最新2019年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

1、精品文档2019年江苏省高考说明数学科一、命题指导思想2019 年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据普通高中数学课程标准（实验） ，参照普通高等学校招生全国统一考试大纲，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度.1 突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注

2、重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.2重视数学基本能力和综合能力的考查数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.（ 1） 空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.（ 2） 抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.（ 3） 推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事

3、实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.（ 4） 运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.（ 5） 数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.3注重数学的应用意识和创新意识的考查数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简

4、单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.创新意识 的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.二、考试内容及要求数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1 的内容；附加题部分考查的内容是选修系列 2 中的内容以及选修系列4 中专题4-2矩阵与变换、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式选讲这3 个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A

5、、 B、C 表示） .了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合性的问题掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题.精品文档精品文档具体考查要求如下:1.必做题部分内容要求ABC1.集合集合及具表小V子集V交集、并集、补集V2.函数概念 与基本初 等函数I函数的概念V函数的基本性质V指数与对数指数函数的图象与性质V对数函数的图象与性质V幕函数V:函数与方程V函数模型及其应用V3.基本初等函数H （三 角函数）、 三角恒等 变换三角函数的概念V同角三角函数的基本关系式V正弦函数、余弦函数的

6、诱导公式V正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质V函数y = Asin（s x +中）的图象与性质V两角和（差）的正弦、余弦及正切V二倍角的正弦、余弦及正切V4.解三角形正弦定理、余弦定理及其应用V5.平向向量平向向量的概念V平向问量的加法、减法及数乘运算V平而向量的坐标表示V平向向量的数量积V下而问量的平行与垂直V平向向量的应用V6.数列数列的概念V:等差数列V:等比数列V7.不等式基本不等式V|一元二次不等式V线性规划V8.复数复数的概念V；复数的四则运算V复数的几何意义V9.导数及其应用导数的概念V导数的几何意义V导数的运算V利用导数研究函数的单调性与极值V精品文档精品文档导数在实际问

7、题中的应用V10.算法初步算法的含义V流程图V基本算法语句V11.常用逻辑用语:命题的四种形式V充分条件、必要条件、充分必要条件V简单的逻辑联结词V；全称量词与存在量词V12 .推理与证明:合情推理与演绎推理V分析法与综合法V反证法V13.概率、统计抽样方法V总体分布的估计V总体特征数的估计V随机事件与概率V古典概型V几何概型V互斥事件及其发生的概率V14.空间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体V柱、锥、台、球的表面积和体积V15.点、线、面之间的位置关系平面及具基本性质V直线与平向平行、垂直的判定及性质V两平面平行、垂直的判定及性质V16.平间解析 几何初步直线的斜率和倾斜角V直线方程V1直

8、线的平行关系与垂直关系V两条直线的交点V两点间的跑离、点到直线的跑离V圆的标准方程与一般方程V直线与圆、圆与圆的位置关系V17.圆锥曲线 与方程r中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质Vr中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质V顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质V2.附加题部分内容要求ABC选 修 素 列2:不 含 选 修 素 列1 中 的 内 容1.圆锥曲线程曲线与方程V顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质V2.空间向量与立体几何空间向量的概念V空间向量共线、共面的充分必要条件V空间向量的加法、减法及数乘运算V空间向量的坐标表示V空间向量的数吊积V空间向量的共线与垂直V直

9、线的方向向量与平面的法向量V空间向量的应用V3.导数及其应用简单的复合函数的导数V4.推理与证明数学归纳法的原理V数学归纳法的简单应用V5.计数原埋加法原理与乘法原理V排列与组合V二项式定埋V6.概率、统计离散型随机变量及其分布列V超几何分布V条件概率及相互独立事件Vn次独立重复试验的模型及二项分布V离散型随机变量的均值与方差V选修系列4中4个专题7.几何证明选讲相似二角形的判定与性质定理V射影定理V圆的切线的判定与性质定理V圆周角定理，弦切角定理V相交弦定理、割线定埋、切割线定理V圆内接四边形的判定与性质定理V8.矩阵与变换矩阵的概念V二阶矩阵与平面向量V常见的平面变换V矩阵的复合与矩阵的乘

