第4章向量空间与线性空间习题课

1、第4章 习题课一、一、 基本要求基本要求 二、二、典型例题分析典型例题分析 第4章习题课2/45一、一、 基本要求基本要求 1. 理解 n 维向量及其线性组合与线性表示的概念, 理解线性表示的判别准则.2. 理解向量组线性相关、线性无关的概念, 理解线 性相关性的性质及判别准则.3. 理解向量组等价的概念, 掌握向量组等价的判别 准则.第4章习题课3/454. 理解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念, 熟练掌握求向量组的极大线性无关组及秩的方法.5. 理解非齐次线性方程组的通解、导出方程组的基 础解系与通解, 熟练掌握用初等行变换求线性方程 组通解的方法.6. 了解 n 维向量空间、子空间

2、、生成子空间、基、 维数、坐标等概念, 知道基变换和坐标变换公式, 会求过渡矩阵.第4章习题课4/457. 了解内积、正交向量组和标准正交向量组的概念 与性质, 掌握 Schmidt 方法, 了解规范正交基、正交 矩阵的概念及其性质.8. 知道线性空间、线性子空间、基、维数、坐标和 线性变换的概念, 会求线性变换在一组基下的矩阵, 知道线性变换在不同基下的矩阵之间的关系. 第4章习题课5/45(一一) 线性相关性的判定线性相关性的判定 二、二、典型例题分析典型例题分析 方法方法1定义方法方法2利用矩阵的秩判别方法方法3利用行列式判别 方法方法4转化为齐次线性方程组来判别方法方法5利用向量组之间

3、的线性表示来判别 向量组是否线性相关等价于齐次方程组是否有非零解向量组是否线性相关等价于齐次方程组是否有非零解第4章习题课6/45例1 已知向量组TTTT(2,1,1,1) , (2,1, , ) , (3, 2,1, ) , (4,3, 2,1)a aa线性相关, 求 a 的值. 解 由条件得22341123(1)(21)0,11211aaaaa所以 a 1, 12a .或者第4章习题课7/45rank4,A且2234112311230111,11200121100021aaaaaA另解 由条件知a 1, 12a .或者于是 a 1 0, 或 2a 1 0, 解得 第4章习题课8/45例2

4、设 为 n 维列向量组, m 2, 且 12,m 证 因为 12,m证明向量组12,m 线性无关当且仅当 线性无关. 12,m 1212011101 ,110mm 且由 m 2 知 第4章习题课9/451011101( 1)(1)110mm 0,12,m 向量组线性无关12rankmm所以, 12rankmm 12,m .向量组线性无关第4章习题课10/45证 所以存在不全为零的考虑线性方程 因为 线性相关, 12,m 数 k1, k2, , km , 使得1122mmkkk0.都线性相关. 例3 设 线性相关, 证明存在不全为零的数 12,m t1, t2, , tm , 对任何向量 , 向

5、量组 1122,(2)mmtttm k1 x1 k2 x2 km xm 0, 第4章习题课11/45由 m 2 知该线性方程有非零解, 设 (t1, t2, , tm)T 为它 的任一非零解, 即从而向量组线性相关. 则对任何向量 都有 11221 12 2(),mmm mkkkk tk tk t0111222()()(),mmmktktkt01122,mmttt 第4章习题课12/45方法方法1 转化为线性方程组方法方法2 利用唯一性定理方法方法3 利用向量组的秩(二二) 线性表示的判定线性表示的判定 一个向量能否被线性表示等价于线性方程组是否有解一个向量能否被线性表示等价于线性方程组是否有

