余弦定理(公开课)PPT

1、一、实际应用问题一、实际应用问题BCA5km8km60某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A A，量，量出出A A到山脚到山脚B B、C C的距离，分别是的距离，分别是AC=5kmAC=5km，AB=8km AB=8km ，再，再利用经纬仪（测角仪）测出利用经纬仪（测角仪）测出A A对山脚对山脚BCBC的张角，的张角， 最最后通过计算求出山脚的长度后通过计算求出山脚的长度BCBC。60BAC思考思考：你能求出上图中山脚的长度你能求出上图

2、中山脚的长度BCBC吗？吗？二、化为数学问题二、化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。例：在ABC中，已知BC=a，AC=b，BCA=C求：c（即AB）ACBbac=?CBAcab探探 究究： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CACB=a,CA=b=b，CBCB与与CA CA 的夹角为的夹角为CC， 求边求边c.c.cABbCAaCB,设设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac三、证明问题三、证明问题CBAc

3、abAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac探探 究究： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.cABbCAaCB,设设CBAcabBaccabcos2222Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探探 究究：

4、若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.cABbCAaCB,设设bac同理：同理：A AB BC Cb bc ca aDbcosCbsinCa-bcosC222( sin)(cos)cbCabC22222sin2coscosbCaabCbC2222cosababCBaccabcos2222同理：同理：2222cosabcbcCABC当是直角三角形、钝角三角形呢？探探 究究： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CACB=a,CA=b=b，CBCB与与CA CA 的夹角为的夹角为CC， 求边求边

5、c.c.CBAcab(0，0)(a,0)xy(bcosC,bsinC)22)0sin()cos(CbaCbcCbaCabCb22222sincos2cosCababcos222坐标法坐标法Baccabcos2222Abccbacos22222222coscababC则同理：同理：余余 弦弦 定定 理理C CB BA Ab ba ac cCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：推论： 角对边的平方等于两边平方的和减去这两边角对边的平方等于两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

6、的积的两倍。与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。C CB BA Ab ba ac c剖析余弦定理：（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边；（4）余弦定理的优

7、美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形的值和边、求角中，已知在例aCBAcb,30, 32, 3ABC. 1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb2232 32 3 2 3cos303 C CA AB Ba ab bc c60,Bcb90180CBA解决实际应用问题解决实际应用问题BCA5km8km60某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人

8、员先在地面上选一适当位置这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A A，量，量出出A A到山脚到山脚B B、C C的距离，分别是的距离，分别是AC=5kmAC=5km，AB=8km AB=8km ，再，再利用经纬仪（测角仪）测出利用经纬仪（测角仪）测出A A对山脚对山脚BCBC的张角，的张角， 最最后通过计算求出山脚的长度后通过计算求出山脚的长度BCBC。60BAC4960cos85258222BC解：7BC例例2.2.在在ABCABC中，已知中，已知a= ,b=2,c= , a= ,b=2,c= , 解三角形解三角形( (依次求解依次求解A A、B B、C).C).解：由余弦定理得解

9、：由余弦定理得22222223161222 231()()cos()bcaAbc 60A45B180180604575CAB 631题型二、已知三角函数的三边解三角形22) 13(622) 13()6(2cos222222acbcaBC CA AB Ba ab bc c3,1,2,_ABCabcA变式训练：在三角形中，若则60例3、在ABC中,若a=4、b=5、c=6（1)试判断角C是什么角？（2）判断ABC的形状题型三、判断三角形的形状题型三、判断三角形的形状解：由余弦定理得：0815426542cos1222222abcbaC）（是锐角C是锐角三角形中的最大角是根据大边对大角，是锐角，）知

10、：）由（ABCABCCC12变式训练：在ABC中，若，则ABC的形状 为（）222cba、钝角三角形、直角三角形、锐角三角形、不能确定AbcacbA2cos222推论：推论：C CB BA Ab ba ac c提炼：设提炼：设a是最长的边，则是最长的边，则ABC是钝角三角形0222acbABC是锐角三角形0222acbABC是直角三角形0222acb思考思考在解三角形的过程中，求某一个角有时在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理正弦定理用余弦定理推论，解唯一用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。可以免去判断舍取。用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取判断舍取小结小结: :222co s2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCab 余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。、已知两边及其夹角，求第三边和其