伯努利方程的解法及其应用

1、编号编号 学学士士学学位位论论文文伯努利方程的解法及其应用伯努利方程的解法及其应用学生姓名： 江倩 学 号： 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2007 级（2）班 指导教师： 胡爱莲 完成日期： 2011 年 5 月 14 日中文摘要在参考现有伯努利方程解法的基础上，归纳了几类求解伯努利方程的方法，并探讨了伯努利方程在解某些微分方程中的应用。关键词：关键词：伯努利方程；变量代换；常数变易；积分因子；应用The Solving Methods and the Applicationsof Bernoulli equationAbstractIn the foundation

2、 of referring the solving methods to Bernoulli equation ，this paper summarizes some classes methods to solve Bernoulli equation， and discusses the application of Bernoulli equation for solving some differential equationskey words： Bernoulli equation； Variable substitution； Constant change；Integratin

3、g factor；Application 目录中文摘要.IABSTRACT.II引言.11.伯努利方程的解法.11.1 变量代换法.11.1.1 一般解法.11.1.2 函数变换法.21.1.3 求导法 .21.1.4 恰当导数法.31.2 常数变易法.41.3 积分因子法.51.4 解法举例.52.伯努利方程的应用.102.1 在一阶微分方程中的应用.102.1.1 在形如( )( )00( )( )()y xy xny yp xy dyq xy dy （( )0y xy dy 存在且不为零）方程中的应用 .102.1.2 在形如1 ( )( )( )( )yyyyfx hygyxhxxxx

4、方程中的应用.112.1.3 在黎卡提方程中的应用.112.2 在高阶微分方程中的应用.132.2.1 在形如( )( )0yp x yq x y方程中的应用.132.2.2 在形如( )( )( )0p x yq x yr x y方程中的应用 .142.2.3 在形如1( )()nypyqyryf xysys y方程中的应用.163总结.18参考文献.19致谢.20引言引言在数学科学体系中，微分方程是其中的一类，而伯努利方程又是微分方程中的一个类型，这类方程形如，其中、为的连续( )( )nyP x yQ x y( )P x( )Q xx函数，为常数且0，1。伯努利方程是一种特殊的一阶非线性

5、常微分方程，nn一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程，进而用初等积分法来求解。在数学发展史上，常有一种问题多种解决办法的传统，因此，许多学者都致力于研究伯努利方程的求解。本文在充分分析这些参考文献的基础41上，根据其解法特征，将它们进行了分类整理，便于对各种解法的理解和认识。同时，探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用。本文主要分成两个部分，结构如下：第一部分是伯努利方程的解法，主要给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二部分是伯努利方程的应用，主要探讨了伯努利方程在一阶微分方程和高阶微分方程的求解中的应用。1.1.伯努利方程的解法伯努利方

6、程的解法1.11.1 变量代换法变量代换法1.1.1 一般解法伯努利方程：（0，1） ，( )( )ndyP x yQ x ydxn其一般解法步骤如下： 方程两端同除以得：ny.1( )( )nndyyp x yQ xdx 令即可化为一阶线性微分方程：z 1 ny(1) ( )(1) ( )dzn P x zn Q xdx 通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程的通解 最后经变量代换得原方程的通解，即： (1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc11.1.2 函数变换法设是伯努利方程的解，则对两边求导得：( ) ( )yu x v x( ) (

7、)yu x v x，( ) ( )( ) ( )yu x v xu x v x将上式代入方程得：，( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )nnu x v xu x v xp x u x v xQ x ux vx整理得： ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )nnu x v xu x v xp x v xQ x ux vx（1.1） 令解得：( )( ) ( )0v xp x v x ( )( )p x dxv xe， （1.2）将（1.2）式代入（1.1）式得：，( )( )( )( )( )p x dxnp x dxnu x eQ x ux

8、e整理得： ，(1)( )( )( )( )np x dxnu x uxQ x e两边积分得：，(1)( )1( )(1)( )np x dxnuxnQ x edxc故伯努利方程的通解为：(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc21.1.3 求导法令，1( )( )nzA x yB x对上式两边求导得：，1( )( )(1)( )nnzA x yA xn yyB x即有：，11( )( )(1) ( )nnyyzB xA x yn A x代入伯努利方程得：1(1) ( ) ( )( )( )(1) ( ) ( )0nzn A x p xA x

