线性代数总结精华

1、The Review Lesson To Linear Algebra端木奈良 更多学习资源请加QQ：2119658018线性代数学习的重要意义就是构建数理世界观，提高运算能力1.行列式的定义2.行列式的一些特点行列式的结果是一个数值，行列式研究的对象行列式中的行与列的变化，行列同质3.行列式的性质a.原行列式与转置行列式相等（因为行列式的行与列同质，对行的计算与研究同样适用于对列的计算与研究）b.行列式当中的某一行或者某一列提出一个数相当于该行列式乘以一个数（这个要与后来的矩阵相区分）c.行列式当中调换两行或者调换两列，结果数值相反d.行列式当中某一行或者某一列拆分，相当于将行列式拆分成两个

2、行列式，拆分之后的行列式，变化的是拆分的那一部分e.行列式某两行或者某两列元素成比例，那么该行列式数值为0f.行列式当中一行或者一列元素减去或者加上另一行或者另一列元素与别的数的乘积，结果不变4.行列式的展开式余子式和代数余子式某行或者某列元素代数余子式与该行列元素相乘等于行列式的数值IF, 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaDDDxDDxDDxnn,2211LL., 2 , 1,1,1,121,221,22111, 111, 111njaabaaaabaaaabaaDnnjnnjnnnjjnjjj 的系数行列式的系数行列式 D 0 ， 那么它只有零解那么它只有零解1.

3、行列式的定义2.行列式的内在理解3.行列式的性质4.行列式的展开式5.Cramer Rule习题请加QQ：21196580181.矩阵的定义2.矩阵的本质矩形数表；矩阵的运算就是定义一套规则在矩形数表内进行计算，实质上是数理逻辑的计算3.几种特殊的矩阵：a.零矩阵：元素都为零的矩阵，记作记作 或或 b.对角矩阵：主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵对角阵.c.单位矩阵：对角数为1的对角矩阵。记为Ed数量矩阵：有数量的对角矩阵Om nO 记作记作记作记作e.三角矩阵：分为上三角和下三角f.负矩阵：原矩阵乘上负一g.行最简型，行阶梯型，标准型4.多元线

4、性方程组与矩阵a.系数矩阵与增广矩阵5.矩阵的运算，加法，减法，数乘，乘法，转置，对称阵与反对称阵、6.方阵行列式（这里要注意方阵行列式的运算规则)7.伴随矩阵（注意运算规律）8.共轭矩阵（不太重要）9.逆矩阵可逆必唯一0.A 逆矩阵逆矩阵 存在存在1A 11,AAA AE.EAAAAA 10.矩阵的秩 行阶梯形矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩 = 其非零行的行数其非零行的行数.定理定理 1 若若AB ，则，则 R(A)= R(B).11.矩阵的初等变换 定义定义4 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定理定理4 对矩阵对矩阵 A 施行一次初

5、等行（列）变换相当于以相应施行一次初等行（列）变换相当于以相应 定理定理5 设设 A 为为 n 阶矩阵阶矩阵, 则则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是的初等矩阵左（右）乘的初等矩阵左（右）乘 A.存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , , Pk ，使，使 A = P1P2 Pk . 推论推论 矩阵矩阵 A B ( A 与与 B 等价）的充要条件是存在可逆矩等价）的充要条件是存在可逆矩矩阵矩阵 P 和和 Q 使使 PAQ = B .初等矩阵的概念实质上是对矩阵的解构要熟悉至少两种求逆矩阵的方法)(EA)(1AE 初等行变换初等行变换12.线性方程组的解

6、定理定理 2 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要有非零解的充分必要 条件条件是是系数矩阵系数矩阵A 的秩的秩 R(A) n . 定理定理 3 n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条有解的充分必要条件是件是 R(A) = R(B) , 其中其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组 Ax = b 的增广矩阵的增广矩阵. n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(B) = n . 1.矩阵的定义与种类2.矩阵的基本运算（加减

7、、数乘、转置、乘法、幂运算、方阵行列式、伴随矩阵），其中尤其要注意矩阵的乘法、方正行列式还有伴随矩阵的运算法则的死记硬背3.逆矩阵，逆矩阵要与伴随矩阵相联系，逆矩阵存在的充分必要条件4.矩阵的秩，理解矩阵秩的本质5.矩阵的初等变换，初等矩阵的本质就是对矩阵的进一步解构，初等矩阵是矩阵的基本单位。6.矩阵与线性方程组的关系1.向量的定义，向量、向量组和矩阵的关系2.向量组的线性相关3.向量的线性表示：a.一个向量被向量组线性表示b.一个向量组被另一个向量组线性表示 mm2211aaa mm2211aaab B=A用向量的知识解构与重构矩阵 定理定理 1 向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 线

8、性表示的充要条件是线性表示的充要条件是 R(A) = R(B) , 其中矩阵其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ), B = ( a1 , a2 , am ,b ) .联系上一章节学习的线性方程组的是知识 定义定义3 设有向量组设有向量组 A: a1 , a2 , am 和向量组和向量组 B: b1 , b2 ,若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 那么称向量组那么称向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示. 如果组如果组 B 的每个向量都能由向量组的每个向量都能由向量组 A 线性表示，线性表示， , bs ，B 能互相线性表示，能互相线性表示，则称这两个则称这两个

9、向量组等价向量组等价. 秩相等的向量组未必等价秩相等的向量组未必等价4.向量组的线性相关)( 0aaamm2211 向量组向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关的充分必要条件是齐次线线性相关的充分必要条件是齐次线 0axaxaxmm2211 有非零解有非零解. 定理定理 2 向量组向量组 a1 , a2 , , am 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是矩阵矩阵 A 的秩的秩 R (A) m . 其中矩阵其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ).性方程组性方程组 有解即相关5. 定理定理 3 若向量组若向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关线性相关,组