10、法V二阶逆矩阵V二阶矩阵的特征值与特征向量V二阶矩阵的简单应用V9.坐标系与参数方程坐标系的有关概念V简单图形的极坐标方程V极坐标方程与直角坐标方程的互化V参数方程V直线、圆及椭圆的参数方程V参数方程与普通方程的互化V参数方程的简单应用V10.不等式选讲不等式的基本性质V含有绝对值的不等式的求解V不等式的证明（比较法、综合法、分析法）V算术-几何平均不等式与柯西不等式V利用不等式求最大（小）值V运用数学归纳法证明不等式V三、考试形式及试卷结构（一）考试形式闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间 120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.（二）考试

11、题型1 .必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约 占70分；解答题6小题，约占90分.2 .附加题 附加题部分由解答题组成，共5题.其中，必做题2小题，考查选修系 列2 （不含选修系列1）中的内容；选做题共3小题，依次考查选修系列4中4-2、4-4、 4-5这3个专题的内容，考生只须从中选 2个小题作答.填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写 出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（三）试题难易比例必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例 大致为4: 4: 2.附加题部分由容易

12、题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例 大致为5: 4: 1.四、典型题示例A.必做题部分1 .设复数i满足（34i）z=|4十3i | （i是虚数单位），则z的虚部为【解析】本题主要考查复数的基本概念，基本运算.本题属容易题.本题属容易题.2 .设集合A=1,2, B =a,a2+3,若Ab =1,则实数a的值为【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识【答案】1.3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S的值为【解析】本题主要考查伪代码的基础知识，本题属容易题卜 1S 1While I <6卜I+2S 2SEnd WhilePrint S精品文

13、档颖率 碓0.060.050.040.020.015 10 15 20 25 30 35 40 氏度(mm)（第5题）4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100根棉花纤维的长度（棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标），所得数 据均在区间5,40中，其频率分布直方图 如图所示，则在抽测的100根中，有 根 棉花纤维的长度小于20mm.【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题.【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于20mm的频率为0.04 父5 + 0.01 父 5 +0.01 父 5 = 0.3，故频数为 0.3父 100 = 30.5.将一颗质地

14、均匀的骰子（一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩 具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题.【答案】56. 16.已知函数y =8$*与丫 =sin（2x十邛）（0 Ex <H），它们的图像有一个横坐才玉芸标为上的交点，则中的值是.。3【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力 .本题属容易题.【答案】-. 67.在各项均为正数的等比数列 Q中，若a2=1,a8=a6+2a4,则a

15、6的值是.【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.本题属容易题.【答案】4.28 .在平面直角坐标系xOy中，双曲线二- y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于 P,Q , 3其焦点是Fi, F2,则四边形F1PF2Q的面积是.【解析】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦点、焦距和直线与直线的交点等基础知识.考察运算求解能力.本题属中等难度题.【答案】2d3129 .设 D、E 分别是4ABC 的边 AB、BC 上 的点，且AD =AB,BE BC .若 ,、,23de' = z,ab+%ac（A、 %均为实数），则% + %

16、的值为一【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算等基础知识.考察运算求解能 力.本题属中等难度题精品文档【答案】1. 210 .如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为定点的/ .个、/多面体的体积为 .4牙亍壬【解析】本题主要考查简单多面体的概念、四棱锥的体积等基础 /知识.考察空间想象和运算求解能力.本题属中等难度题.忆'【答案】4. 311 .若函数f(x)=2x3ax2+1(aw R)在(0,)内有且只有一个零点，则f (x)在1,1上的最大值与最小彳1的和为 .【解析】本题主要考查利用导数研究函数性质、一元二次不等式等基础知识.考察数形结合思想，考察运算求解能

17、力.本题属中等难度题.【答案】-3. x + a -1 < xn . .12设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间-1,1)上，f(x) = 21 1-x<0,其中|-x|, n<x<1 ,5aw R.若 f(-5) =f(9),则 f(5a)的值是. 22【解析】本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力.本题属中等难度题.【答案】二513 .在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B (0,6),点P在圆O:x2+y2=50上，若PA由W20 , 则点P的横坐标的取值范围是【解析】本题主要考察圆的方程、圆与圆的位置关系、向量的数量积等

