考研数学线性代数强化讲义数一

1、 数学课堂系列线性代数数学线性代数强化讲义（数一）主讲：名师，博士，著名数学辅导，教育部“精品课程建设骨干教师”，畅销书高等数学 18 讲、数学题源探析经典 1000 题作者，高等教育入学统一数学参考书（大纲）编者之一，2007 年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀（15 分钟主旨）首创“题源教学法”，对数学的知识结构和体系有全新的解读，对数学题与复习思路有极强的把握和预测能力，让学生轻松高效夺取高分欢迎使用目录第一讲第二讲第三讲第四讲行列式1矩阵8向量组与方程组17特征值与二次型26 数学课堂系列线性代数第一讲行列式综述1行列式的定义与性质：几何法、逆序法、展开法、性质2行列式的计算：3、4

2、阶；n 阶（n>4）消 0 化三角形、消 0 降阶、拆项、加边、范氏、数归&递推一、行列式的三种定义与性质1几何法定义重要结论：（1）n 阶行列式由n 个n 维向量拼成，其结果为以这 n 个向量为邻边的 n 维图形的体积.（2）行列式由向量组成！A¹ 0 Û n 个n 维向量线性无关；n´n （3）A= 0 Û n 个n 维向量线性相关.n´n æ a1 öç a ÷（4）7 大性质（习惯上写列向量a = ç2 ÷ ）ç÷ç a ÷

3、è n øaaT1T1） a ,a ,a=212naTn2） a1,3） a1,4） a1,ai-1, 0,ai+1,an= 0,ai , kai ,an= 0,ai + bi ,an= a1,ai ,an+ a1, bi ,ai ,an,an5）（互换） a1,6）（倍乘） k a1,ai ,ai ,a j ,an =- a1,a j ,an= a1, kai ,an1 数学课堂系列线性代数7）（倍加） a1,ai ,a j ,an = a1,ai ,a j + kai ,an【例 1】设a1,a2 ,a3 , b ,g 均为 4 维列向量，且 g ,a1,a2,a3=

4、2 ， a1, b + g ,a2,a3= 3，则 a1,a2,a3,5b=.【例 2】任给 4 维列向量a1,a2,a3,a4 ，则 a1 +a2,a2 +a3,a3 +a4,a4 +a1=.Ab= 0 ， b 为 n 维列向量，则A= a ，n´nb T【例 3】设a ， b ， c 为已知，bbcAb T=.2逆序法定义a11 a21a12 a22a1n a2nåj1 j2 jn=(-s ( j jj ) a1)aa1 2n1 j1 2 j2njnan1an 2ann展开后有n！项；每项是取自不，不同列的n 个元素的乘积；行下标顺排后，每项前乘以(-1)s ( j1

5、j2 jn )注：s ( j1 j2jn ) ： j1 j2jn 的逆序数.【例 1】展开后，a12a23a31a45a54a66 前添号.a45a16a53a22a64a31 前添号.【例 2】s (1, 2, 3, n) =，s (n, n -1, 3, 2,1) =.2 数学课堂系列线性代数x1212x x 3112x203的 x4 、 x3 的系数.【例 3】求 f (x) =2x=Aaijn´n3展开式法定义Mij式式A = (-1)i+ j M代数ijij展开公式= ìï ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ain Ain(按第i行展开)(按第

6、j列展开)AíaA + a A + a Aïî 1 j 1 j2 j 2 jnj nj我生有=.【例 1】你幸3042-2-703-202022【例 2】设 D4 = 0，则第 4 行各元素式之和为.53 数学课堂系列线性代数44【例 3】设 D4 的某行元素全为 2，且 D4 =3 ，则åå Aij =.i=1 j =1二、行列式的计算关键研究行列式中元素的分布规律13、4 阶用质，出 0，展开式3 - l-1 1-1 5 - l-11-1 3 - l= 0 ，求l .【例 1】设2n 阶的计算（1）消 0 化三角形法a1 - xa2an a

