一题多解、一题多变、多题归一

1、数学最重要的学习方法在这里，需要的家长、孩子看过 来！ 一题多解、一题多变、多题归一（二） 数学最重要的学习方法在这里，需要的家长、孩子看过来！ 一题多解、一题多变、多题归一（二）01一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实 质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运 用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方 位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样， 既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思 路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思 维的发散性。这方面的例子

2、很多，尤其是几何证明题。已知：点 0是等边 ABC内一点，0A=4， 0B=5， 0C=3求/ AOC的度数。练习：把此题适当变式 :变式在厶 ABC 中，AB=AC，/ BAC=900A=4 ，0B=6，0C=2求/ AOC的度数。变式2 :如图,点O是等边 ABC内一点,/ AOB=110, / BOC=135试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形 ？若能,请求出三角 形各内角的度数；若不能，请说明理由如果/ AOB的大小保持不变,那么当/ BOC等于多少度时,以OA、 OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？02一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题

3、目的条件或结论，或 者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面 揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的 情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化， 培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留 条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结 论对换等等。例如：已知：C为AB上一点， ACM和厶CBN为等边三角形(如图 所示)求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设 CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相

4、等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。探索二： ACM和厶BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索三： ACM和厶BCN分别为以 AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗？探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM成立吗？探索五：A、B、C三点不在一条直线上时， ACM和厶BCN分别变为正方形 ACME和正方形 BCNF，其它条件不变，AN=BM 成立吗？这样教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。练习：（1）如图，在 ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE

5、 丄 AB 于 E，PF 丄 AC 于 F，BD 丄 AC 于 D 求证：BD二PE+PF变式1 : ABC变为等边三角形变式2： P在厶ABC内变式3: P在厶ABC外（2）轴对称：已知直线I及同侧两点A、B，试在直线I上选一点C,使 点C到点A、B的距离和最小。（将军饮马模型）变式1:如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）方案1 :小华由家先去河边，再去姥姥家；方案2:小华由家先去姥姥家，再去河边；变式2:已知:AB、AC表示两条交叉的小河,P点是河水化验室,现想从 P点出发，先到AB河取点水样，然后再到AC河取点水样，最后回到P处 化验河水，怎么走路程最短呢？实

6、验员小王说:我从P点笔直向A走，同 时取好两河水样再原路返回，这样走，路最近。”化验员小吴否定了小王的 路线，提出了自己的想法，请同学们想一想，小吴走怎样的路线？变式3 :变式4:如图,在定直线XY外有一点P,试于XY上求两点A、B,使PA+PB 为最短，而AB等于定长a.变式5:如图，在河的两侧有 A、B两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必须与河岸垂直，要使A村到B村的路程最短，问桥应修在何处？(河 宽为定长为m)(造桥选址模型)解:过B作BC丄a,且使BC = m;连接AC交b于P;(3)过点P作PQ丄a,垂足为点Q,那么PQ就是桥的位置.(3)如图，公路 MN和PQ在P点处交汇，且/

7、QPN=30点A处有一 所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围 100米内会受到噪音的影 响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的 影响，请说明理由，若影响，求出影响时间。(拖拉机的速度是12米/秒)变式1:如图，A城气象台测得台风中心在 A城正西方300千米处，以 10千米/时的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范 围内是受台风影响的区域。(1 )问A城是否受到台风影响？为什么？(2 )若A城受到台风影响，那么A城受到台风影响的时间多长？变式2 :据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向220千米B处有一台 风中心，其中心最大风

8、力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减 弱一级，该台风中心现在以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动, 且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影 响。（1）该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由。（2 ）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3 ）该城市受到台风影响的最大风力有几级？03一题多思，培养思维的独创性牛顿说过：没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。例如：如图，过线段AB的两个端点作射线 AM、BN,使A

