系统工程学第6章fm

1、城市系统工程学北京大学城市与环境学院第6章模糊综合评价系统分析方法导论导言¢¢ 现实中的事物可以分为两大类：一类是相对明确的，和无，黑和白，有机和无机， 晴天和雨天， 平均温度， 区域人口， 如此等等；另一类是界限模糊的，如果大和小，优和劣，年轻与年老，貌美与貌丑，城乡边界，地位，如此等等。导言¢¢ 对于第一类现象，我们可以用确定的数字进行描述，建立常规数学模型开展分析。¢¢ 对于第二类现象，不可能提供确切的普查或者统计数字，常规的数学失效。¢¢ 这个时候可以采用模糊数学开展定量分析。导言¢¢

2、模糊数学（ fuzzy mathematics）由美国论L.A. Zadeh于1965年奠定基础。¢¢ Zadeh出生于伊朗的Baku， 父亲是伊朗人，母亲是犹太人。导言¢¢模糊数学发展的三个阶段：1. 1965年提出模糊集合概念（ Prof. Zadehs 1965 paper on fuzzy sets）；2. 1973年将模拟数学用于复杂系统和决策过程分析（ the 1973 paper on the analysis of complex systems and decision processes）；3. 1979年用于可能性理论和软数据分析（

3、the 1979 report (1981 paper) on possibility theory and soft data analysis）。导言¢¢ Zadeh创立模糊理论时发现一个互不相容原理：“的复杂性增加时，人们对系统的特性做出精确而有意义的描述的能力就会相应下降，以至达到这样一个阈值（threshold value），一旦超过该临界值，精确性与复杂性将变成两种相互排斥的特性”。¢¢ 这意味着，复杂性越高，有意义的精确化能力就会越低；精确化越低，暗示系统的模糊性越强。导言上个世纪80年代的时候，有学者将模糊数学（F）、灰色系统（G）及物元

4、变换等方 法结合起来，提出了FHW决策系统的概念， 地理界有人因此受到启发，认为模糊、灰¢¢色等等是解决地理学理论的重要工具。这些在地理学理论建设中的地位姑且¢¢不论，可以肯定模糊数学在综合评价和聚类分析等方面有所优长。数学模型¢¢ 所谓模糊综合评价，就是以模糊数学理论为基础，借助模糊的原理，对一些界限不易明确的现象进行定量分析与评价的一种数学。数学模型¢¢ 模糊综合评价在环境中的污染水质评判、旅游、房地产评估乃至市场分析与定位等领域都非常有用。¢¢ 模糊综合评价是在没有数据的情况下生成数据的典

5、型，但生成得合情合理，因为大多数据是通过问卷得的。等方式取数学模型¢¢ 当然，也可以通过理论的和评分的取得。¢¢ 以何种生成数据，可以根据具体的研究对象和具体的来决定。数学模型¢¢ 假设给定两个有限论域：U = u1V = v1up vm u2v2LL¢¢ 其中U代表综合评判的因素所组成的集合，V代表评语组成的集合。数学模型¢¢ 基于这两个论域可以建立如下模糊变换X · R = Y¢¢ 式中X为U上模糊子集，Y为V上的模糊子集，R为集。数学模型为什么我们不用UV直接

6、建立，而¢¢采样它们的子集合构造模型呢？在于，任何一个论域，在理论上涵¢¢盖的范围都非常广阔，我们在实际工作中不可能全面找到一个论域，我们只能找到论域的主要要素，据此构造某个论域的子集。简而言之，X之于U，Y之于V，有点像样本之于总体。¢¢数学模型¢¢ 上述集合和子集在日常生活中都有应有。¢¢ 举一个简单的例子。中国一个地理杂志的审稿单（或称“审稿意见书”）是一个准模糊综合评价。¢¢ 编辑部将本论点，的评审分为8个方面：基，成果意义。数学模型¢¢ 这个8个

7、方面一个评价因素论域即评价指标，可以表示为= 基本论点方法手段L成果意义X数学模型¢¢ 论域的每一个方面又分为A、B、C、D 四级评语，形成评语等级的论域即评语集= ADYBC¢¢ 如果对论域中的要素基本论点、手段赋予权重，则上述就是一个模糊综合评价。数学模型¢¢ 实际上，设计审稿单的也许不懂模糊数学，但他们不自觉地运用了模糊数学的思想。¢¢ 审稿人也许不得模糊数学，但在这个评审框架里，也会不自觉地运用模糊评价。¢¢ 将审稿单加以改进，可以变成一个典型的模糊综合评价。数学模型数学模型¢

