第一节_不定积分的概念与性质(论文资料)

1、例例，xxcos)(sin xsin是是xcos的的原原函函数数.，？23)(x 第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数一、原函数如如果果在在某某区区间间I内内)()(xfxF , ,则则称称I内内F(x)为为f (x)的的一一个个原原函函数数. . 定义定义不定积分又称不定积分又称反导数反导数, ,它是求导运算的逆运算它是求导运算的逆运算. . ，233)(xx ，233)1(xx ，233)(xCx .本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。原函数存在定理：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区区间间 I 内内连连续续， 简

2、言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否存在？原函数是否存在？那么在区间那么在区间 I 内存在可导函数内存在可导函数)(xF， 使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 是否唯一？是否唯一？因此初等函数在其定义区间内都有原函数因此初等函数在其定义区间内都有原函数 。( (但原函数不一定是初等函数但原函数不一定是初等函数) ) 推论推论1 .域内原函数存在基本初等函数在其定义 推论推论2 .区间内原函数存在初等函数在其有定义的 ?是否一定有原函数存在初等函数在其定义域内 . , 1cos)( , .成它的定义域由孤立点构例如不一定xxf ?

3、定为初等函数初等函数的原函数不一唯一性？唯一性？)()( )()(xGxFxGxF 0)()( xfxf（1 1）若）若)(xF是是)(xf的一个原函数的一个原函数, ,则对任何常数则对任何常数C, , CxF )(也是也是)(xf的一个原函数；的一个原函数； （2 2）设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数, ,则则)(xf的的任任一一个个原原函函数数)(xG与与)(xF最最多多相相差差一一个个常常数数, ,即即CxFxG )()(. . 综 合综 合(1)(2),(1)(2),如 果如 果)(xf有一 个原 函数有一 个原 函数)(xF, , 则则CxF )(是是)(xf的所有原

4、函数的一般表达式的所有原函数的一般表达式. . .)()(CxFxG 所以所以二、不定积分二、不定积分积分常数积分常数积分号积分号被积函数被积函数CxFxxf )(d)(被积表达式被积表达式积分变量积分变量若若)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数, ,则则称称CxF )(为为)(xf的的不不定定积积分分, , 记为记为.)()d(CxFxxf 定义定义 , )( ,的全部原函数的过程称求已知函数习惯上xf . )( 的不定积分为求函数xf .运算求不定积分是求导的逆 例如： ;d2 ,2)(22Cxxxxx ;sin dcos ,cos)(sinCxxxxx.|lnd1 ,1) |(l

5、nCxxxxx每一个求导公式, 反过来就是一个求原函数的公式, 加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式. ),()( :则算不定积分是求导的逆运xfxF . )(d)(CxFxxf例例1 1 求求.d5xx 解解,)6(56xx .6d65Cxxx 解解例例2 2 求求.d112 xx,11)(arctan2xx .arctand112 Cxxx，若若1 .|lnd Cxxx则则说明：说明：,0 xxx1)(ln ,0 x)(1 xx.)ln(d Cxxx,1x 例例3 3 求求解解.dxx .1d1Cxxx 则则，若若1 )ln( x;lnd1 xxx 不定积分的几何意义：不定积分的几何意

6、义：xyo 设设F(x)是是f (x)的一个原函的一个原函数，则方程数，则方程y= F(x)的图形是的图形是直角坐标系直角坐标系Oxy中的一条曲线，中的一条曲线，称为称为f (x)的一条的一条积分曲线积分曲线. 将这条曲线沿将这条曲线沿y轴向上轴向上或向下移动长度为或向下移动长度为|C|的距的距离，就可以得到离，就可以得到f (x)的无穷的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f (x)的的积分曲线族积分曲线族，其方程为，其方程为 xxfyd)(CxFy )(或或它的特点是：它的特点是： 在横坐标相同的点处，各积分曲线的在横坐标相同的点处，各积分曲线的

7、切线有相同的斜率，都是切线有相同的斜率，都是 f (x) ，即各切线平行。，即各切线平行。 xyo有有时时需需要要求求 f(x)通通过过定定点点),(00yx的的积积分分曲曲线线， 即即满满足足条条件件00)(yxy 的的原原函函数数，这这个个条条件件一一般般称称为为初初始始条条件件，由由这这个个条条件件可可以以唯唯一一确确定定常常数数 C xxyd2,2Cx , 1 C得得.1 2 xy所所求求积积分分曲曲线线为为，代入代入将将2, 1 yx例例4 4解解求求函函数数xy2 过过点点)2, 1(的的积积分分曲曲线线。 xyo1三.不定积分的计算利用不定积分的性质利用不定积分的性质换元法换元法

8、( 第一、第二第一、第二 )分部积分法分部积分法部分分式法部分分式法1. 利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质. xxgxfd)()() 1 (;d)(d)( xxgxxf证证d)(d)( xxgxxf. )()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）d)(d)( xxgxxf, )(d)(dd )3(xfxxfx xxfxxfd)(d)(d ,)(d)( )4( CxFxxF CxFxF)()(d这些性质不难由不定积分的定义直接获得。这些性质不难由不定积分的定义直接获得。 xxkfd)()2( xxfkd)(（k

9、是是常常数数，)0 k基本积分公式基本积分公式Ckxxk d)1(k是常数是常数););1(1d)2(1 Cxxx;lnd)3( Cxxx xxde 特特别别，Cx e xaxd)4(;lnCaax xxdcos) 5(;sinCx xxdsin)6(;cosCx 基本积分公式基本积分公式 xx2cosd)7( xxdsec2;tanCx xx2sind)8( xxdcsc2;cotCx xxd11)10(2)cotarc(arctanCxCx 或或 xxd11)9(2)arccos(arcsinCxCx 或或例1 . d) 12( 33xx求解 d1)6128(d) 12( 24633xxx

10、xxxxxxxxxxdd6d12d8246 . 251278357Cxxxx直接积分法直接积分法分项积分法分项积分法例2 . d1132 2xxxx求解) ( 165211322除法xxxxxxxxxxxxd)1652(d11322xxxxxd116d5d2 . | 1|ln652Cxxx绝对值绝对值例3 . d13 22xxx求解xxxxxxxxxd113d3d1333d1322222 . arctan33Cxx利用加一项、减一项的方法.例4 . 1d xex求解xeexxeeeexxxxxxxd1dd111d . )1ln(Cexx?利用加一项、减一项的方法.例5 . )( )(d bab

11、xaxx求解xbxaxbabxaxxd111)(d xbxxaxbad1d11 . ln1Cbxaxba部分分式法xxxd124xxxxd11) 1)(1(222 xxxd)111(22 Cxxx arctan33xxxd11124 例6例7 . dsincos2cos 22xxxx求解 dsincossincosdsincos2cos222222xxxxxxxxxxxxxdcos1dsin122 . tancotCxx .下面看另一种解法例7 . dsincos2cos 22xxxx求解xxxxxxxxdsincos42cos 4dsincos2cos2222xxxd)2(sin2cos2 2221vvv . 2sin2Cx 有何想法？两个解法答案不同，你例8 . sin1d xx求解 d )sin1)(sin1 (sin1 sin1dxxxxxxxxxdcossin12xxxxxdcossindcos122 . sectanCxx想想它是谁的导数？怎么做？怎么做？利用平方差公式xxdtan2Cxx tan xxd)1(sec2xxd2sin2 xxd2cos1Cxx )sin(21例9解例10解例11 . d2 xexx求解Ceexexexxxx )2ln()(2 d)2(d2 .