基本不等式及其应用

1、【知识梳理】一、基本不等式的应用基本不等式是证明不等式及求函数最值的重要工具，在新教材中 这一作用体现得更为明显。灵活使用基本不等式是成功解题的关键，使用时要注意“一正、二定、三相等”，下面介绍基本不等式的三种应用 。（一）直接应用基本不等式 直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。 例1. 已知a，求证：。 （二）间接应用基本不等式 间接应用基本不等式是指题中没有基本不等式的结构，或不满足“一正、二定、三相等”，这时需要对已知条件作结构变换，构造基本不等式结构模型，然后再使用基本不等式解题。 例2. 设x>0，求证：。 分析：由

2、题意可知，若直接应用基本不等式，则无法证明，此时需对原不等式进行结构上的变换，创造条件使用基本不等式。 （三）两次应用基本不等式连续两次应用不等式解题，使用时要注意等号要同时成立。例3. 已知a，且a+b=1，求的最小值。 例4. 设a>b>0，求的最小值。 变式题1：若x> -1则x取什么值时x+的值最小？最小值是多少？变式题2：x>0时的最小值为多少？何时取到？变式题3：x>0，当x为何值时，取到最大值？最大值是多少？变式题4：x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？二、不等式的证明1.证明不等式的基本依据：（1）实数大小的比较原则；（2）不等式

3、的性质；（3）几个重要不等式，特别是算术几何平均值不等式（4）已知函数的增减性；（5）实系数一元二次方程的根的判别式.2.证明不等式的常用的方法:比较法：作差比较，要点是：作差变形判断。这种比较法是普遍适用的，是无条件的。根据ab>0a>b，欲证a>b只需证ab>0；作商比较，要点是：作商变形判断。这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。当b>0时，a>b>1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分

4、条件为止。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法证明不等式的逻辑关系是：.分析法的思维特点是：执果索因综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是基本不等式找思路。用综合法证明不等式的逻辑关系是：.综合法的思维特点是：由因导果例5、设变式练习：三、不等式的应用题例6、某村计划建造一个室内面积为的矩

5、形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地，当矩形室的变长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积时多少？变式吝惜某工厂第一年产量为A，第二年增长率为，第三年增长率为，这两年的平均增长率为，则有 （ ）（A） （B） （C） （D）例7、建造一个容积为，深为的长方形无盖水池，如池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求水池的最低造价。 例8、已知直角三角形的斜边为定值，求：（1）这个直角三角形面积的最大值；（2）这个直角三角形周长的最大值。例9、现要建造一个面积为40平方米的矩形房子，已知围墙每米的造价500元，如何建造，才能使围墙的造价最低，

6、最低造价是多少元？（精确到0.1） 例10、某造纸长拟建一座占地面积为200平方米的矩形二级污水处理池（如图），池的深度一定，池的外围周壁造价单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元（池壁厚度忽略不计），污水处理池的长为多少米时，可使总造价最低？ 【课堂总结】1、 不等式的证明有哪些方法？都相应的要注意什么问题？2、 基本不等式都有什么用图？【课后练习】1、均值不等式链设、，则（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当时等号成立. 2、甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为，后一半时间的行走速度为；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程；问：谁先到达B地？ 3、某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为