1.1.3导数的几何意义(教学设计)

1、SCH南极数学人教 A版选修2-2第一单元导数及其应用同步教学设计1.1变化率与导数(教学设计)(3)1. 1. 3导数的几何意义教学目标：知识与技能目标：通过实验探究，理解导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质中的作用。过程与方法目标：培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的 迁移，培养学生科学的思维习惯。情感、态度与价值观目标：渗透逼近和“以直代曲”思想，能激发学生的学习兴趣，培养学生不断发展、探索知识的精神，引导 学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

2、教学难点：导数的几何意义.教学过程：一、复习回顾：导数的概念：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是f(Xo LX) - f(Xo)X我们称它为函数 y = f(x)在X = X0出的导数，记作_ '、'LIf (Xo)或 y Ixr，即f d)=l1m0f(Xo . ：X) - f (Xo)X10说明：(1)导数即为函数 y=f(X)在x=xo处的瞬时变化率(2) Ax =x-x0,当 Axt 0 时,xt x0,所以 f '(x0)=蚣f(x)- f(Xo)x - Xo二创设情景，新课引入：(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数

3、y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况, 导数f (X0)的几何意义是什么呢?三.师生互动，新课讲解：(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当Pn(Xn，f(Xn)(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(% , f (%)时，割线PR的变化趋 势是什么？图 3.1-2我们发现，当点R沿着曲线无pM接近点 P即A x- 0时，割线PR趋近于确定的位置， 这个确定位置的直线 PT称为曲线在点P处的切线.问题：割线 PR的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？切线PT的斜率k为多少？f(x) f(x) _容易知道，割线PPn的斜率是kn

4、=土丝，当点R沿着曲线无p接近点 P时，kn无限趋近于切线,f (x0：x) - f (x0)PT 的斜率 k ,即 k =幽一0一/二f (x0)说明：(1)设切线的倾斜角为那么当Ax-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；切线斜率的本质 一函数在x=x0处的导数.(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关；2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.(二)导数的几何意义：函数y=f(

5、x)在x=x0处的导数等于在该点(x0 , f (x0)处的切线的斜率，f (x0：x) - f (xO)汉说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 求出P点的坐标;求出函数在点x0处的变化率fHo)：鸣f(x0+R)_f(x0)=k，得到曲线在点(%,f(%)的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.(二)导函数：由函数f(x)在x=xo处求导数的过程可以看到，当时，f '(%)是一个确定的数，那么，当x变化时，便是x 的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数.记作：f'(x)或y',即:f (x) = y =晒f (x x) T (x)Lx注：在不致发生混淆时，导函数也简称

6、导数.(三)函数f (x)在点x0处的导数f (%)、导函数f'(x)、导数之间的区别与联系。1)函数在一点处的导数 f'(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常 数，不是变数。2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数一 _. . _ I . . . . .3)函数f (x)在点x0处的导数f (x0)就是导函数f (x)在x = x0处的函数值，这也是 求函数在点x0处的 导数的方法之一。例1:求曲线y=f(x)=x2+i在点P(1,2)处的切线方程.22.2(1 /x) 1-(11) 2 x :x 。斛：y 1

7、=则0二则 ,X ' 2，所以，所求切线的斜率为 2,因此，所求的切线方程为 y-2 = 2(x-1)即2x-y = 0变式训练1：求函数y=3x2在点(1,3)处的切线方程。解：因为y |x 4= limx13x2-3 1x -123(x2 -12)=lim ) =lim3( x 1) =6x 1 x -1 x 11.1098765432 Lo.ssaaao,o.01000.10,20.3040.50.60.70.80.9 L0 l.l所以，所求切线的斜率为 6,因此，所求的切线方程为 y3 = 6(x1)即6x y 3=0例2 (课本P7例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随

8、时间变化的函数 2h(t)=49t +6.5t+10 ,根据图像，请描述、比较曲线h(t)在片、i、t?附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t。、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上 述三个时刻附近的变化情况.(1) 当t=t。时，曲线h(t)在t。处的切线l0平行于x轴，所以， 在t =t。附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 当t=t1时，曲线h(t)在t1处的切线11的斜率h'(t1)<0,所以，在t =t1附近曲线下降，即函数 2h(x) = Y.9x +6.5x+10在1=%附近单调递减.(3) 当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h'(t2)<

9、;0,所以，在t =t2附近曲线下降，即函数h(x) = Y.9x2 +6.5x+10 在 t=t2 附近单调递减.从图3.1-3可以看出，直线11的倾斜程度小于直线 %的倾斜程度，这说明曲线在G附近比在t2附近下降的 缓慢.例3(课本P8例3)如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c = f(t)(单位：mg/mL)随时间t (单位：min )变化的图象.根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图3.1-4

10、,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t =0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0. 7 , 0. 9 (1.0,0.48),则它的斜率为： ,0.4 8 0.9 1,k 二 1.41.0 0.7所以 f (0.8) ： -1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.20.40.60.8 , 药物浓度瞬时变化率f (t)0.40-0.7-1.4课堂练习：(见课件)1 .曲线y= 2x2+1在点(0,1)处的切线白斜率是(B )A. 4B. 0 C. 4D.不存在12c 3 ,2、曲线y=-x -2在点(1,一±)处切