6、解一个向量组能否被线性表示等价于矩阵方程是否有解一个向量组能否被线性表示等价于矩阵方程是否有解 第4章习题课13/45例4 已知123415121 ,3 ,3 ,2 ,0213 1223344,AAAAA .三阶矩阵满足求解 设法将 表示成 的线性组合, 4123, 为此对矩阵 12341512100213320101 ,02130011 做初等行变换化为最简阶梯矩阵:1234 第4章习题课14/4541232,则于是 1232AAA4123(2)AA23425122 332213 752 .第4章习题课15/45例5 设问 a, b, c 满足什么条件时 并求出一般表达式. 1232112

7、,1 ,1 ,1054abc (1) 能由 线性表示, 且表达式唯一;123,(2) 不能由 线性表示;123,(3) 能由 线性表示, 但表达式不唯一,123,第4章习题课16/45解21102112220015baaabcb B.1232112111054abc (1) 当 a 4 时, 能由 唯一线性表示.123,对矩阵 做初等行变换化为阶梯矩阵: 123 第4章习题课17/45211001120015bbcbB当 1 3b c 0 时, 不能由 线性表示.123,211001120000bbB(2) 当 a 4 时, (3) 当 a 4, 1 3b c 0 时, 21100112,00

8、01 3bbbc210100112,0000bb 第4章习题课18/45123(12 )(12 )kbkb .此 时, 能由 线性表示, 且表达式不唯一. 123,取 x1 k, k 为任意数, 则 第4章习题课19/45解即 线性表示. 由向量组TTT123(1,1,1) ,(1,2,3) ,(3,4, )aTTT123(1,0,1) ,(0,1,1) ,(1,3,5)例6 设向量组不能(1) 求 a; (2) 将 用 线性表示. 123, 123, 12350a5a .不是向量空间 3的基, (1) 因 不能由 线性表示, 123, 123, 从而 线性相关, 123, 故 123, (2

9、) 由于 第4章习题课20/45123123101113013124115155 1002150104210 ,001102因此 112324,2122,31235102 .第4章习题课21/45(三三) 求极大线性无关组和秩求极大线性无关组和秩 方法方法1 初等行变换方法方法2 定义方法方法3 定义的等价性第4章习题课22/45的秩, 以及该向量组的极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组来线性表示. 例7 求向量组123456111031221242,331453111182 解 令 123456,A 对矩阵 A 作初等行变换化为阶梯矩阵: 第4章习题课23/45因此 111 0 3

10、1221 2 42331 4 53111 1 82=A110071001042,000131000000B故向量组的秩为3, 且 是一个极大线性无关组. 134, 再对矩阵 B 做初等行变换化为最简阶梯矩阵: 2151346134,743,2 .111031001220,000393000000B第4章习题课24/45例8 设12341122327,1013121abA 解 对矩阵 A 作初等行变换化为阶梯矩阵: 求 A 的秩及向量组 的极大线性无关组. 1234, 112211223270111,101300501210005aabbA第4章习题课25/45(1) 当 a 5, b 5 时,

11、 rank A 2,是一极大线性无关组. 12, 是一极大线性无关组. 124, 是一极大线性无关组. 123, 是一极大线性无关组. 1234, (2) 当 a 5, b 5 时, rank A 3,(3) 当 a 5, b 5 时, rank A 3,(4) 当 a 5, b 5 时, rank A 4,第4章习题课26/45(四四) 线性方程组解的判定、性质和结构问题线性方程组解的判定、性质和结构问题 例9 设向量组 是方程组 的基础解系, Ax0123, 112321233123,23,23,证明向量组 是方程组 的基础解系. Ax0123,证 由题设知 都是方程组 的解, Ax012

12、3,123123121132 ,113 且第4章习题课27/45方程组 Ax 0 的基础解系含三个线性无关的解向量, 因为1211320,113所以 123123rankrank3, 从而向量组 是方程组 Ax 0 的基础解系. 123,第4章习题课28/45例10 12341234, A 设都是四维列向量11110220kAx.且方程组的通解为123,? (1) 问向量能否由向量组线性表示1234, (2).求向量组的一个极大线性无关组第4章习题课29/45解于是 11,02Ax因为是的解11,20Ax0是的基础解系1234,3 所以向量组的秩为 .123, (1) 假若能由向量组线性表示