9、M / BN,请 照图思考下列问题，并证明你的猜想。DMAB, DABC 的平分线AE、BE交于点E,则DAEB是什么角，并 证之。 过E点任作一条直线交 AM于D,交BN于C,请问线段 DE, CE 什么关系，并证明。请证明:无论DC的两个端点在 AM、BN上如何移动，只要DC过 点E，AD + BC 是个定值。1、题型有何特征，解法有何规律?2、题目有哪些证法，其中哪些方法最简便？3、题目的几种证法中，辅助线添置有何规律？4、在题目的解决过程中，解题的关键何在？涉及哪些基础知识？5、在题目的解决过程中，有哪些地方容易发生错误？应注意什么问题？通过一题多思，不但能幵阔学生的解题思路，而且启发

10、学生建立了课本例题，习题之间的联系，使学生在做题时做到遇新题，忆旧题，多思考，善联想、多变换、找规律”。从而培养了学生的应变能力和创造性思维能力。04多题一法，培养思维的深刻性初中数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演作这样的题组并 作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维 的深刻性。例如：（1 ） 一个多边形除一个内角外，其余所有内角和等于2200°,则这个多边形的边数为 。（2） 一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为。以上两题表面上看不同，实际是同一道题，应注意引

11、导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系。避免只见树木不见森林”的现象。练习：（1）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段.（2）勾股定理：1、 如图，一架梯子长2.5米,顶端A靠在墙AC上,梯子下端B与墙 角C相距1.5米.（1）这架梯子的顶端距地面多高？（2）如果这架梯子滑动后停留在DE位置（如图所示）,测得BD长为0.5米,这时梯子顶端下落多少米？变式：梯子靠在墙上，梯子的底端 A到墙根O的距离2米，梯子的顶端 B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到 C，使梯子底端C到 墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至D，

12、那么BD（） A、等于1米；B、大于1米；C、小于1米；D、以上结果都不对。 注：把问句略做一下变化，就综合了二次根式的比较大小的知识点。2、 小明把一根 70cm长的木棒放到一个长、 宽、高分别为 30cm、40cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答： （填 能”或 不能”3、 有一个长、宽各 2米，高3米且封闭的长方形纸盒，一只昆虫从 顶点A要爬到与A点相对的顶点 B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（）米。A、3 ； B、4 ； C、5 ； D、6。变式1 :一个圆柱的高为 36，底面圆的半径为5，一只蚂蚁从上底面的点A处爬到与点 A相对应的下底面点 B处的最端路程是多少？n值取3。变式2

13、 :如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm , A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁， 想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是变式3:如图，沿OA将圆锥侧面剪幵，展幵成平面图形是扇形OAB.扇形的弧AB的长与圆锥底面圆周的长是怎样的关系？点 A和点B 在圆锥的侧面上是怎样的位置关系？ 若角/ AOB=90 ,则圆锥底面圆半径 r与扇形 OAB的半径R之间 有怎样的关系？(3)若点A在圆锥侧面上运动一圈后又回到原位，则点A运动的最短路程应该怎样设计？若 ，且/ AOB=90 ，求点A运动的最短路程。05设计猜想，培养思维的创造性衡量

14、学生思维水平的最终要素是思维的创造性，即善于探索、突破、创新，能够发现和解决自己或别人所未发现或未解决的冋题，要培养这种可贵的品质，学生必须占有可供发现的有价值的材料，但教材在这方面往往存在着缺欠，因为在阐述数学原理和规律时，一般都把数学家们当初的真实发现过程给抽掉了，这就需要教师弥补这个不足。为此，我们可以利用研究对象的变式，设计出现隐藏着规律的材料，去引导学生发现。例如：昨天在 10中听张老师教学矩形的判定定理1和判定定理 2 一节，深有感触，现时很流行”的做法是把性质定理和判定定理的互逆关系作为重点和切入点，往往都是先复习性质定理，然后考虑其逆定理，让学生猜想其正确性，从而归纳出判定定理。但张老师从另一个角度入手，先