人教版数学必修一函数的含义及表达形式

1、二、函数及其表示（一）函数的概念1.函数的概念（1）函数的传统定义设在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个函数值，相应的就有唯一确定的一个y值与之相对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量（2）函数的近代定义一般地，设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA。其中x是自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域A,B都是非空的数集，因此定义域或值域为空

2、集的函数不存在，例如，y=x-1 x+1 就不是函数集合A是函数的定义域，给定A中一个x值有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以没有x与之对应，即f(x)|xAB符号y=f(x)表示“x对应的函数值”，f表示对应关系，“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”f(a)，aA与f(x)的区别函数的实质是集合A,B的对应关系，可以一对一、多对一，但不能一对多，而且集合A中的元素必须要用完，而集合B中的元素可以不用完例1：设集合M=x|0x2，N=y|0y2,给出的下列四个图形中，其能够表示集合M到集合N的函数关系的是（ ）2.函数的构成要素与函数

3、相等一个函数构成要素为定义域、对应关系、值域值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数就只需要确定定义域和对应关系，即定义域和对应关系使“y是x的函数”的而两个基本条件要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需检验（1）定义域和对应关系是否给出；（2）根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一的函数值和它对应如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等函数的定义域和对应关系一旦确定，值域就确定了，所以判断两个函数是否相等只需要判断他们的定义域和解析式是否相等就可以了，不需要在判断值域满足定义域和值域相同的两个函数，不一定是相等的函数，例如：函

4、数f(x)=x²与函数f(x)=(x-3)²例2：判断下列各组中的函数是否表示同一个函数（1）f(x)=|x-1|与g(x)=x-1，x11-x，x<1（2）f(x)=x与f(t)=(3t3)在判断对应关系是否相同时，两个函数可能表现形式不同，但经过适当地变形，可以化为相同的形式，这是也可以说它们具有相同的对应关系3.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，有时可以省略，如果未加特殊说明，那么函数的定义域就是指能使函数式有意义的所有实数x构成的集合在实际问题中，喊必须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围求函数的定义域：如果f(x)是整式，那么其定义域是实数R如果

5、f(x)是分式，那么其定义域是使分母不为0的实数集合如果f(x)是二次根式（偶次根式），那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合如果f(x)是由以上几个部分式子构成的，那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合f(x)=x0的定义域是xR|x0例3：求下列函数的定义域（1）f(x)=x+1+12-x（2）f(x)=x-2+2+133x+7（3）f(x)=(x+1)0x-x4.函数的值域函数的值域是在对应法则f的作用下，自变量x在定义域内取值是相应的函数的集合求函数的某个函数值是，可以直接代入解析式，求的相应的函数值；求函数的值域时，可以采取不同的方法求解（1）观察法：对所求的函数解析式

6、进行简单变形，通过观察，得出所求函数的值域如：函数y=11+x2（2）配方法：若函数是二次函数，或可以化为二次函数形式，则可以通过配方法求出其值域，但是要注意自变量的取值范围如：求y=x-2x+3的值域（3）判别式法：将函数化为因变量y的二次方程，利用判别式0求函数的值域，常用于分母是二次函数的分式函数如：求y=x+1x²+2x+2的值域（4）换元法：对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而利用基本函数取值范围来求函数的值域如：求y=2x-3+13-4x 的值域（5）分离常数法：用于求形如y=cx+dax+b 的函数的值域，舱采用分离常数法如：求y=3x-2x-

7、1的值域（6）图像法：做出函数的图像，有图像直观的得出函数值域5.区间设a，b是两个实数，且ab，区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：区间的左端点必小于右端点用数轴表示区间是，要特别注意包括在这个区间内的端点用实心圆点表示，不包括在这个区间内的端点用空心圆点表示无穷大是一个符号，不是一个数，它不具备数的已瞎性质和运算法则以“+”或“- ”为区间的一端时，这一端必须是小括号单元素集合不能用区间表示，如集合0不能表示为0或0,0例4：函数y=31-1-x的定义域可用区间表示为_例5：已知集合A=x|5-x0，集合B=x|x|-30，求AB，并用区间表示考点1：函数的求值问题1.已知函数f(x)=3x3+2x,求f(f(1)的值2.已知f(x)=1-2x，则f(12)=_3.已知f(x)=11+x（xR，且x-1），g(x)=x²+2（xR）（1）求f（2），g（2）的值（2）求f(g(2