8、¢ 为了便于大家理解模糊综合评价，下面讲述一个简明易懂的应用实例。¢¢ 假定对某房地产商人计划开发一种类型住宅房，他们关心的这种房屋建成上市以后是否有较好的销量。¢¢ 为此可以开展一个模糊评价，以便对市场行情心中有底。数学模型¢¢ 为了对这种房屋在市场上受欢迎的程度做出评价，我们可以从居住面积、居室数目和三个方面如下论域= 面积()X3¢¢ 这个论域是不够全面的，我们可以进一步考虑楼房的地理位置、小区环境状况等评价指标。不过，作为一个教学实例，我们尽可能地将化简。数学模型¢¢ 根据上面

9、的评价指标，对顾客展开问卷，让众多的顾客从上述三个方面对该种类型的住房下一个评语。评语集合可以分为四级= 非常欢迎( y )很不欢迎( y )Y比较欢迎( y )不太欢迎( y )1234数学模型¢¢ 假定的结果是20%的顾客对该房屋的居住面积非常欢迎，70%的顾客对居住面积比较欢迎，10%的顾客对居住面积不太欢迎，没有顾客对居住面积很不欢迎，于是可得对居住面积的模糊评价0.20.00.70.1中的数值就是模糊数学的隶属度。¢¢数学模型¢¢ 用同样的评价0.0得到对房屋居室数目的模糊0.10.40.5¢¢ 以及对房

10、屋价格的模糊评价0.20.10.30.4数学模型¢¢ 合并上述模糊评价可得集合éé0.20.70.40.30.10.50.40.0ùùúúêêR =0.00.1êêêêëë0.2úú0.1úúûû数学模型¢¢ 另一方面，在顾客的心目中，房屋面积、居室数目和的份量或者说重要程度是不一样的：有的人认为面积最重要， 有的认为居室数目最重要，有的人认为价格更为重要。

11、¢¢ 因此，有必要对综合评判因素子集的三个要素赋予。数学模型赋值有多种，对于这个而言，的结¢¢最可靠的还是测验。假定果为：20%的顾客认为居住面积最重要；50%的顾客认为居室数目最重要；1.2.3.30%的顾客认为最重要。数学模型¢¢ 则三个在U上一个模糊权重= 0.20.3X0.5数学模型¢¢ 借助模糊变换可以得到顾客对该房屋的综合评价，利用取小取大运算给出的综合评语集为éé0.20.70.40.30.10.50.40.0ùù=· = 0.20.50.3×

12、; êê0.00.1úúYXRêêêêëë0.2úú0.1úúûû= 0.20.50.10.4数学模型对上面的综合评价最后的结果进行归一化，可得¢¢0.170.090.340.40根据这个可以，这种类型的住房¢¢在市场上将会比较受欢迎，但不是特别受欢迎那种。数学模型¢¢ 上面这个结果一定让大家感到奇怪，因为采用通常的矩阵运算得到的结果与此不同。¢¢ 常规矩阵

13、运算结果应为0.10.430.390.08。¢¢ 这就涉及到取小取大等模糊运算。模糊运算和变换¢¢ 我们知道，对于常规的矩阵运算是先乘后加和，表为算子形式便是M(*,+)，不妨称之为乘法加法算子。模糊运算和变换¢¢ 对于两个常规A = 0.2¢¢ 与0.30.30.5CT= 0.70.4¢¢ 的运算，就是AC = 0.2 * 0.7 + 0.5 * 0.4 + 0.3 * 0.3 = 0.14 + 0.20 + 0.09 = 0.43¢¢ 对于模糊矩阵的运算，有所不同。模糊运

14、算和变换¢¢ 首先定义如下四个简单的模糊算子ììÙ 取小运算ïïÚ 取大运算ïïíí* 乘法运算ïïïïîîÅ 有界和运算即有界加法运算¢¢ 组合上述算子，可得模糊算子。模糊运算和变换¢¢ 假定评语分为m级，评价指标为p个。¢¢ 下面给出几种常用的模糊别举例说明如下。算子，分模糊运算和变换第一种M(,v)¢¢大算子。表示为公式的

