一线三等角典型例题

1、模型在初中数学中的应用” “ 一线三等角模型的提炼” “一线三等角一、德州卷）-2015年山东例1、（ . BC=AP BPB=90° 求证：AD 上一点，P为ABZDPC=ZA=Z（1）问题：如图1，在四边形 ABCD中，点 探究：如图2,在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当ZDPC=ZA=ZB= 0时，上述结论是否依然成立？说明理.由应用：请利用、获得的经验解决问题： 如图3,在厶ABD中，AB=6, AD=BD=5.点P以每秒1个 单位长度的速度，由点 A岀发，沿边AB向点B运动，且满足ZDPC=ZA.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半.的值AB相切，求t

2、径的圆与问题探究）（1）变式1 （ 2012年烟台 如图6，分别以厶ABC的边AC与边BC为边，向ABC 外作正方形 ACD1E1作.ACD1，使ZAHK = ZBCD2E2,过点C作直线KH交直线 AB于点H和正方形 的数量关系，并加以证明.与线段D2N 试探究线段 D1M . D2N丄KH，垂足分别为点 M、N, D1M丄KH拓 展延伸 （ 2）1 K1H1作直线”中的正方形改为正三角形，过点 C，若将 如图7 “问题探究，K2H2,分别交 直线 AB 于点 H1、H2，使 ZAH1K1 = ZBH2K2 = ZACD1 . 作 D1M 丄 K1H1 , D2N 丄 K2H2，垂足 分别为

3、点 M、 N D1M = D2N 是否仍成立 ? 若成立，给岀证明 ; 若不成立，说明理由2 如图8,若将 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变.D1M = D2N是否仍成立? （ 要求: 在图 8 中补全 ）图形，注明字母，直接写岀结论，不需证明二、添加辅助线后运用基本图形等腰R t ADE,点D在BC上,例 2 、 ( 2013 年海淀区一模 22 l2 之间的距离是 21/5 , 的边长l3 之间的距离是例1、在厶ABC中，AB =2, ZB = 45°以点A为直角顶点作 点E在AC上，若 CE=5, 的长。CD求题最后一问 ) 如图， l1 、 l2 、 l3 是同

4、一平面内的三条平行线， l1 、 ABC、13 上,求、21/10，等边 ABC的三个顶点分别在111212、例3、如图，在矩形纸片 A BCD 中，AE = 5,EC = 4，在AE边上取点G,现将纸片沿EG翻折，使点A落在CD 边上的点F 处，当AE=3时，求BG的长。三、应用举例、等腰三角形底边上的一线三等角1 B./JMDN=BCAB=AC,D为的中点，以 D为顶点作例1、如图5,在 三角形ABC中，（1） 相似的三角形。ADEE不添加辅助线，写岀图中 所有与三角形 DM交AC边于点A如图5,当射线DN经过时，（2）如图6,将ZMDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段 AC,A

5、B于E,F点，（E和A点不重合），不添加辅助 线，写岀 图中所有相似的三角形，并证明。（3）的长。EF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段6中，若AB=AC=10, BC=12，当三角形 DEF在图例2、如图8，在RtZABC中，AB = AC =2, ZA = 90°现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在 BC 中点 O.BOE = a （ 45 °< a < 90° ） CF = y, /BE =xAC 分别交于点 E、F,设，AB 处，三角板的直角边与线段、 ;的取值范围的函数关系式，并写岀 x （ 1） 试求 y 与 x;并说

6、明理由 OEF /的大小关系 ?/（ 2） 试判断 BEO 与 若能，求岀对应 ? 能否成为等腰三角形 O在三角板绕点旋转的过程中，4EF （ 3）若不能，请说明理由 ; x 的值【例3】（2012四川成都卷）如图， ABC和厶DEF两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90° , DEF的顶点E与厶ABC的斜边 BC的中点重合.将厶DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与 线段AB相交于点P,线段EF与射线相交于点QCA（1）; QEBPE 当点 Q在线段 AC上，且 AP=AQ时，求证：如图 （2）; CEQBPE“当点Q在线段CA的延长线上时，求证：（2）如图 的代数式

7、表示）a、Q两点间的距离（用含并求当 BP=a， CQ=9a/2 时， P6、(东城一模 24.) 等边 ABC边长为6 , P为BC边上一点，/MPN=60 °且PM、PN分别于边 AB、 AC 交于点 E、 F.(1) 如图1,当点P为BC的三等分点，且 PE丄AB时，判断 EPF的形状；(2) 如图2，若点P在BC边上运动，且保持 PE丄AB,设BP=x,四边形 AEPF面积的y,求y与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(3) 如图3,若点P在BC边上运动，且 ZMPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.、四边形中的一线三等角边长为 1cm2上两个动点，

8、、CD分别是M、N BC,如图，正方形例 1ABCD的 的最大值 BC 上的运动过程中 y 在求点的长为，的长为，设且始终保持 AM MNBM x cmCNy cm.M2例例3、如图，在等腰梯形 ABCD中，AD/BC, BC = 4AD = 4 2, ZB = 45 °点 E、F分别在边 BC、CD上移动，且ZAEF =，点分别在线段上（点与点不重合） ，且，设， ，如图例 4,在梯形中， 求与的函数表达式； 当为何值时，有最大值，最大值是多少？ 例4、如图，在直角梯形 ABCD中，AD/BC, /B=90° AB=8, , CA=CD, E、F分别是线段 AD、AC上的动点（点 E与点A、D不重合），且/FECNACB,设DE=x, CF=y.（ 1）求 AC 和 AD 的长；（ 2）求 y 与 x 的函数关系式；（3）当厶EFC为等腰三角形时，求 x的值.、函数问题中的一线三等角3例1、在直角坐标系中,点A 是抛物线 y= x2 在第二象限上的点，连结OA,过点0作0B丄OA,交抛物线于点 B,以的坐标.1/2时，求点B AOBC.如图,当点 A 的横坐标为 OA、 OB 为边构造矩形例 2、如图,已知直线 y = kx 与抛物线 y = 4/27 x2 +