11、线的倾斜角为()5 二二(A) 1(B) -(C) -(D)-3 .若曲线y=h(x)在点P(a, h(a)处的切线方程为 2x+y+1 = 0,那么(B ) A. h' (a) = 0B. h' (a)<0 C. h' (a)>0D. h' (a)不确定4 .曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为(B ),11、A.(-2, -8)B.(1,1), (1, - 1)C.( 2,8) D.( ,)28四.课堂小结，巩固反思：1 .曲线的切线及切线的斜率；2 .导数的几何意义五.课时作业：一、选择题：1、(tb11502101)函数y=f(

12、x)在x=xo年的导致f (xO)的几何思乂是( C) (A)在点x=x0处的函数4；(B)在点(x0,f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值(C)曲线y=f(x)在点(x°,f(x0)年的切线的斜率 (D)点(x0,f(x。)与点(0, 0)连线的斜率3 .下列说法中正确的是()A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点答案 D解析 y= sin x, xCR在点g, 1）处的切线与y=sin x有无数个公共点 .A处的切线斜率为（）A.4答案B.16 C

13、.8 D.2解析f（2人即0 gx尸里）22(2+ Ax)一8口 u一姬一=炉0 (8+2Ax)=8,即k=8.4.若曲线y = x2 + ax+b在点（0, b）处的切线方程是x-y+1 = 0,则()A. a= 1,b=1b= 1C.a= 1,b=- 1D.a= 1,b=- 14 .已知曲线y=f（x） = 2x2上一点A（2,8）,则点答案 A 解析由题意，知k=y' |x=o2f0+Ax 2+af0+Ax 廿 bb=lim*= 1, - a = 1.位-0Ax又（0, b）在切线上，b= 1,故选 A.5.已知曲线1 2 y=2x-2上一点P , , - 2 i,则过点P的切线

14、的倾斜角为（）A.30B.45C.135D.165答案解析y=2x2-2,=lim庆一01, 22(x+ Ax 广2 2x2xx,1, x+ 2 Ax 尸 x.，y'岛=1.，点 P 1,2 ;处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为 45。.6.曲线y=4x-x 3在点(-1,-3）处的切线方程是（）A.y=7x+4B.y=7x+2C.y=x-4D.y=x-2【解析】选D.=1+3 Ax-（ Ax）2,所以切线斜率 k=1 ,切线方程为y=x-2 ,故选D.二、填空题：7.已知曲线y=f(x) = 2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为 .答案 (3,30)解析设点 P(xo,

15、2x2+4xo),则f' %)=蛔0%产一 2 ,2 f Ax 1 + 4% ,. 4 Ax=财01:M= 4xo + 4，令 4%+4=16得*0=3, .,.P(3,30).1-8 .已知函数y=f(x)的图象在点 M(1, f(1)处的切线万程是 y = 2x+2,则f(1) + f' (1)=答案 31解析 由在点M处的切线万程是y=2x+ 2,15,1得 f(1) = 2X1 + 2 = 5,。(1) = 2.5 1 f(1)+f (1)=5+ 2 = 3.9 .过点P(1,2)且与曲线y=3x2-4x+ 2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 答案 2x y+4

16、=0 解析 曲线y=3x24x+ 2在点M(1,1)处的切线斜率k= y心产则。3(1+ Ax 24(1 + 攸广 2 3+42x=lim0 (3Ax+ 2)=2.过点P(1,2)的直线的斜率为2,由点斜式得y-2=2(x+1),即 2x y+4=0.所求直线方程为2x y+4=0.三、解答题：10、已知函数f(x)=Jx,求f(x)在x = 2处的切线。 分析：f(x)在x=2处的切线的斜率就是 f '(2)。解：y _f (2 x)- f (2) _、2 x-，2( 2 x - . 2)(. 2 x. 2)xxx：x( 2x, 2)1所以:12=2.24所以，函数f(x)在x=2年

17、的切线的斜率为：'42所以所求的切线方程：y- 2 =72 (x-2)22即：x-y+ x-y+=011、求函数f(x)=-x2 +x在x =1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：工-(-1 M2 (-1"2.3 一x:x:x2_=1呵3 - ：x）=3f（_1）= lim3=Y凶加 一2Lx 0 , x二 x12.求曲线y= x2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积.解由导数定义可得y' |x-=2,曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1 = 2(x-1),即y= 2x 1,设它与两坐标轴的交点分别为A(0,1- 1), B(2, 0),

18、,c 1 1- S*A AOB 2|OA |OB|= 4.【书本作业，课外完成】1、(课本P10习题1.1 A组NO: 5)2、(课本P10习题1.1 A组NO: 6)- 山南可如* /敢qG-5处梆线的斜率大于零*所以函数件工 /用辿单调建轨 同理可耨.南致“ 一门32,k1附近分别单调递增.足手没心叱化.单调递单调KM "以内代册”想坦的应用.必第 一函数的图象比保代线.儿斜中足 卜小于零的楷数.冈此，四9枇 八一的阳欺如知】所 小】第 一雨教的琲效门“恒大F,井11随赤，的增加.。)的例也住增加1时第"，函 敢.与，小才事时.小小于零，当大产零财.小川大于哥.井口随椅的增加*八1的他 也住增加.a卜给出满足上述能什的力函数图象中的-神.I >说明 4跑总(让