15、形式就是pbj = Ú(ai Ù rij ) = maxmin(ai , rij )i=11£i£ p这里j=1,2,m。¢¢模糊运算和变换¢¢ 考虑两个模糊= 0.20.30.3A0.5¢¢ 与CT= 0.70.4¢¢ 的运算，可得 = Ú0.2 Ù 0.70.3 Ù 0.3AC0.5 Ù 0.40.3 = 0.4= Ú0.20.4模糊运算和变换第二种M(*,v)¢¢大算子。表示为公式的形式就是pb j=

16、 Ú (ai * rij ) = maxai * rij i=11£i£ p这里j=1,2,m。¢¢模糊运算和变换¢¢ 考虑两个模糊= 0.20.30.3A0.5¢¢ 与CT= 0.70.4¢¢ 的运算，可得 = Ú0.2 * 0.70.3* 0.3AC0.5 * 0.4= Ú0.140.09= 0.200.20模糊运算和变换第三种M(,)¢¢有界和算子。表示为公式的形式就是ppb j= Å(ai Ù rij ) = min1

17、, åmin(ai , rij )i=1i=1这里j=1,2,m。¢¢模糊运算和变换¢¢ 考虑两个模糊= 0.20.30.3A0.5¢¢ 与CT= 0.70.4¢¢ 的运算，可得 = Å0.2 Ù 0.70.3 Ù 0.3= Å0.20.40.3AC0.5 Ù 0.4= min(1,0.2 + 0.4 + 0.3) = min(1,0.9) = 0.9模糊运算和变换第四种M(*,)¢¢有界和算子。表示为公式的形式就是ppb j=

18、97;(ai * rij ) = min(1, å ai * rij )i=1i=1这里j=1,2,m。¢¢模糊运算和变换¢¢ 考虑两个模糊= 0.20.30.3A0.5¢¢ 与CT= 0.70.4¢¢ 的运算，可得 TAC= Å0.2 * 0.70.3* 0.3 = Å0.140.200.090.5 * 0.4= min(1,0.14 + 0.20 + 0.09) = min(1,0.43) = 0.43模糊运算和变换¢¢ 凡事尺有子各有优缺点，列表如下表所示。模

19、糊运算和变换算子内容M(,v)M(*,v)M(,)M(*,)发挥 的作用不明显明显不明显明显利用R的信息不充分不充分较充分充分综合程度弱弱较强强类型主因素决定型主因素突出型不均衡平均型平均型模糊运算和变换¢¢¢¢第一借助权ai矩阵的元素rij进行，由取小（）或者乘法（*）运算完成；第二对后的结果进行综合，由¢¢取大（）或者有界和（）运算完成。模糊运算和变换¢¢ 从发挥要比取小运算的效果好得多。¢¢ 乘法将ai的信息赋予了相应的rij值，而取小是在ai和rij两个数值中保留一个较小的数值。模糊运算

20、和变换¢¢ 虽然第一步的乘法运算可以将息赋予矩阵中的相应元素，但能否充分利用其信息还与第二步运算有关。¢¢ 第二步如果采用取大运算，就会丢失权数和相关矩阵的一些信息；如果采用有界和运算，则会通过结果的加和而相对充分地利用和相关矩阵的信息。模糊运算和变换简而言之，三个要点。其一，取小、取大过程有较多的舍弃，¢¢¢¢乘法、加和则了数据的信息。因此，第一步的乘法运算要比取小运算¢¢能够更好地利用和矩阵的信息，第二步的有界和运算则要比取大运算可以更好地利用数据的信息。模糊运算和变换其二，第二步的作用要比

21、第一步更为关键。因此，从综合程度看，有界和运算要比取大运算好一些。其三，第一步采用取小、第二步采用有界和运算，目的都是为了使得最后的计算结果不超过1。¢¢¢¢模糊运算和变换¢¢ 第一步采用取小运算和乘法运算还有一个：只能使数据变小而不可能变大。¢¢ 如果采用取小取大算子，某一等级的最终评语由主要评判因素决定。模糊运算和变换¢¢ 所谓主要评判因素实际上就是权重最大的因素。¢¢ 例如，前述住房评价，居住面积的权重最大，为评价的主因素。第一等级评语为0，故面积是主因素。模糊运算和变

22、换第一等级是一个特例。其余的等级 二、三、四级的最终评语数值全部由面积决定。主因素对最终评语具有决定性的作用。如果采用乘法取大算子，主因素不再具有决定性作用，但对最终评语有突出的影响。¢¢¢¢模糊运算和变换¢¢ 无论取小运算抑或乘法运算，权重最大的因素可以保留或者生成较大的数值， 其结果在第二步的取大运算中必然具有优势，故对最终评语具有决定性的作用或者具有突出型的影响。模糊运算和变换¢¢ 但是，如果第二步采用有界和运算，主因素的作用会在加和过程中被隐藏，而加和的过程相当于对各种评语的一种平均过程。模糊运算和变换模糊