7、na2 - xa1【例】 D =nan - xa1a2ab bba bbb abb b【注】重要公式： D = a + (n -1)b(a - b)n-1nbbba4 数学课堂系列线性代数（2）消 0 展开降阶法123212321n n -1n - 2【例】 Dn =n -1n - 2n1（3）拆1 + n2 + n【例】 D =， n ³ 2 .nn + n（4）加边法1+ a112 + a2122a ¹ 0 ，求 D=【例】设a a.1 2nnn + annn5 数学课堂系列线性代数（5）蒙行列式1111xn323V =)ni1£i< j£nn

8、-1 3xn-1nVn ¹ 0 Û xi¹ xj , i ¹ jb + ca a2a + cb b2a + bc c2【例 1】1a a2a41b b2b41c c2c41d d 2d 4【例 2】设a ， b ， c ， d 互不相等，证明： D4 = 0 的充要条件为a + b + c + d = 0 .（6）数学归纳法&递推法综述：1）第一数学归纳法：验 n=1 成立；设n=k 成立；证 n=k+1 成立.2）第二数学归纳法：验 n=1，2 成立；设 n<k 成立；证 n=k 成立.6 数学课堂系列线性代数a + b10ab a +

9、b10ab a + b000000【例 1】 Dn =a + b1000000aba + b2a a212a a212a= (n +1)an【例 2】证明： Dn2a a212a7 数学课堂系列线性代数第二讲矩阵综述定义与基本运算伴随矩阵 A*可逆矩阵 A-1初等矩阵求 A-1矩阵方程分块矩阵一、定义与基本运算æ a11 öæ a12öæ a1n öç a ÷ç a÷ç a÷= ç21 ÷ ，a= ç22 ÷ ，= ç2n &

10、#247; 拼成.记为1定义 由 n 个 m 维列向量a，aç÷ç a÷ç÷ç a÷ç÷ç a÷12nè m1 øè m 2 øè mn øæ a11a12a1n öç a÷aa= ç2n ÷ .2122Aç÷m´n ç a÷aaè m1mn øm 2若 m = n ，称为 n 阶矩（方）

11、阵. 2基本运算1） 加法A + B = (aij + bij )m´n要求：矩阵同型（对应加）2） 数乘kA = (kaij )m´n10 每一个a ´ kij20 若 A， kA = knAn´nAm´s Bs´n = (cij )m´n = Cm´n3）乘法10 A 的列数= B 的行数，才可乘.8 数学课堂系列线性代数öæöææö÷b1 j÷ç÷ = ç20 ç aacis ÷&

12、#231;÷çç÷i1ijç÷çç÷÷bè其中cijøè= ai1b1 j +èøøsj+ aisbsj .=An´n Bn´nAB【注】A + B 不一定等于A + B A ¹ B 推不出A ¹B A ¹ 0 推不出A ¹ 0 AB 不一定等于 BA AB = 0 推不出 A = 0 或 B = 0 AB = AC ， A ¹ 0 推不出 B = C ；AB = A

13、C ，A ¹ 0 Þ B = C .3重要矩阵及运算零矩阵Om´næ 10 ö01ç 00 ÷= ç÷÷矩阵 Eçnç 01 ÷00kèø0 öæ kç 00 ÷= ç÷÷数量矩阵kEçnç 0k ÷0èø"An´n ， A× kE = kE × A .æ l1ö

14、47;÷÷çlL = ç2对角阵ççè÷ln ø对称阵Û AT = A Û a= aijji= 0= -a称阵Û AT = - A Û ìïaiiía(i ¹j)ïî ijji9 数学课堂系列线性代数正交矩阵æ a11a1222a13 öæ a11a2122a31 ö1） A = ç aa ÷ Þ AT = ç a÷a

15、aaç23 ÷ç32 ÷2112ç a÷ç a÷aaaaè 3133 øè 1333 ø322310A =AT；20 ( AT )T = A ；30 (kA)T = kAT ；40 (A + B)T = AT + BT ；50 (AB)T = BT AT是正交阵Û AAT = AT A = E2） An´nA 为正交阵Þ A 由标准正交基组成.-1öæ12【例 1】设 A = ç -22 ÷，则 An =.

16、-4ç÷ç6-3÷3èøæ 12103 ö【例 2】设 A = ç 04 ÷ ，求 An .ç÷ç 01 ÷èø【例 3】 A，证明： "x = (a , a , a )T ， xT Ax = 0 Û A 为称矩阵.n´n12n10 数学课堂系列线性代数A + B= 0 ，证明：A + B= 0 .【例 4】设 A 、 B 均为n 阶正交阵，二、伴随矩阵 A*1定义æ A11A2122An1 &#

17、246;ç A÷AA A Þ A A* = çn2 ÷ ， A 的伴随矩阵.12ç÷ijç A÷AAè 1nnn ø2nAA* = A* A =A E1A ¹ 0 ， A 可逆，则 A-1 =A* .若2重要结论A ¹ 0 时，（ A 可逆）当1 A-1 =A* k ¹ 0 ， (kA)* = kn-1A* (AT )* = (A*)T (A-1)* = (A*)-1A n-2 A ( A*)* = (AB)* = B*A*æ 0 ö，

18、 a= -1， AB = ç 0 ÷ ，求 B .= A【例 1】 A为正交阵， aç ÷3´3ijij33ç 1 ÷è ø11 数学课堂系列线性代数【例 2】 A，证明： (E - A) 与(E + A)* 可交换.n´n三、可逆矩阵 A-11定义A， B，若 AB = E ，则 A 、 B 可逆，且 A-1 = B ， B-1 = A ， AB = BA.n´nn´n2性质 (A-1)-1 = A ； k ¹ 0 ，(kA)-1 = 1 A-1 ； A 、B 可

19、逆，则 AB 可逆，且(AB)-1 = B-1A-1 ；k1 (AT )-1 = ( A-1)T ；A-1=ì( A + B)-1 ¹ A-1 + B-1ï( A + B) ¹ A + B*í【注】ï( A + B)T ¹ AT + BTî【例 1】 A， A2 - 3A + 2E = 0 ，证明： A 、 A + 2E 均可逆，并求 A-1 ， (A + 2E)-1 .n´n【例 2】 A ， B 均可逆， A-1 + B-1 可逆，证明 A + B 可逆，并求(A + B)-1 .nn四、初等矩阵En

20、 经过一次初等变换得到的矩阵，叫初等矩阵.1定义Eij ：互换初等矩阵Ei (k) ：倍乘初等矩阵12 数学课堂系列线性代数Eij (k ) ：行第i 行× k +第 j 行列第 j 列× k +第i 列2重要结论1E (k)= E ( ) ， E= E ，E (k)-1 = E (-k)-1-1iiijijijijk“左行右列”定理初等阵 P 左（右）乘 A 得 PA （ AP ），就是对 A 作了一次与 P 完全相同的初等行（列）变换.【例】设 A可逆，交换 A 的第 1、2 列得到 B ，则 B* 可由（）互换得到.3´3（A） A* 的第 1、2 列（B）

21、 A* 的第 1、2 行（C） - A* 的第 1、2 列（D） - A* 的第 1、2 行五、求 A-1定义法若 AB = E ， A ， B，则 A-1 = B ， B-1 = A .nn1A-1 =A* A* 法【例 1】 A = æ ab ö ，求 A-1 .ç cd ÷èøæ 321ö【例 2】求 A = ç111÷ 的逆矩阵 A-1 .ç÷ç11÷0èø13 数学课堂系列线性代数初等行变换法( A E )行变换(EA-1 )

22、-1öæ02【例】 A = ç 112 ÷ ，求 A-1 .ç÷ç -1-1-1÷èø六、矩阵方程1. 定义：含未知矩阵的方程2. 基本形式 AX = B ； XA = B ； AXB = C . 3解法（1） A 或 A 与 B 可逆，Þ X = A-1B ；Þ X = BA-1 ； Þ X（2） A 不可逆，如 AX = B ，用解方程组的思想：= A-1CB-1A(x1,x2 ,xn ) = (b1, b2 , bn ) ÞAxi = bi (i =

23、1, 2, n) Þ解出xi ，得 X =(x1,x2 ,xn )（3） 有时，设 X = (xij )m´n ，代入方程Þ 以 xij（4） 勿忘“化简先行”的方程组，求之.待定系数法æ 1ç 0010-300100 ö0 ÷【例 1】设 A* = ç÷ ， ABA-1 = BA-1 + 3E ，求 B .ç 1ç 00 ÷8 ÷èøæ 11 ö0【例 2】 A = ç -120 ÷， AX + E =

24、A2 + X，求 X .ç÷ç1 ÷00èø14 数学课堂系列线性代数七、分块矩阵1定义 用若干线将一个矩阵分成若干小块，称这些小块为子矩阵，将子矩阵看作原矩阵的元素，就得分块矩阵.【注】进行加、减、乘、转置时，将子矩阵当作普通矩阵的元素2基本运算加法：同型、分法相同，不必陌生.+ BA2 + B2 öæ A1öæ Böæ AAB2+12=11ç A÷ç B÷ç A÷+ BA + BABè 34 ø

25、;è 34 øè 3344 øk æ AB ö = æ kAkB ö数乘ç CD ÷ç kCkD ÷èøèø乘法：分法=右行分法，且可加Y ö = æ AX + BZAY + BW öæ AB öæ Xç CD ÷ç ZW ÷ç CX + DZCY + DW ÷èøèøè

26、;øa ö，求 PQ .， b， P = æE0öæ, Q =A如： A可逆，aç -a T A*A ÷çb ÷n´nn´1aATèøèø转置： A = æ A1Aö= æ A1A3 ö2ÞTAç A÷ç A÷AAè 34 øè 24 ø3重要结论æ AO ömæ Amö

27、7;øO= çè A ， B ，çB ÷nnOmèøOBæ A-1ö÷æ Aö11çç÷A-1A÷ 可逆，且 A-1 = ç÷ ；1） A 可逆，则 A = ç22ç÷ççè÷i÷ç÷-1AAs øèøs15 数学课堂系列线性代数æA-1 öæçA

28、ö1÷sç÷A2A 可逆，则 A = ç÷ 可逆，且 A-1 = ç÷ .ç÷ç÷÷øiA-1çç2÷ç÷-1AAè sè 1øæ B-1ç-B-1DC -1 ö÷ .æ BD ö÷2） B 、C 可逆， Þ A = ç可逆，且 A=-1C -1è OC øOè

29、;øA-1 = æB-1ö÷øö÷øæ BO öOA = ç DçèC ÷ 可逆，且；-1-1-1C DBCèøA-1 = æC -1æ OB öOA = ç CD ÷ 可逆，且çè.B-B DC-1-1-1èø An ， BmAOCBACOBAOOB=AB1）C2）AO= OAC= OAO= (-1)nmABBBBACBD=D - CA-1B ；

30、A3） A 可逆，ACBD=A - BD-1CD 可逆，D012112n【例】求 Dn =2nn16 数学课堂系列线性代数第三讲向量组与方程组综述线性相关性线性表出极大无关组与秩等价向量组齐次方程组非齐次方程组秩的等式与不等式一、线性相关性1定义sas= 0成立.称a1,a2 ,as $ 一组不全为 0 的数s ，使得线性相关.æ x1 öç x ÷,a2 ÷ = 0 有非零解.)çÛ (a ,a,ç÷ç x ÷12sè s ø,as ) < sÛ

31、r(a1,a2,sas= 0 ，称a1,a2 ,as 线性无= 0 成立，必使若s关.æ x1 öç x ÷,a2 ÷ = 0 只有零解.)çÛ (a ,a,ç÷ç x ÷12sè s ø,as ) = sÛ r(a1,a2,2重要结论17 数学课堂系列线性代数设m 个 n 维向量ìï a1,a2,10 m = n ，用行列式,an= 0 Û 相关¹ 0 Û 无关í a ,a ,aï&#

32、238;12n20 m > n ，必相关.30 m < n ，（具体数字型），用化行阶梯1）部分相关Þ 整体相关2） 整体无关Þ 部分无关3） 原来相关Þ 缩短相关4） 原来无关Þ 延长无关，看秩.æ -8 öæ 3 öæ 9 öç 1 ÷ç 0 ÷ç÷0ç ÷ç ÷ç÷【例】a1 = ç 7 ÷，a2 = ç 6 ÷ ，a3

33、 = ç -11÷ ，向量组的线性相关性.ç 0 ÷ç 6 ÷ç÷5ç ÷ç ÷ç÷ç 0 ÷ç 0 ÷ç÷6è øè øèø【例 1】设n 维(n ³ 3) a1 = (a, a, a, b)T ，a = (a, a,2, b, a)T ，a = (b, a,a ,a ,a ) = n -1，则a ， b 满足., a, a)

34、 ， ab ¹ 0 ，若r(Tn12n，a 是 n 维列向量，若 Am-1a ¹ 0 ， Ama = 0 ，证明：a, Aa, A2a, Am-1a【例 2】 An´n线性无关.18 数学课堂系列线性代数二、线性表出1定义, xs ，使 b = x1a1 + xsas 成立.称 b 可由a1,as 线性表出（示）. $ 一组数 x1,æ x1 öç x ÷Û (a ,a,a2 ÷ = b 有解)çç÷ç x ÷12sè s ø,as )

35、 = r(a1,a2 ,Û r(a1,a2 ,as , b )不$ 任何一组数s ，使 b =sas 成立.称 b 不可由a1,a2 ,as 线性表出（示）.æ x1 öç x ÷,a2 ÷ = b 无解.)çÛ (a ,aç÷ç x ÷12sè s ø2重要结论若a1,若 b1,若 b1,as 线性无关，但a1,as , b 线性相关，则 b 可由a1,as 唯一表示., bs 可由a1, bs 可由a1,at 表出，且 s > t ，则 b1,

36、bs 必相关.,at 表出，且 b1, bs 线性无关，则 s £ t .【例】设a1,as 线性相关，a2 ,as+1 线性无关，（）a1 能否由a2,as 表出？（）as+1 能否由a1,as 表出？三、极大无关组与秩1定义若a ,a ,a满足：1 取自a ,a ,a线性无关；3 a ,a ,a中"a000；2i1i2ir12s12si19 数学课堂系列线性代数ai 是a1,a2,as 的一个极大线性无关组，且均可由ai ,ai ,ai 线性表示.则称ai ,ai ,12r12r秩(a1,a2,as ) = r .重要结论若A 经过初等行变换化为B，则 A 的列向量组与

37、B 的列向量组有相同的线性相关性，即A = (a1,a2 ,as )行B = (b1, b2 ,bs )sass bs = 0 同解.= 0与【例 1】设a1 = (1,1,1, 0) ，a = (1,1, 0, 0) ，a = (3, 3, 2, 0) ，a = (1, 0, 0, 0) ，TTTT234a5 = (3, 2,1, 0) ，求其极大无关组与秩.T四、等价向量组1定义（）a1,a2,as ，（） b1, b2 ,bt ，则（）与（）等价Û （）与（）可互相线性表出. 2重要结论（）与（）等价Û r（）=r（）且可单方表出.Û r（）=r（）=r（|

38、）.20 数学课堂系列线性代数-1æ 1 öç 2 ÷æöæö2ç a - 3÷ç÷8= ç÷ ，a= ç÷ ，a= ç÷ ，【例】设（）aç -1÷ç 2 ÷ççèö÷÷øç b -1 ÷1231-2ç 3 - b ÷èøèø&

39、#230;öæçæö2371ç b + 5÷÷ç 2b + 4 ÷= ç÷ ， b= ç÷ ， b= ç÷÷÷ø（） bççè÷÷øç a - 4 ÷ççè1-2423-12ç 7 - a ÷èø a ， b 取 a ， b 取，r（）=r（），且（），（）等

40、价.，r（）=r（），但（），（）不等价.五、齐次方程组 AX = 01解的判定AX = 0 只有零解Û r( A) = n ；AX = 0 有非零解Û r( A) < n （未知数个数n ）2基础解系Û 无穷多解的一个极大无关组定义：设x ,x ,x满足：10 是 AX = 0 的解；20 线性无关；30 s = n - r( A)3 + x4 + x5 = 012sìï3+ x - 3x = 0ï345【例 1】求í的通解.+ 6x = 0ï45ï5+ 3x - x = 0î34521

41、 数学课堂系列线性代数【例 2】 An´n ， M11 ¹ 0 ，求 AX= 0 的通解.= b六、非齐次方程组 AX1解的判定AX = b 无解Û r(A) +1 = r(A b ) 或 r( A) ¹ r( A b ) ；= b 有唯一解Û r( A) = r( A b ) = n ；AXAX = b 有无穷多解Û r( A) = r( A b ) < n2解法10 求 AX = 0 的通解；20 求 AX = b 的一个特解非齐次通解=齐次通解+非齐次特解4 = -6ìï【例】求- x = 1的通解.&

42、#237;34ï= 3î3七、秩的等式与不等式1定义：对 Am´n ， $k 阶子式¹ 0 ， "k +1 阶子式= 0 Þ r( A) = k22 数学课堂系列线性代数2重要结论（1）关于 A 本身1） Am´n ， 0 £ r( A) £ minm, n2） r(kA) = r( A) ， k ¹ 03） r(A) = r(AT ) = r(AAT ) = r(AT A)证明：4） A， r(An ) = r(An+1)n´n（2）关于 A ， B ， C ，拼起来，不运算

43、6;r( A B)üïï £ r( A) + r(B)5） max r( A), r(B) £íïîýïþAr()B6） r( A) + r(B) £ r æ AO ö £ r( A) + r(B) + r(C)ç CB ÷èø23 数学课堂系列线性代数（3） A + B7） r( A + B) £ r( A) + r(B)（4） AB8） Am´n ， Bn´s ， r( A

44、) = n Þ r( AB) = r(B)9） r( A) + r(B) - n £ r(AB) £ minr(A), r(B)（5） A*r( A) = n,ìn,ï10） r( A ) = 1,r(n) = n -1,*íï0,r( A) < n -1î24 数学课堂系列线性代数向量空间（数一）1对向量空间V若a ,a ：10 取自V ；20 线性无关；30V 的任一a 均可由它们表出.1rÞ a1,ar 叫V 的一个基.且a = k1a1 + krar ， k1, kr 叫a 在这个基下的坐标

45、.（唯一）2设a ,a ， b , ba ,a )C = (b , b ) ，称C 为n为 R 的两个基，且(1n1n1n1n(a1,an ) 到(b1, bn ) 的过渡矩阵.（ C 可逆）æ 1 öæ 1 öæ 1 ö【例】设a = ç 0 ÷ ， a = ç 1 ÷ ，a = ç -1÷ ，ç ÷ç÷ç÷123ç 1 ÷ç -1÷ç 1 ÷è

46、 øèøèøæ 3 öæ 2 öæö0b = ç 0 ÷ ， b = ç 0 ÷ ， b= ç÷2ç ÷ç ÷ç÷123ç 1 ÷ç 0 ÷ç -2 ÷è øè øèø是 R3 的两个基.（）求(a1,a2,a3) 到(b1, b2, b3) 的过渡

47、阵C ；h = (1,0, -(b , b , b ) 下的坐标；T1)（）求在123（）已知x 在(b1, b2, b3) 下的坐标为(1, 2, 0) ，求x 在(a1,a2,a3) 下的坐标.25 数学课堂系列线性代数第四讲特征值与二次型综述知识结构：10 $ 可逆矩阵C ，使得C -1 AC = B Þ AB20 $ 可逆矩阵 D ，使得 D-1AD = L Þ AL30 $ 正交矩阵 P ，使得 P-1 AP = L Þ ALf = XT AX X = PY (PY )T A(PY ) = YT PT APY = YT LY40一、 An´n

48、的特征值与特征向量1定义An´n ， xn´1 ¹ 0 ， l 为向量. 2性质，若 Ax = lx ，则称l 为 A 的特征值， x 为 A 的属于l 的特征nn åaiii=1= tr( A) = å lii=1nA = Õ lii=13求法定义法【例】 A， A2 - 3A - 4E = 0 ，A = -1，则A* + A-1=.3´326AaA + bEAkf ( A)A-1A*P-1APlal + bl kf (l )1/ lA / llxxxxxxP-1x 数学课堂系列线性代数特征方程法Ax = lx ， x &

49、#185; 0 Þ lx - Ax = 0 Þ (l E - A)x = 0 Þ (l E - A) X = 0 有非零解Þ lE - A = 0 Þ l1, l2, ln （重根按重数计）解(li E - A)X = 0 Þ xi （属于li 的）， i = 1, n-7 öæ 3120【例 1】设 A = ç 04 ÷ ，求 A 的特征值与特征向量.ç÷ç 0÷6èøæ11ö111【例 2】求 A = ç

50、;11÷的特征值与特征向量.ç÷ç11÷èø二、 AB 与 AL1 A 相似于 B（1） 定义： $ 可逆矩阵C ，使得C -1 AC = B Þ A（2） 性质B；3） lE - A = lE - BAB Þ 1） r( A) = r(B) ；2）A =；4）tr( A) = tr(B) ；5）BAmBm ；6） f ( A)f (B) ；7） A-1 ， B-1$， A-12 ALB-1 ，f (A-1)f (B-1)， A*B* ，f (A*)f (B*)27 数学课堂系列线性代数（1） 定义： $

51、 可逆矩阵 D ，使得 D-1AD = L Þ A重要结论： ALÛ A 有n 个线性无关的特征向量.（2） 重要结论1）普通矩阵 Al1 ¹ l2 Þ x1 与x2 无关；l1 = l2 Þ x1 与x2 相关性不确定. 2）实对称矩阵 A （ aij = a ji ）Ll1 ¹ l2 Þ x1 x2 （正交）；l1 = l2 Þ x1 与x2 正交或不正交，但一定是线性无关的.（3） AL 的判别法1）两个充分条件A 有 n 个不同的特征值li Þ AL .A 为实对称矩阵Þ A2）两个充要

52、条件L .A 有 n 个线性无关的特征向量Û AL .ni = n - r(li E - A) ， li 为ni 重根Û AL .æ 16708 ö【例 1】判别 A = ç 00 ÷ 是否可以相似对角化？ç÷ç 00 ÷èøæ 12101 ö【例 2】判别 A = ç 00 ÷ 是否可以相似对角化？ç÷ç 03 ÷èø28 数学课堂系列线性代数æ 11 ö

53、1【例 3】判别 A = ç 222 ÷ 是否可以相似对角化？ç÷ç 33 ÷3èøæö111【例 4】判别 A = ç 222 ÷ 是否可以相似对角化？ç÷ç -3-3-3÷èø3 AB 的判别法1） An´n ， Bn´n ， A 实对称，则 AL ， BL ， A2） An´n ， Bn´n ， A ， B 均可对角化， lA = lB Þ A3） An´n 对称， Bn´n 对称， lA = lB Þ ABB .Bæ11ö1÷æ 0ç 01 ö2 ÷1100ç1= ç÷ 与 B= ç÷ 相似.【例】证明： Aç÷ç÷nnç11÷ç 0n ÷10èøèø三、二