高等数学中几个常见不等式及其应用

1、本科毕业论文（设计）题 目：高等数学中几个常见不等式及其应用学 生： 学号： 学 院： 专业： 入学时间： 年 月 日指导教师： 职称： 完成日期： 年 0 月 日高等数学中几个常见不等式及其应用摘要：在高等数学中，不等式的证实和应用是我们学习高等数学知识常见难题之一。本文将的介绍这些不等式，并讨论它们的证明、变形及应用。关键词：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；Hlder不等式；Minkowski不等式A few common inequality in the application of higher mathematicsAbstract: In higher mathematic

2、s, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics knowledge. This article will introduce these inequalities, and the proofs are discussed, deformation and applications.Key words: Average inequality; Cauchy inequality; Holder inequality; Minkowski in

3、equality目 录0 引言（绪论）.41.1 平均值不等式.41.2 平均值不等式应用.51.3 平均值不等式的推广.52 柯西不等式.62.1 柯西不等式定理及证明.63 施瓦茨等式.83.1施瓦茨不等式定理.83.2 施瓦茨不等式应用.94 Hlder不等式.104.1 Hlder不等式定理形式及证明.104.2 Hlder不等式的应用.115 Minkowski不等式.125.1 Minkowski不等式定理及证明.126 结束语.13参考文献.13致谢.140 引 言不等式是高等数学知识研究的基本工具之一，具有非常重要的地位。同时，不等式本身非常抽象，逻辑性很高，证明方法多种多样，

4、应用变化万千。本文将主要介绍柯西不等式、施瓦茨不等式和平均值不等式的定义，定理，及应用。1.1 平均值不等式 1 基本概念定理1 对任意个实数恒有 （1）（即几何平均值算术平均值）,其中当且仅当时成立。证 i 首先有 （2）（相等当且仅当） 类似的，任意的,重复上面方法k次（等号当且仅当时成立）。 ii记.假设不等式对也成立，则故 ,，因此不等式对任意成立，等号当且仅当时成立。1.2 均值不等式的应用下面通过例题说明均值不等式的应用例1 设正值函数在上连续，试证：.证：由已知条件得在上可积。将闭区间分成等分，利用积分定义得，得 .再由定理1，得，故 .1.3 均值不等式的推广定义1 设 ，记

5、，称为的次幂平均.它与算术平均的关系为，定义 2 （加权平均）, ,记，.和分别称为的（r次幂）算数平均。定理2 设不全相等，则有，即： .亦即：只有全相等时“<”才成为“=”.2 柯西不等式2.1 柯西不等式定理及证明定理3 设a,b为任意数则， （3）等号当且仅当成比例时成立。（3）式称为柯西不等式。 证法（判别式法）.关于的二次三项式保持非负，故判别式. 证法（配方法）因故（1）式获证.当且仅当时成立，上式可以等于0。证法（利用二次型）即关于的二次型非负定，因此此即式（1）. 注 用方法，可以将结果进行推广.因此式右边为的二次的型，此式表明该二次的型非负定，因此系数行列式 （4）等

6、号当且仅当线性相关【即：存在不全为零的常数使得 】成立.3 施瓦茨不等式柯西不等式的积分形式被称为施瓦兹不等式，它可以通过积分的定义，得到柯西不等式直接推动，因此柯西不等式的证明可以模拟类似的证法。3.1 施瓦茨不等式 定理4 若、在上可积，则 （5）若、在连续，当且仅当存在常数使得时成立，等号相等(不同时为零).证法I 将等分，令应用柯西不等式，令取极限，即得式（1） 证法II这就证明了式（5）.因此，如果、连续，当且仅当存在常数不同时为零，使得时成立. 类似可以推广到一般情况.若函数 在上可积，则如果在连续的，当且仅当 线性相关，等式时成立的。（即存在不全为零的常数使得时成立。）3.2施瓦

7、茨不等式的应用应用施瓦茨不等式，可证明一些不等式，但使用时应注意一些技巧，下面介绍一些例题，说明施瓦茨不等式的应用。例1 已知在连续，任意实数，证： （6）证 (1)式左端第一项应用施瓦茨不等式 （7）同理 （8）式（7）+（8）即得式(9).例2 假设函数在闭区间上有连续阶，并且求证：， （9）这里，.分析 i先设法证明 ，我们只要证明的结论是： 假若在上有连续导数，则必有 . (10)为把与联系起来，用公式.应用施瓦茨公式. (11)两边同时积分.两边同时开方，变得（10）式。ii回到一般情况，令，重复利用上述证明方法，即可证（9）式。4 Hlder不等式4.1 Hlder不等式基本形式及

8、证明定理5 设是2n个正实数，则：.证： 令 那么（利用Jensen不等式）即,得证。Holder不等式还有另一种表示形式，令则：4.2 Hlder不等式的应用 例3 设求函数的最小值。解：取由Holder不等式有5 Minkowski不等式5.1 Minkowski不等式基本形式及证明定理6 设均为实数，则特别地，当，证： 由Holder不等式可知：由上述不等式可得：即：上述不等式称为明可夫斯基不等式当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和6 结束语以上介绍了几类常见的不等式。由上述实例可以看出，柯西不等式和施瓦茨不等式在高等数学知识的应用非常广泛，还有均值不等式的定理及推

9、广，应用到许多高等数学证明题中，可以做到深入浅出，使问题的解决更加简单。也突显了不等式证明方法灵活多样。但在数学的学习中，应具体问题具体分析，对待不同的问题，思维要灵活，思路要清晰，找出问题的关键所在，把握问题本质，快速而准确地应用这几个常见的不等式取解决高等数学中的证明问题。参考文献：1同济大学数学教研室.高等数学M.北京：高等教育出版社.1981.2华东师范大学数学系.数学分析(第三版上册)M.北京：高等教育出版社.2001:17,44,88,120-121,142-143,215-216.3华东师范大学数学系.数学分析(第三版下册)M.北京：高等教育出版社.2001:52-57.4丰刚.

10、几个积分不等式及其应用J.牡丹江大学学报.2010(7):88.5王蓉华,徐晓岭,叶中行,白云芳.概率论与数理统计M北京：北京大学出版社.2010:4-5.6张禾瑞，郝炳新.高等代数(第三版)M.北京：高等教育出版社.1983.7中国不等式研究小组.对高中数学竞赛的专门研究J.不等式研究通讯.2003(第3期).8薛贵庚.高等数学中证明不等式的思想方法J.科学与技术.2007(第4期).9张海山.高等数学知识在不等式证明中的应用J.甘肃教育学院学报.2000(4):68-71.10柴云.高等数学中微积分证明不等式的探讨J.现代商贸工业.2009(第20期)：244247.11 Inequalities:A Journey into Linear Analysis（Garling,D.J.H.） 著.世界图书出版公司12刘小琼，刘新乐.Jensen不等式在数学上的应用J.科教文汇