23、算子的采用，可以根据研究对象的需要进行甄别与遴选。¢¢如果你无法采用什么算子，建议采¢¢用第四种类型。一般情况下，进行综合比较，乘法有界和算子的运算效果比较可取。模糊运算和变换¢¢ 有了模糊运算法则，我们就可以建立模糊和矩阵，然后进行模糊变换，得到评价。以取小取大运算为例，模糊变化可以表示如下。¢¢ 设A为模糊A = a1ap a2L模糊运算和变换¢¢ R为模糊矩阵éér11êêr21r12r22MLLOLr1mùùr2m ú

24、úR = êêúúúúMMêêêêrúúrrëëpm ûûp1p 2模糊运算和变换¢¢ 模糊变换就是A o R = b1¢¢ 式中Lbm º Bb2bj= (a1 Ù r1 j ) Ú (a2¢¢ 这里j=1,2,m。Ù r2 j ) Ú LÚ (apÙ rpj )模糊运算和变换¢

25、2; 一个是，评语集的等级设为多少为好？如果m太大，人类语言难以描述且不易判别等级的隶属；另一方面，如果m太小，又难以满足模糊评价的质量要求。模糊运算和变换根据心理学的有关研究，人类对信息的识别范围约为67级，也有人认为是7±2级，即59级。因此，天上的星光分为6等，音乐的音调分为7级（不考虑半音），中心地分为7个等级，如此等等。¢¢¢¢模糊运算和变换中国古代将地分九级、人分九等，九是极限（古人所谓的最大数）。在模糊综合评价中，评语集中的等级m 的取值一般在37之间，且多为奇数奇数的好处是有一个中间等级，便于判别研究对象的归属情况。¢

26、¢¢¢模糊运算和变换¢¢ 下面是一些评语集的例子。¢¢ 强，中，弱¢¢ 很好，较好，一般，不好，很坏¢¢ 优秀，良好，及格，较差，很差¢¢ 上上，上中，上下;中上，中中，中下;下上，下中，下下¢¢ 最后一个评语集是对中国九州土壤的分级，中国古代历史上的考评，通常就用这种方式分为三级九等。模糊运算和变换时，担任吏部尚书，主持¢¢例行的政绩。将前期的工作划分为三级九等【上上，上中，上下；中上，中中，中下；下上，下中，下下】

27、2;¢结果直接到一个人的升沉荣辱。¢¢模糊运算和变换¢¢ 有一个押运漕粮，途中遭遇风暴，船队损失很重。卢尚书给他的评语说：“监运损粮，下（第6等）”。那个人神态自若，从容退下，并无半句辩解、自我开脱之词。模糊运算和变换卢尚书见其气度，暗生敬意。¢¢将其重评，改为：“监运损粮，非力所及，中（第5等）”。，该既无喜色，也没有逊谢之¢¢意。卢尚书大为钦佩，提笔将考评结果改为：“监运损粮，非力所及，宠辱不惊，上（第4等）”。模糊运算和变换¢¢ 这个故事说明：¢¢ （1）古代

28、的考评分为9级。¢¢ （2）考评是一个很模糊的事情。模糊评价步骤¢¢ 对于复杂系统，常规的评价失效，我们可以借助模糊数学开展综合评价工作。模糊综合评价的步骤可以概括如下：¢¢ 第一步，确定评价对象的因素论域。这一步相当于选取评价指标。¢¢ 第二步，确定评语等级的论域。模糊评价步骤¢¢ 第三步，建立模糊矩阵。这一步通过开展单因素评价实现。¢¢ 第四步，基于评价因素建立模糊量。这一步与前述单因素评价相似，主要是对评价指标的重要性赋值。模糊评价步骤¢¢ 第五步，

29、借助模糊矩阵对量进算子。行变换。这一步要采用某种¢¢ 第六步，模糊综合评价结果归一化，并利用结果进行分析和。模糊评价步骤¢¢ 需要强调的是，模糊评价因素的确定与AHP法准则的遴选一样，应该注意 “正交”性。¢¢ 不同的评价因关联。间不应该明显的¢¢ 如果不同评价因间比较密切，就会人为加强一个评价标准的份量，相对地降低了其他评价标准的份量，以致最终评价结论。计算实例¢¢ 下面给出的计算例子采用的是取小取大算子，大家不妨用另外的算子进行计算，并且比较分析结果。计算实例景观设计中心教授¢&#

