向量地坐标表示及其运算

1、实用文案标准向量的坐标表示及其运算【知识概要】1.向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a读作向量a,向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如aB ,表示由IBA施点:A到B的向量.A为向量的起点，B为向量的终点）.向量总（或a）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注： 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；.注意0与0的区别.长度为。的向量叫零向量，记作 0.0的方向是任意的 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确

2、定方向 例1下列各量中不是向量的是（ D ）A.浮力 B. 风速 C. 位移 D. 密度例2下列说法中错误的是（A ）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的例3把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（D ）A.一条线段B. 一段圆弧C.圆上一群孤立点D. 一个单位圆2）向量坐标的有关概念 基本单位向量：在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位 向量叫做基本单位，记为 i和j. 将向量a的起点置于坐标原点 O,作OA = a,则OA叫做位置向量，如果点A的坐I,I .I.I，、一十 1 L .

3、标为（x, y）,它在x轴和y轴上的投影分别为 M,N ,则OA = OM +ON,a = OA= xi + y j.向量的正交分解3y在中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量|、j分别 LI乘上实数x,y后组成的和式，该和式称为7、j的线性组合，这 :砂：i种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(x, y) fF!:叫做向量3的坐标，记为a = (x, y).-I(x2 xi, y2 - yi)叫做 RP2一般地，对于以点R(xi,yi)为起点，点 P2(x2,y2)为终点的向量Pp2 ,容易推得PP2 =(x2 xji +(y2 - %) j ,于是相应地就可以把有序实数对的坐

4、标，记作 PP2 =(x2 - xi, y2 - yi).一 13)向量的坐标运算：a = (x1, y1),b = (x2,y2),九 w RX . , I 2 ,、j /n 、则 a b =(% x2，y yz);a - b =(x1 -x2，y1 -y2)； a = ( x1, x2).4)向量的模：设a = (x,y),由两点间距离公式，可求得向量a的模(norm).a = Jx2 ；y2 .注： 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示;AP=4,BP =3,求点 P 的 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4已知点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(-

5、3,0),且 坐标.6 126 12斛：点P的坐标为(,)或(_,).5 555小-4-例 5 已知 2a+b =(-4,3),a2b = (3,4),求 a、b的坐标.4*解：a =(-1,2), b =(-2,-1)一”曰n ,例6设向量a,b,c,%Nw R,化简：(1)九(邑a +b -c) - 2(九a +b -c) +(/%)(b c)；(2) 2a b - Jc) - (2Ja 2b) 2c.解：都为0.2.向量平行的充要条件已知a与b为非零向量，若平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定。与任一向量平行）a = (x1,y1),b =(X2,y2)，则 a/b的充

6、要条件是 x1y2 = x2yl,所以，向量平行的充要条件可以表示为:a/b 二a = Kb（其中九为非零实数）匕为丫2=乂2（.例7已知向量a =（2,3），点A（2,），若向量赢 与a平行，且aB'二2尺,求向量IOB的坐标.I解：OB的坐标为（6, 7）或(-2,5).3.定比分点公式1）定比分点公式和中点公式RE是直线l上的两点,P是1上不同于P,P2的任一点，存在实数T使 P1P = zpp2 ,做点P分P1P2所成的比，有P:（内分）九>0( 外分)< <-1(夕卜分）-1< , <0已知P(x1,y1)、P2（x2,y2）是直线l上任一点，且

7、P1P = 'uPP2 (九w R,九 #1). P 是直x11 x2x 二1 -线PP2上的一点，令P（x,y），则,这个公式叫做v 小 »¥ 一 H1 1线段PP2的定比分点公式，特别地九=1时，P为线段PP2的中X1 x2上 4 X=2L =点，此时22,叫做线段yPP2的中点公式.注： PP =|“ PP2可得PP 当九二1时，定比分点的坐标公式 X=X1x2和y=y1显然都无意义，也11 '就是说，当儿=-1时，定比分点不存在2)三角形重心坐标公式设 MBC的三个点的坐标分别为 A(Xi,yi),B(X2,y2),C(X3,y3), G为AABC的

