之间，线段最短，五、垂线段最短型：如图，在等边ABC中，AB = 6，ADBC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，求EM+EC的最小值解题思路:作点C关于直线AD的对称点，即点B，若此题E为定点， 直接连接BE，即EM+EC的最小值为BE（最典型的将军饮马问题)，此题E为动点，所以要过B点作AC的垂线，交AC于点H，交AD于点M。此时点E运动到点H处。即EM+EC的最小值为BH证明：垂线段最短。变式1：如图，在ABC中，AB=AC=4，BC=2点P、E、F分别为BC、AB、AC上的任意点，则PE+PF的最小值是？解题思路:过任意

9、点F作BC的对称点,再过点作AB的垂线， 交BC于点P，交AB于点E。此PE+PF的最小值为。 （求也就是求菱形的高）证明：两平行线之间垂线最短。线外有一点D，点D到直线的距离为S，ABC中ABC=90°，AB=6，tanCAB=，边AB在直线上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为 如图，已知sinC=，长度为2的线段DE在射线CF上移动，点B在射线CA上，且BC=5，则BDE周长的最小值为 （变式）已知，在ABC中，ABC=30°，ACB=105°,BC=2，点P是直线BC上的一个动点，PDAB于点D，PEAC于点E，则线段DE的最小值为？总结：将军饮马的最终思想是实现变折线为直线，前提是要找到两定点，这定点间无论有多少折线，都可以利用两定点之间线段最短的知识点转化为直线，但也存在某一个定点在一条直线上运动的情况，这个时候还要过定点作这条直线的垂线，才能求出最小值。与将军饮