9、 yB xn Q x A x令 ， (1) ( ) ( )( )0n A x p xA x( )(1) ( ) ( )0B xn Q x A x解得： ， (1)( )( )np x dxA xe(1)( )( )(1)( )np x dxB xnQ x edx这时伯努利方程变为，解得.0z zc于是得到伯努利方程的通解为：(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyenQ x edxc31.1.4 恰当导数法令，有，( )( )p x dxu xe( )( )( )p x dxu xp x e 即：( )( )( )u xp xu x 则伯努利方程变形为：，11(

10、)( )( )( )( )nnnu xyyyQ x uxu xux，11( )( )( )( )( )nnyu xyQ x uxyu xu x，11()()( )( )( )nnylnylnuQ x uxu x，11()( )( )( )nnyylnQ x uxuu x设得：yuz，11()( )( )nnlnzQ x ux z （可分离变量微分方程） 1( )( )nnzQ x uxz两边积分解之得：，11(1)( )( )nnznQ x ux dxc用，回代得伯努利方程的通解为：yzu( )( )p x dxu xe(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn

11、eQ x edxc2 1.21.2 常数变易法常数变易法方程， （1.3）( )( )0,1nyp x yQ x yn（1.3）的齐次方程的通解为：( )p x dxyce设原方程的通解为：，( )( )p x dxyc x e代入（1.3）得：( )( )( )( )( )p x dxnp x dxnc x ecx eQ x这是一个可分离变量的微分方程，可求出1( )ncx即： ，(1)( )1( )(1)( )np x dxncxnQ x edxc则原方程的通解为:(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc4 1.31.3 积分因子法积分因

12、子法将原伯努利方程化为：， 1( ( )( )0nnp x yQ x dxy dy（1.4）有 1( )( ),nnMp x yQ x Ny则： ，1()(1) ( )MNn p xNyx只是关于的函数，则其积分因子为，x( )u x，(1)( )( )np x dxu xe将乘以(1.4)式得：(1)( )( )np x dxu xe ， (1)( )(1)( )1 ( )( )0np x dxnp x dxnnep x yQ x dxy edy（1.5）（1.5）式为全微分方程，其通解为：，(1)( )(1)( )( , )( )np x dxnp x dxnu x yQ x edxy e

13、dyc 即：，(1)( )(1)( )11( )1np x dxnp x dxnyeQ x edxcn整理得伯努利方程的通解为：(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc51.1.4 4 解法举例解法举例例：解微分方程：26dyyxydxx 解： 一般解法：方程两端同除以得： 2y，26dyyxdxxy 令有： 1zy，6dzzxdxx它的通解为： ，268xczx故原方程的通解为： 2168xcyx 函数变换法：设是原方程的解，代入原方程得：( ) ( )yu x v x ，226( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )u x

14、v xv x u xu x v xxux vxx 即： ， 226( ) ( )( ) ( )( )( )( )u x v xu x v xv xxux vxx （1.6）令，解得6( )( )0v xv xx6( )v xx将代入（1.6）式得：( )v x，6212( )( )u x xxux x 整理得:，72( )( )u xx ux 解得：，81( )8xuxc故原方程的通解为：2168xcyx 求导法： 令，1( )( )zA x yB x 对上式两边求导得：，12( )( )( )zA x yA x yyB x，211( )( )( )yyzB xA x yA x 代入原伯努利方

15、程得：，16( )( )( )( )0zA xA x yB xA x xx令 ， 6( )( )0A xA xx( )( )0B xA x x解得： ， 6( )A xx8( )8xB x ，1( )( )zA x yB xc得： 216( )( )8cB xxcyA xx故伯努利方程的通解为：2168xcyx 恰当导数法： 令 ， ，( )u x66dxxex 5( )6u xx则 ( )6( )( )u xp xu xx 则原方程化为：，2( )( )( )( )u xyyyxu xu xu x ，( )( )( )( )yu xyxu xyu xu x ，()()( )( )ylnyln

16、uxu xu x ，()( )( )yylnxu xuu x 令得：yuz，()( )lnzxu x z ，72( )zxu xxz 即：，27dzz xdx 解得：818xzc将代入上式得原伯努利方程的通解为：6yzx2168xcyx 常数变易法：原伯努利方程的齐次方程为：，60dyydxx其通解为：6ycx设原方程的通解为：，6( )yc x x代入原方程得：，655212( )6 ( )6 ( )( )c x xc x xc x xxcx x 整理得：，27( )( )c xcx x 积分得：，81( )8xcxc则原方程的通解为： 2168xcyx 积分因子法：，6( )p xx (