8、重心，则XiX2 X3Xg :-3yy2y3PP2yG)一例8在直角坐标系内R(4, 3),P2(-2,6)，点P在直线PP2上，且的坐标.解：当P在PP2上时，P(0,3)；当P在RF2延长线上，P(8,15).例9已知A(3, -1), B( -4,-2) , P是直线AB上一点，若2AP = 3AB ,求点P的坐标. 1155解：注意定比分点的定点，可得 P(- ,-)22*方法提炼* 几个重要结论1. 若a,b为不共线向量，则a+b, a-b为以a,b为邻边的平行四边形的对角线的向量;22七 42422. a+b + ab =2('a'+ b )；3. G 为 AABC

9、 的重心 u Ga + Gb+Gc =0 G(X1 +x2+x3 y1 +y2 + y3)3'3A(x1,y)B(x2,y2)C(x3,y3)【基础夯实】1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 向量AB与CD是共线向量，则 A R C D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD1平行四边形的充要条件是 AB = DC模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量aB、Ac在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.不正确

10、.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的、正确.不正确.如图AC与BC共线，虽起点 ,不1f同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及 相互关系必须把握好.2 .下列命题正确的是(C )A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顷点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行3 .在下列Z论中，正确的结论为( D )(1) a / b且| a|=| b|是a=b的必要不充分条件(2) a / b且| a|=| b|是a=b的既不充分也不必

11、要条件(3) a与b方向相同且| a|=| b|是a=b的充要条件(4) a与b方向相反或| a| w | b|是aw b的充分不必要条件A. (1)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (1)(3)(4)1A.点C分AB的比是-132C点C分AC的比是-2 34 .已知点A分有向线段BC的比为2,则在下列结论中错误的是( D )8. 点C分BA的比是-3D点A分CB的比是25 .已知两点P(T,6)、P2(3,0),点P( 7, »分有向线段P1P2所成的比为人，则九、y3Dr 8的值为（C ）A 一 一 ）8B. , 8446 . ABC的两个顶点 A(3, 7)

12、和B(-2 , 5),若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则 顶点C的坐标是(A )A (2 , -7)B (-7 ,2) C .(-3 , -5)D (-5 , -3)7 . “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件.答案：必要非充分8 .已知a、b是两非零向量，且a与b不共线，若非零向量c与a共线，则c与b必定 . 答案：不共线9 .已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么 x= ,答案：2或7210 . ABC的顶点 A(2, 3) , B(-4 , -2)和重心G(2, -1),则C点坐标为, 答案:(8,-4)1-11 .已知M为ABC边A

13、B上的一点，且S2AMe =- SBC ,则M分AB所成的比为-1答案：17【巩固提高】12 .已知点A=(1,Y)、B(5,2),线段AB上的三等分点依次为 R、B,求P、P2点的坐标以及A,B分PP2所成的比人.1 .解：Pi(1,-2),P 2(3,0),A、B分p1P2所成的比入1、入2分别为-a，-2-28f f 13 .过P(1,3)、P2(7,2)的直线与一次函数y= x+ 的图象交于点P,求P分P1P2所55成的比值.5解：1214 .已知平行四边形 ABCT个顶点坐标为A(-2,1), 一组对边AR CD的中点分别为M(3,0)、N(-1 , -2),求平行四边形的各个顶点坐

14、标 .解：B(8, 1) ,C(4,3) ,D(6, 1)B15 .设p 皆ABCq平面内的一点， BC+BA=2BP(B).(D).PA PB+PC -0(A).PA PB =0(C).PB PC -016.若F面向量 a,b满足 a+b =1,a+b平行于 x轴，b = (2,1),则 a = (-1,1)或(一3,1.17.在 ABC43,点 P在 BC上，且 B% 2PC点 Q是 AC的中点.若 PA= (4,3) , PQ= (1,5),则BC等于()A. (6,21)C. (6, - 21)B. (-2,7)D. (2, -7)解析：选 A.AC= 2AQ= 2(PQ-PA = ( 6,4),PC=PAAC= (-2,7) , BC=