18、基础知识.考察数形结合思想，考察运算求解能力.本题属中等难度题.【答案】-275,114 .在锐角三角形 ABC中，若sinA=2sinBsinC,贝U tanAtanBtanC的最小值是精品文档精品文档精品文档【解析】本题主要考察两角和(差)的三家函数、基本不等式等基础知识.考察等价转化思想和运算求解能力.本题属难题.【答案】8.二、解答题15 .在AABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3, b=2历 B = 2A.(1)求 cosA值；(2)求c的值.【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力 本题属容易题.【参考答案】(1)在 AABC 中

19、，因为 a =3, b=2j瓦 B=2A,故由正弦定理得3276于是 2sinAcosA 2d6sin A sin 2A 'sin A 3所以cosA甘.-cos2 A =- 3由(1)得cos A =殍.所以 sin A = . 13又因为 B=2A,所以 cosB =cos2A = 2cos2-1 =1 .3从而 sin B =、1 -cos2 B =在AABC中，因为A + B +C =n，所以 sinC =sin( A B) = sin AcosB5.3cos Asin B = 9因此由正弦定理得ca sin C=5.sin A16 .如图，在三棱锥 A-BCD中，ABXAD,

20、 BCXBD,平面ABD，平面BCD,点E、F咋与人、D不重合）分别在棱 AD, BD , 上，且EFXAD.八'求证：（1） EF/平面ABC; ADXAC.【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.本题属容易题【参考答案】证明：（1）在平面ABD内，因为ABLAD, EF _L AD ,所以EF/AB.又因为EF辽平面ABC, ABu平面ABC,所以EF/平面ABC.（2）因为平面ABD，平面BCD,平面ABDp|平面BCD=BD,BC 仁平面 BCD, BC_LBD,所以BC，平面ABD.因为AD二平面ABD ,所以BC

21、1 AD .又 AB，AD, BCRaB=B, ABu平面 ABC, BC二平面 ABC,所以AD，平面ABC,又因为ACu平面ABC,所以ADXAC.（第17翘）17 .如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E : j = 1（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi, F2,离心率为-,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上, 2且位于第一象限，过点Fi作直线PFi的垂线li,过点F2作直线PF2的垂线12.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线 J I2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识，考查分析

22、问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题.【参考答案】(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为1 ,两准线之间的距离为8,所以，9=8 , 2a 2 c解得a=2,c=1,于是b=G/ =由，22因此椭圆E的标准方程是 工+工=1. 43(2)由(1)知，«1,0) , F2(1,0).设舟兀因为点p为第一象限的点，故x0>0,y0>0.当X。=1时，卜与l1相交于、，与题设不符.当X。#1时，直线PR的斜率为，直线PF2的斜率为 +.X。1 >X。-1X 1Xn - 1因为1JPF1,小PF2,所以直线11的斜率为，直线12的斜率为-，y。y。从而直线I1的

23、方程：y = -9(x+1)y。.一X 1直线12的方程：y = -J(x-1).y。1 一 X21 X?由，解得X = -X°,y=，所以Q(-X。,).y。y。因为点Q在椭圆上，由对称性，得V。=±y。 即 xo y。=1x。+ y。=122又P在椭圆E上，故X1.X2 -y2 =1k由侪.y： L解得凡="=。=第; 二17743X2 y2 =1慎y2 无解.因此点P的坐标为呼,当.18.如图：为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥 BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端。和A

24、到该圆上任一点的距离均不少于 80m,经测量，点A位于点。正北方向60m处,点C位于点。正东方向170m处，(OC为河岸)，4 tan BCO =3(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大?查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力-t【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考【参考答案】解法一:(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知 A(0, 6。)，C(170,。),直线 BC 的斜率 kBc=-tanZBCO=-.3又因为ABXBC,所以直线AB的斜率kAB=-4设点B的坐标为(a,b)

25、,贝U kBc=上二匕=_4, kAB=b60.3a -1703a -04解得 a=80, b=120.所以 BC=，(17080)2 +(0120)2 =150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M的半径为r m,OM=d m,(0<d<60).由条件知，直线BC的方程为y = /(x.170),即4x + 3y680=03由于圆M与直线BC相切，故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=3解3 =-55因为。和A到圆M上任意一点的距离均不少于 80 m,680 -3d 、工,j -d >80 所以(r -(60-d)>80-d > 80即