30、162;的学生于2001年10月4日在张家界黄龙洞对游客进行，一个了198人。的内容是对黄龙洞进行评价，评价的等级分为四级：十分满意、比较满意、不太满意、不能忍受。¢¢计算实例评语十分满意比较满意不太满意不能忍受总和人数111076911198比重5.56%54.04%34.85%5.56%100计算实例¢¢ 实际上，上景区的评语集价V = 十分满意(v1 )不能忍受(v4 )比较满意(v2 )不太满意(v3 )¢¢ 而评价的结果为0.05560.05560.54040.3485计算实例¢¢ 遗憾的是，在游客意向时

31、，这些学生没有分清论域的结构。因此，上面的评价属于单因素简单评价。计算实例¢¢ 下面我们假定分出如下论域U = 风景(u1 )治安(u3 )交通(u2 )¢¢ 这个论域是全的，有一些因素没有考虑。必须说明的是，我们这里是讲授，不是讨论旅游是简单越好。，因此越计算实例¢¢ 首先，对论域赋以。在模湖数学中，赋值的有多种，比方说可以采用隶属函数法等。但我们可以采用的方法。计算实例假定的结果是：40%的人认为风景最¢¢重要，35%的人认为交通最重要，25%的认为治安最重要。则论域的分布为= 0.40.25A0.35计算实例

32、现在假定1000人，让他们对黄龙洞的¢¢风景、交通和治安分别给予评价（下评语）。结果表明，10的人对风景十分满意，50%的人对风景比较满意，40%的人对风景不太满意，0%的人对风景不能忍受，则关于黄龙洞风景的评价为0.100.000.500.40计算实例再假定：5的人对交通十分满意，30% 的人对交通比较满意，50%的人对交通不太满意，15%的人对交通不能忍受，则关于黄龙洞交通的评价为¢¢0.050.150.300.50计算实例最后假定： 12 的人对治安十分满意， 40%的人对治安比较满意，40%的人对治 安不太满意， 8% 的人对治安不能忍受， 则关

33、于黄龙洞交通的评价为¢¢0.120.080.400.40计算实例关于黄龙洞的集为¢¢éé0.100.500.300.400.400.500.400.00ùùúúêêR =0.050.15êêêêëë0.12úú0.08úúûû计算实例¢¢ 现在我们采用取小取大算子M(,v)进行如下运算éé0.100.500.300.4

34、00.400.500.400.00ùù×= 0.40=0.25êê0.050.15úúBAR0.35êêêêëë0.12úú0.08úúûû= 0.120.150.400.40计算实例¢¢ 将结果归一化可得关于黄龙洞的模糊综合评价0.1120.1400.3740.374计算实例上价虽然是一个综合评价，但属于单¢¢级综合评价。为了评价整个张家界风景区，我们需要多级综合评

35、价。由于张家界还有天子山、慈利、中湖、泗南峪、军地坪、森林公园，等等，我们对每一个地方都可以进行类似的综合评判。计算实例¢¢ 为了简化，我们只考虑三个风景地：假设张家界只有黄龙洞、天子山和三个风景点。论域由这三个景点一个Uz = 黄龙洞(uz1 )金鞭溪(uz3 )天子山(uz 2 )计算实例¢¢ 采用上述结果为0.120，假定对天子山的综合评价0.080.3930.407¢¢ 对的综合评价结果为0.2050.070.3120.413计算实例可得关于张家界的集¢¢éé0.112= ê&

36、#234;0.120êêëë0.2050.3740.3930.3120.3740.4070.4130.140ùù0.080úú0.070úúûûêêúúRz计算实例¢¢ 不言而喻，为了给出多级评价结果，我们还需要对上述景点的论域赋予，赋值的分。当然是依然是测验，或者打测验更为可靠。计算实例¢¢ 假定对以上的游客，请他们对上述风景点进行评判，结果发现：30%的人认为黄龙洞最值得一游，50%的人认 为天子山最值得一游，20%的人认为溪最值得一游，则模糊为= 0.300.20Az0.50计算实例关于整个张家界的多级模糊综合评价结果为¢¢éé0.1120.3740.3930.3120.3740.4070.4