13、则有11223340,kkkT123( ,0),k k kAx即是 的解第4章习题课30/45即有 11223311110022kkkkkk1231111,220kkkk,Ax0是方程组的解T(1, 1,2,0),它可由线性表示,上式矛盾123, .因此不能由向量组线性表示第4章习题课31/45T(1, 1,2,0)Ax(2)0由是的解可知1232,03124, .即可由线性表示1234, 而能由向量组线性表示124, .所以能由向量组线性表示12341243rankrank3, 1241234, 于是为的一个极大线性无关组.1234124, K从而因此 第4章习题课32/45例11 1231

14、24115,0132411已知是方程组1 1233441122344212234432,43,35a xxa xa xdxb xxb xdxc xxc xd,.的三个解 求方程组的通解解 因为 第4章习题课33/4521311326,1329,Ax0是导出方程组的两个线性无关的解rank2A.所以 而系数矩阵134242424335aaabbccA430,35中有二阶子式 第4章习题课34/45rank2,A故 rank2A.从而 2131,Ax0.于是 是的基础解系方程组的通解为121231112131261()(),130292kkkk12,k k.为任意数第4章习题课35/45例12 设

15、线性方程组 12240,(I)0,xxxx(1) 分别求方程组 (I) 和 (II) 的基础解系; 解1232340,(II)0 xxxxxx.(2) 求方程组 (I) 和 (II) 的公共解. (1) 将方程组(I)和(II)的系数矩阵化为最简阶梯矩阵: 1 1001001,01010101A11101001,0111011 1B第4章习题课36/45则方程组 (I) 和 (II) 的基础解系分别为 TT12(0,0,1,0) ,( 1,1,0,1) ; TT12(0,1,1,0) ,( 1, 1,0,1) .(2) 联立方程组 (I) 和 (II) , 得 ,AxB011001001010

16、10101,1110001201110000AB则方程组 (I) 和 (II) 的公共解为T( 1,1,2,1) ,kk.第4章习题课37/45求方程组 (I) 和 (II) 公共解的三种方法(1) 若方程组 (I) 和 (II) 都是已知的, 则联立方程组 (I) 和(II) 得到方程组 (III), (III) 的解就是(I)和(II)的公共解.(2) 先求出一个方程组的通解, 再将通解代入另一个方程组, 然后确定通解中参数的关系, 最后得到公共解.(3) 先分别求出两个方程组的通解, 再令两个通解表达式相等, 然后确定通解中参数的关系, 最后得到公共解.第4章习题课38/45(五五) 向

17、量空间向量空间 例13 设 求TTT123(1,2, 1,0) ,(1,1,0,2) ,(2,1,1,6).的一个基, 并将它扩充为 的一个基.123span(,) 4解 求 的一个基, 就是求 的一123span(,) 123, 个极大线性无关组. 123112112211013,101000026000 因为 第4章习题课39/45线性无关. 1245, 由于 是四维向量空间, 因此只需找 使得4445, 4354,ee所以 是 的一个基. 123span(,) 12, 由 的阶梯矩阵知, 可取 123 即 是 的一个基. 1234, e e4第4章习题课40/45例14 设TTT123(1,1,2,3) ,( 1,1,4, 1) ,(5, 1, 8,9) , 求 的一个标准正交基.123span(,) 解 求 的标准正交基, 就是将 标123span(,) 123, 标准正交化. 1111,23 212211142,1,10,36 狁狁先将 正交化: 123, 第4章习题课41/45111111,2153 31323312112200,0,0 狁狁狁狁再将 单位化: 12, 222211,5393所以 求 的一个标准正交基.123span(,) 12, 第4章习题课42/45求向量 在基 下的坐标 y. 123, 例15 设向量空间 V 的两个基为 123