17、),2Q xx n 将原方程化为： ， 126()0yx dxy dyx（1.7）则积分因子为：66( )dxxu xex将乘以（1.7）得：( )u x，62751(6)0 x y dyxx ydx积分得原伯努利方程的通解为：2168xcyx注：从以上解法中可以看出：总体上运用了三种方法，即变量代换法、常数变易法、积分因子法。变量代换法的解题思路是将一阶非线性微分方程化为一阶线性非齐次方程或变量可分离方程。常数变易法的解题思路是将一阶非线性微分方程所对应的齐次方程的通解中的常数变成关于的函数，再代回原方x程得一变量可分离方程。积分因子法的关键就是找到积分因子，将伯努利方程凑成全微分方程。例题

18、中的六种解法，最容易先想到的就是一般解法和常数变易法，一般解法计算过程稍微有点复杂，常数变易法则相对简单一些。而恰当导数法计算过程复杂且不易想到。函数变换法、求导法应用技巧，计算过程稍微简单些。积分因子法使用巧妙，其计算过程简洁，方法简单。 2.2.伯努利方程的应用伯努利方程的应用2.12.1 在一阶微分方程中的应用在一阶微分方程中的应用2.1.1 在形如（存( )( )00( )( )()y xy xny yp xy dyq xy dy ( )0y xy dy 在且不为零）方程中的应用令=，有( )y x( )0y xy dy ，( )( )dy xy y xdx 则原方程化为：( )( )

19、( )( )( ) ndy xp xy xq xy xdx此方程为伯努利方程，可求得1( ( )ny x故原方程的通解为：(1)( )(1)( )1( ( )(1)( )np x dxnp x dxny xn eq x edxc例 1：2422yyxyxy 解：令，则2xy 2dxyydx 代入原方程得：，22 dxxxxxdx 解得：，212( )2xxce则原方程的通解为：2122( )2xyxce2.1.2 在形如方程中的应用1 ( )( )( )( )yyyyfx hygyxhxxxx令代入上方程中，然后整理把取作自变量yxuu则得到一个伯努利方程： 1 ( )( )( )( )dxg

20、 uuf uxf uxh udu（2.1）求得（2.1）的通解为：,( )( )( )( )( )( )1( )()( )( )f uduf ug uuf udug uuf ueh uxduc eg uuf u 然后将换成得到原方程的通解.uyx例 2：.2(4)22xxy yyxxy解：方程中22,( )4, ( )2, ( )yyyyyfghxxxxx设得：yux，3(22 )4dxuxx udu把取作自变量，解这个伯努利方程得：u，234411()(1)34xuucu将换成得原方程的通解为：uyx 234411 ( )( )(1)34yyyxcxxx2.1.3 在黎卡提方程中的应用黎卡提

21、方程：，其中都是连续函2( )( )( )dyp x yQ x yR xdx( ),( ), ( )p x Q x R x数。 如果已知黎卡提方程的一个特解为：，1( )yy x作变量替换，1( )( )( )y xz xy x则，1dydydzdxdxdx代入原方程得：2111( )()( )()( )dydzp x zyQ x zyR xdxdx .22111( )2 ( )( )( )( )( )p x zp x yQ x zp x yQ x yR x由于是原方程的特解，因而满足:1( )yy x，2111( )( )( )dyp x yQ x yR xdx所以 212 ( )( )(

22、)dzp x yQ x zp x zdx容易知道这是一个关于的伯努利方程且，则由伯努利方程通解：z2n ，(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc可求得：，1z12 ( )( )(2 ( )( )( )p x yQ x dxp xQ xdxep x edxc 即：，1(2 ( )( )(2 ( )( )11( )( )( )p x yQ xdxp xQ xdxep x edxcy xy x 从而原方程的通解为： （其中 是常数）12 ( )( )(2 ( )( )11( )( )( )p x yQ x dxp xQ xdxy xy xep x

23、 edxcc例 3：223yxyxyx 解：易知原方程的一个特解为，11y 作变量代换，( ) 1yz x有代入原方程得：1dydzddxdxdx，( ( ) 1)2 ( ( ) 1)3dyx z xx z xxdx整理得：为伯努利方程，24dzxzxzdx解得：21214xzce 又由得原方程的通解为：( ) 1yz x221114xcey 62.22.2 在高阶微分方程中的应用在高阶微分方程中的应用2.2.1 在形如方程中的应用( )( )0yp x yq x y方程中是关于的连续函数且.( ), ( )p x q xx( )( )(1) 1xp xq x ce 设为原方程的解,( )u