10、组 B: a1 , a2 , , am , am+1 也线性相关也线性相关. 则向量则向量无关者无关，相关者相关 若向量组若向量组 A: .,m21jaaaanjj2j1j 线性无关，线性无关，.,m21jaaabj1njnj1j 也线性无关也线性无关.则向量组则向量组 B:., 2111a0011a1001a321 111011001,. n +1 个个 n 维向量必线性相关维向量必线性相关. 如果向量组如果向量组 A : a1 , a2 , am 线性无关，线性无关，a1 , a2 , am , b 线性相关线性相关, 那么向量那么向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.且表

11、法唯一且表法唯一.而向量组而向量组 B:6.向量组的秩 定理定理4 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，矩阵的秩等于它的列向量组的秩， 也等于它的行量也等于它的行量组的秩组的秩. 向量向量 组组 a1 , a2 , ar 线性无关，线性无关， 向量组向量组 A 中任意中任意 r +1 个向量都线性相关个向量都线性相关.那么称向量组那么称向量组 a1 , a2 , ar 是向量组是向量组 A 的一个最大线性无关向的一个最大线性无关向r 称为向量组称为向量组 A 的秩的秩.简称为简称为最大无关组最大无关组. 量组，量组，这里要注意最大无关组的概念 定理定理 5 如果向量组如果向量组 B 能由向量组能由向

12、量组 A 线性表示，线性表示， 那么向量那么向量 组组B 的秩不大于向量组的秩不大于向量组 A 的秩的秩.7.向量空间（不做要求） 定义定义6 设设 V 是是 n 维向量的集合，维向量的集合，,VaVba 都有都有那么称集合那么称集合V为向量为向量如果集合如果集合V 非空，非空，且对任意且对任意空间空间., 和任意实数和任意实数Vba 定义定义 7 设有向量空间设有向量空间 U 及及 V, ,VU 若若 定义定义 8 设设 V 为向量空间，如果为向量空间，如果 r 个向量个向量,Vaaar21 且满足且满足 V 中任意向量都可由中任意向量都可由 a1 , a2 , ar 线性表示线性表示.那么

13、，向量组那么，向量组 a1 , a2 , ar 就称为就称为 V 的一个基，的一个基，空间空间V 的维数，的维数， 称称 r 为向量为向量 并说并说V 是是 r 维向量空间维向量空间. a1 , a2 , ar 线性无关；线性无关；该空间是纯粹的思维定义出来的，不是实在的物理空间，而是数理空间8.线性方程组解的结构a.线性方程组的解向量指的是线性方程组解组成的解的向量b.线性方程组解的空间指的是由线性方程组的解的向量满足空间线性运算及元素线性无关所组成的空间，其次线性方程组的解向量就是一个解空间 齐次方程组的解的性质齐次方程组的解的性质 性质性质 1 的的两两个个解解（向向量量），为为若若)(

14、,121 .)(的的解解也也是是则则121 性质性质 2 为任意实数，为任意实数，向量向量的解的解为为若若k1,)( .)(的解的解也是也是则则1k 定理定理 6 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间的维数为的解空间的维数为 n - r ， 即即 的基础解系含的基础解系含 n - r 个解，个解，其中其中R(A) = r.实质上就是利用向量构造线性方程组的解1向量的线性表示（主要是线性表示的概念，单个向量、向量组与向量组的线性表示）a.线性相关及线性表示成立的条件2.向量的秩3.向量空间与线性方程组解的结构1.特征向量、特征值要求求特征值、特征向量 解解 A 的特征多项

15、式为的特征多项式为 212201034011EA 所以，所以，A 的特征值为的特征值为 .,12321 . 001014013E2A得基础解系得基础解系, 100p1 其中其中k为任意非零数为任意非零数., 000010001,11kp2的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以特特征征值值 由由时时，解解方方程程组组当当. 0 xE2A21 .211020413A 311751662B 求下列方阵的特征值与特征向量求下列方阵的特征值与特征向量确定自由未知数2.相似矩阵相似矩阵相似对角阵要求：求相似变换矩阵和对角矩阵1,PAPB 1PAP 1 1、对角形的主对角线元素就是、对角形的主对角线元素就

16、是 A A 的所有特征值的所有特征值2 2、矩阵、矩阵P P是由矩阵是由矩阵 A A 的所有特征向量构成的可逆矩阵的所有特征向量构成的可逆矩阵. 例例 1 判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相似判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相似 112202213A解解 A 的特征多项式为的特征多项式为 11222213EA|110222131 )( 1102221321)( 因此因此 A 的特征值为的特征值为.,10321 变换矩阵和对角矩阵变换矩阵和对角矩阵. 由由时时，解解方方程程组组当当. 0 xE0A01 112202213A 000110011,111p1 得基础解系得基础解系

17、.,时时当当132 解方程组解方程组(A - E)x = 0.由由 212212212EA得基础解系得基础解系 0000001211/ 101p0121p32,/.令令 1010111211P/则可逆矩阵则可逆矩阵 P 为所求相似变换矩阵为所求相似变换矩阵, 且且 100010000APP1 3 阶矩阵阶矩阵 A有有 3个个线性无关的特征向量，线性无关的特征向量，所以，它能与对所以，它能与对角矩阵相似。角矩阵相似。3.向量的内积.对称阵，正交变换1.二次型的概念，认识二次型2.对二次型的矩阵重构行向量乘上对称阵乘上列向量，中间那个叫做二次型矩阵nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxMLMOM