线性代数复习

1、线性代数复习一 可能的题型：是非题；填空题；选择题；计算题；简述题；证明题二 几个专题（一）行列式：1. 用对角线法则计算和三阶行列式；2. 熟悉一些特殊行列式的结果，例如上（下）三角行列式，分块上（下）三角行列式，蒙行列式等；3. 用行列式的性质确定某些抽象行列式的值 （参考 B 强化一/一/1）；4用行列式的性质三角化行列式；5用行列式按行（列）展开得到不同阶数的同类行列式的递推，从而导出结果；6. 将行列式的性质和行列式按行（列）展开相结合，逐次降低行列式的阶数，最终求出结果；7行列式按行（列）展开及其推论的应用（参考 B 强化一/三/2，B 强化三/一/2）（二）方阵 A 可逆的定义及

2、其等价条件：1. AB = BA = E ；2. AB = E （或BA = E ）；3 A ¹ 0 （即 A 非奇异）；4 r( A) = A的阶数（即 A 满秩）；r5. Ax = 0 只有零解（或对任何非零6. Ax = b 有唯一解；7. A = P1P2 LPL （ Pi 为初等矩阵， i = 1,Ll ）；8. A E （即 A 与E 等价）；x ¹ 0 ， Ax ¹ 0 ）；r9 A 的列（行）组线性无关；10 A 的特征值全不为零11 AT A （ AAT ）正定（三） A 的逆矩阵计算：1 由矩阵方程 AX = E 解出； 或由 Ax = ej

3、解出 A-1 的第 j 列j =1,2,n ；1A2 A-1=A* ；行初等变换3 ( A, E)(E, A-1)注：矩阵方程的求解一般通过（各种形式）方程变形转化为逆矩阵计算（四）有的结论：1 0 £ R(Am´n ) £ minm, n ；2 R(AT ) = R(A) ；3. 若 A B ，则R(A) = R(B) ；4. 若P ， Q 可逆，则R(PAQ) = R( A) ；5 maxR( A), R(B) £ R( A, B) £ R( A) + R(B)（若用 A, B 分别表示 A, B 的列阶梯型，(A, B) ® (

4、A, B)，后者的非零列数为R( A) + R(B) ，故其秩超过R( A) + R(B) ）；6 R( A + B) £ R( A) + R(B)（ (A, B) ® (A + B, B), 所以R( A + B) £ R( A + B, B) = R( A, B) ）；7 R(AB) £ minR(A), R(B)；若 A非奇异，则R(AB) = R(B) ；8rr9 R(A A) = R(A) （通过(A A)x = 0 与 Ax = 0 同解）；TT= O ，则R(A) + R(B) £ n ；10若 Am´n Bn´

5、;l11矩阵的秩等于它的列（行）组的秩；12. 等价组有相同的秩；13矩阵的秩、组的秩、二次型的秩的定义；注：矩阵的秩及其最高阶非零子式的计算，组的秩，极大无关组的计算以及组的其它用极大无关组表示的；另外组之间的表示具有传递性，极大无关组与所属向量组等价（五）组线性相关性的结论：rrrrrr组 a1 , a2 ,L, am 线性相关Û x1a1 + x2 a2 +Lxm am = 0 有非1r rr零解Û 矩阵的秩R(a1,a2 ,L,am ) < m ；2当m > n时， m 个n 维必线性相关；3线性相关组的扩充组仍线性相关，特别含零的组线性相关（线性无关组

6、的组必线性无关）r rr4 a1 , a2 ,L, am （ m ³ 2 ）线性相关Û 至少其中有一个可用线性表示；特别当a1,a2 ,am-1 线性无关时， am 可其余m -1 个由a1,a2 ,am-1 唯一线性表示；r rrrrr(a1 , a2 ,L, an ) = 0 ；a1 , a2 ,L, an 线性相关Û5 n 个n 维rrrr6 a1 , a2 线性相关Û a1 , a2 的各分量对应成比例；组B 可由 A 线性表示且B 线性无关，则B 的7若个数不超过 A 的个数rrr注：线性相关性的判定和证明（本质是看 x1a1 + x2 a2有

7、非零解还是只有零解？）+ Lxm am = 0（六）与线性方程组解有关的结论：r = 0R( A) < nn 元齐次线性方程组 Ax有非零解Û1；r特别，若 A 的行数小于 ，则 Ax = 0 必有非零解；nr2 元齐次线性方程组 Ax = 0 的nS 是一个空间（解= n - r ，设x ,x ,L,x是12n-r空间）；若 R( A) = r ，则解空间的维数RSrr基础解系，那么 Ax = 0 的通解为 x = c1x1 + c2x2+ L + cn-rxn-r ；R(A) = R(A,b) ；3 n 元非齐次线性方程组 r = b 有解ÛAxr组线性无关，则

8、Ax = b 必有解(因为此时特别，若 A 的行R(A) = R(A,b) = A 的行数)；4. n 元非齐次线性方程组r有解Û b 可以由 A 的列Ax = br rrr rrr rr组a1 , a2 ,L, an 线性表示Û a1 , a2 ,L, an 与a1 , a2 ,L, an ,b 等价；R(A) = R(A,b) = r ，唯一解对应r = n ，无穷多解对应r < n 。5设rr在无穷多解的情况下 Ax = b 的通解为x = c1x1 + c2x2 +L+ cn-rxn-r+h*，r = 0r = bx ,x ,L,xn-r 是 Axh *是 A

9、x其中的基础解系，的特解；12r = bnR(A) = R(A,b) = r，则 元非齐次线性方程组 Ax有且最6若n - r +1x +h ,x +h*,x+h*,h* ）；*多有个线性无关解（例如：n-r12r是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， 并令7 设h1,h2 ,L,hsrAx = bc + c+L + c = 1h = c h + c h + L+ c h，那么h 是的解Û12s1 12 2s sr = 0hc + c + L + c = 0是 Ax的解Û12s注：线性方程组解的讨论和具体计算（法则和初等行变换法的特点及其适用范围）；rr只有零解（若= b

10、 有解，也可反推）Ax = bAx = bAx = 0Ax有唯一解ÞrAx = 0有无穷多解Þ有非零解（反推条件同上）（七）方阵 A 正交的定义及其等价条件：1 AT A = E （或 AAT = E ）；2 A-1 = AT ；3 A 的列（行）都为且两两正交；4对任何x 和 y ，成立 Ax, Ay = x, y（ Þ ：Ax, Ay = (Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT (AT A)y = xT y = x, y 。B = A A - E = (b )TÜ ：记，i, j n´nb= eT Be = eT AT Ae

11、- eT Ee = Ae , Ae -e ,e = 0则，i, jijijijijiji, j =1,2,n ，故 B = O ，从而 AT A = E 。）（八）对称矩阵 A 为正（负）定的定义及其等价条件：rTv1对任何x ¹ 0 ，成立x Ax > 0(< 0) ；rTr2二次型x Ax 的标准形的n 个系数（负）（或正（负）惯性指数为n ）；3 A 的特征值（负）；4 A 的各阶主子式（奇数阶为负，偶数阶为正）；5 A 可逆且 A-1 正（负）定 （利用 A 与 A-1 特征值同号）；6 - A 负（正）定 （按定义推得）注：半正（负）定（九）特征值和特征的性质及

12、其计算，例如特征值与行列式以及对角元和的两个等式；A 与j(A) ， A 与 A-1 的特征值和特征的；A 不同特征值的特征的线性无关；对称矩阵 A 不同特征值的特征的正交(十) 化二次型为标准形配正交变换法（此时的标准形系数恰好是 A 的特征值）（十一）几种矩阵1等价，矩阵等价的不变量（秩），矩阵标准形；2相似，矩阵相似的不变量（特征多项式和特征值），对角化的（是否有与矩阵相同个数的线性无关的特征，关键看特征值是特征方程的重根时是否都相应重数个线性无关的特征， 特别当n 阶方阵 A 有n个不同特征值时 A 必可对角化），约当标准形；3合同，矩阵合同的不变量（有定性二次型标准形的系数中，正负零

13、的个数均不变）三 可比较的一些 A + B = A + B 一般不成立（例如取 A = -B ， A ¹ 0 ，n 偶数） (A + B)T = AT + BT（ A 和B 都对称时， A + B 也对称）= A-1 + B-1 一般不成立 （例如 A = æ 10 ö ，B = æ 0 1ö ） (A + B)-1ç÷ç÷è 0 1øè 1 0 ø长度) A 和B 均正交推不出 A + B 正交(列（行）rTrrTrrTr A 和B 均正定可推得 A + B 正定

14、 （ x ( A + B)x = x Ax + x Bx > 0 ）AB = BA =A B= BT AT= B-1 A-1= AT BT 一般不成立，应有(AB)T= A-1B-1 一般不成立，应有(AB)-1 (AB)T (AB)-1 A 和B 均正交可推得 AB 正交 A 和B 均正定推不出 AB 正定 （ AB 未必对称）æ 1 1 öæ 2 1öæ 3 2ö（例如 A = ç÷ ， B = ç÷ 均正定，但 AB = ç÷ 不对称）1 21 14 3è

15、;ø= (A-1)TA -1= l-1 A-1èøèø (AT )-1A-1= (lA)-1 (lA)T = lAT lA = l A 一般不成立，应有 lA = lnAlrrrr= l xlx= lxx一般不成立，应有 若 A 正交，则= ±1AA n-1= ln-1 A*A*= (lA)* 若 A 可逆，则(A-1 )*= (A* )-1(A* )-1 = (A A-1 )-1 =（(A-1 )* =A-1 (A-1 )-1A -1 A ）A -1 A ,(A*)*= A n-2 A= A（当n = 2 ）， (A*)*（当 n

16、³ 3 ）- a12 öæ a22æ a11 a12 öæ a11 a12 ön = 2÷ ， ( A ) = ç a÷= ç -aa* *A = ç÷ ， A*（当：设aaaè 2122 øè 2122 øè2111 ø当n ³ 3 ：(1)若R(A) = n ，则 A* =A A-1 ，从而A n-1 ( A A-1 )-1 =A n-2 A .(A* )* =A* (A* )-1= A E

17、= O ，所以 A* 的若 R(A) = n -1，由于 AA*(2)rAx = 0R(A ) £ R = 1 £ n - 2 ，这表*列是的解，因而SA*n -1明的 任 何阶 子 式 均 等 于 零 ， 故A n-2 A .( A* )* = O =若R(A) £ n - 2 ，则 A* = O ，(3)A n-2 A ）从而( A* )* = O =R(A* ) £ R(A) （当n ³ 2 ）（如上按R(A) = n ， R(A) = n -1，R(A) £ n - 2分别讨论）A 与B 相似Û AT 与BT 相似（

18、由定义推得）n 阶方阵 A 有n 个不同的特征值Þ A 与对角阵相似（不能反推）n 阶方阵 A 与B 相似Þn 阶方阵P ，使 AP = PB （由定æ1 0ö义推得，除非P 可逆一般不能反推，例如取 A = ç÷ ，è 0 1øæ1 0öæ1 0 öæ1 0öP = ç1÷B = ç÷ ， AP = ç01÷ = PB ，但特征值不同）0，00èøèø&#

19、232;øA与B 相似ÞA = B （由定义推得，不能反推，例如æ1 0öæ 0 1 öA = ç0÷ ， B = ç÷ ，00 0A = 0 ，但特征值不同）BèøèøA 与B 相似Þ A 与B 的特征多项式相同（不能反推，æ 0 0öæ 0 1 ö÷ ，特征多项式均为 l ，但秩不同）2例如 A = ç÷ ，B = çè 0 0øè

20、0 0ø A 与B 相似不能推出 A 与B 具有相同的特征æ1 0 öæ 0 0öæ 0 1öA = ç÷B = ç÷-1P = ç÷正交，AP = PAP =P（例如，0 00 1èøèø1 0èøæ 0öæ1 öæ 0 0ö æ 0 1öB分别为kç 0÷ 和kç1 ÷ ）ç

21、1÷ ç01 0÷=，但 A 和B 的特征èøèøèø èø A 与 AT 具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征（见上例）A ， l1 + l2 +L+ ln = a11 + a22 +L+ annl1l2 Lln = 对于子块为方阵的分块矩阵的行列式一般不成立A11 A12=-AAAA（比较行列式）（例如11221221AA2122= 00 = 0= 0 1 = 000 = 0= 1 0=AAA= 0A，222112110 10 01 00 0« r3 ）«

22、r4 ， r2右端为零，而左端为1（ r3 对于子块为方阵的分块矩阵的行列式一般不成立OBAC= - A BOBAC= (-1)m´lA BA = AB = B但若m´m ，l´l ，则成立（此结果可通过l ´ m 次列对换）æ A O ö 分块对角矩阵ç O B ÷ 可逆Û A 和B 均可逆，且èOøO ö-1æ A-1öæ A= ç÷ç÷（更一般形式）ç O÷è O B &

23、#248;-1Bèøæ O Aöçè÷ 可逆Û A 和B 均可逆，且O 设 A 和B 均为方阵，那么BøAö-1æ OB -1 öæ O= ç÷ （更一般形式）ç÷ç÷-1è B O øAOèøAö-1æ OA-1 öæ O= ç÷ ，与上一条目的顺序不同）（注意：非ç÷ç B÷è B Oø-1Oèøæöæ A O ö*B A* O= ç÷ 设 A 和B 均为方阵，那么ç÷ç O÷è O B ø*A Bèøæ A O ö*æ A*öO= ç÷ ）（注意：非ç÷ç O÷è O