24、x dxye则，( )( )u x dxyu x e ，( )2( ( )( ( ) u x dxyu xu xe 将代入原方程得：,y y 2( )( )( ) ( )( )0u xuxp x u xq x（2.2）则（2.2）式是一个黎卡提方程，由应用 2.1.3 可知， （2.2）式可化为一伯努利方程，其通解为:1( )(1)xu xce故原方程的解为：11xyec 则原方程的一个特解为111xyec 设原方程与线性无关的另一个解是，1( )y x2( )yx则由刘维尔公式得：，( )21211( )p x dxyxyedxy故原方程的通解为： ( )1121211p x dxyc yc

25、 yedxy 例 4：1(1)0 xyx eyxy 解：由，( )1(1)xp xx e ( )q xx则 ，( )(1) 1(1) 1( )xxq x ex ep x 即： ( )( )(1) 1xp xq x e 则原方程的一个特解为，11xye 则由刘维尔公式得原方程的通解为： 1(1)1221(1)(1)(1)xx edxxxxyceceedxe 22122(1)(1)(1)xxxxeexxxxececedxe72.2.2 在形如方程中的应用( )( )( )0p x yq x yr x y方程中且存在.( )( )q xxr x 2 ( )( )( )( )p xxq xz xxp

26、x设是原方程的解，则( )f x dxyxe，( )( )( )f x dxf x dxyexf x e ，( )( )( )22 ( )( )( )f x dxf x dxf x dxyf x exfx exfx e将代入原方程得：,y y 22 ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )0p x f xxp x fxxp x fxq xxq x f xxr x（2.3）因为，所以（2.3）式化简为：( )( )q xxr x ， 22 ( )( )( )( )( )( )p xxq xfxfxf xxp x （2.4）又因为，所以（2.4）式即为：2 ( )( )(

27、)( )p xxq xz xxp x， 2( )( )( ) ( )fxfxz x f x （2.5）（2.5）式为伯努利方程，其通解为：( )( )1( )()z x dxz x dxf xedxce故原方程的通解为：( )1( )()z x dxz x dxedx cedxyxe 例 5：30 x yxyy解：，2 ( )( )( )( )p xxq xz xxp x3( )p xx( )q xx则 ，3232221( )xxz xx xxx222121()()1( )()dxdxxxxxf xedxce112()xxex ce则原方程的通解为：1112()xyx c ec72.2.3 在

28、形如方程中的应用 1( )()nypyqyryf xysys y当时，原方程可写为： (2.6)10,0rs( )()nypyqyf xysy设为方程(2.6) 的两个非零实特征根且12, 1s 由方程(2.6)的特征方程得：32pq 是方程的非零实根12, 20pq 令，则方程(2.6)化为：yz ， （2.7）( )()nzpzqzf x zsz于是为（2.7）的特征根，从而有，12, 1212, pq 因此当时， （2.7）可改写为：1s 1211()()( )()nzzzzf x zz（2.8）令，则（2.8）化为：1zzu为伯努利方程，2( )nuuf x u其通解为：，221111

29、(1)( )xnxnuecnf x edx 于是有：，2211111(1)( )xnxnzzecnf x edx 解得：，z 12121()(1)121(1)( )xxnxnececnf x edxdx即：，y 12121()(1)121(1)( )xxnxnececnf x edxdx故原方程的通解为：y 12121()(1)1213(1)( )xxnxnececnf x edxdxc例 5：122()xyyyeyy解：特征方程为：，32( )20p特征根为：，1231,2,0 且方程中，11s 故由上述结论得：3221312xxxxye cece e dx dx dxc2211231557

30、()()6262216xxxxeccc ec当时，设为原方程的实特征根且10,0rs11211122,()ss ss 令，则原方程可化为：1xyez ， (2.9)1(1)1121()()( )()2nxnzpzpzf x ezs z其中，321111()ppqr2111()32ppq11()2(3)pp显然方程（2.9）与方程（2.6）是同类方程，因此设为方程（2.9)的两个非零实根，12,k k即为的两个非零实特征根且时，12,k k2111()()02kpkp21sk由情形知方程（2.9）的通解为：；121121()(1)()1213(1)( )k xkkxnkxnzececnf x edxdxc又由，则原方程的通解为：1xyez1121121()(1)()1213(1)( )xk xkkxnkxnyeececnf x edxdxc例 6