26、 5解得680 -3d、-(60 -d)> 80510 0 d & 35故当d=10时,r=680二3d最大，即圆面积最大.5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.解法二：(1)如图，延长OA, CB交于点F.因为 tan/BCO=4 .所以 sinZFCO=- , cos/ FCO=3.355因为 OA=60,OC=170,所以 OF=OC tan/ FCO=680.3OC850500CF=，从叩 AF =OF -OA =.cos FCO33因为 OAXOC,所以 cos/ AFB=sin/FCO=4 ,5又因为 ABXBC,所以 BF=AF cos/ AFB=40

27、0 ,从而 BC=CF-BF=150.3因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M与BC的切点为D,连接MD ,则MDXBC,且MD是圆M的半径，并设 MD=r m, OM=d m(0<d<60).因为 OALOC,所以 sin/CFO =cos/ FCO,精品文档故由知，sin/CFO =MD= MD=$=3所以r=680d.MF OF-OM 68°-d 553因为。和A到圆M上任意一点的距离均不少于 8° m,68° -3dd >I-d 8°所以r-d 8° 即5解得1°£dW35(6&#

28、176; 38°68°d° 38°、一 5故当d=1°时,r =竺°二3d最大，即圆面积最大. 5所以当OM = 1° m时，圆形保护区的面积最大.19 .记f (x), g (x)分别为函数f (x), g(x)的导函数，若存在x° w R ,满足f (x°) = g(x°)且f (x°) =g'(x°),则称 x°为函数 f(x), g(x)的一个 “ S点”.(1)证明：函数 f(x) =x, g(x) =x2+2x-2不存在 “ S点”; 若函数f(

29、x)=ax21, g(x)=lnx存在“ S点”，求实数a的值；(3)已知函数f (x) =-x2+a, g(x) =be .对任意的a >° ,判断是否存在b>° ,使函数 xf(x)与g(x)在区间(°尸)内存在“ S点”，并说明理由.【解析】本题主要考察利用导数研究初等函数的性质，考察综合运用数学思想方法分I V t* + 7 丫 7/口) = 1,3=2工+ 2-o无解，1 = 2x + 2/(力=2g g V) =-*,A。，二，/(. (-) = -i = g(. I-) = - -hi 2a a =,72a22a22(3) f x) =

30、2* g'(x)=，式工0, /6)= #(/X-4 、, 、2b 2xl2:/(工0)_ 就小)一A0 4-G/ - 1K TJAn、 2x + 3x + ax a令稔)-x-a - , H E (0,l)ix -11 - xiSw(x) = -x3 + 3x' +ax- a, x e (0J)> i? > 0桁(0) = -£? <7w(l) = 2 > 0 => m(0) + m(l) < 0又M口的图像在(0, i上连续不断品文电版(幻在(01)上有零点则幽©在(0,1)上有零点'制与双芯)在区间(0,+兀

31、)内存在点.析与解.*/()与氯刈不存在七点”,“J决问题2口的能力.本题属2x3=° > 0 x0 e (031)Xq-1于难题.A【参考0 1a>0答案】精品文档20 .设数歹Ian的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得S = am , 则称an是H数列”.(1)若数列an的前n项和Sn=2n(nw N冲)，证明：3是H数列”；(2)设&是等差数列，其首项&=1,公差d<0.若an是H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列an,总存在两个H数列” bn和Cn,使得 an =bn +Cn(n WN 力成立.【解析】本题主

32、要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力与推理论证能力.本题属难题.【参考答案】(1)当 n>2 时，an =Sn -SnL2n -2n，= 2n，当n =1日寸，& =S =2n =1 日寸，S =a ,当 n > 2 日寸，S =a0+an是H数列”(2) 0=惆+对 Vn WN冲，三mWN冲使 S. =a,即 n+nn2-)d =1+(m T)d精品文档精品文档取 n =2彳1 +d =(m _1)d , m =2 +2 d: d <0 , m<2 , 又 mwN”,. m=1 , d =1(3)设an的公差为d令 bn =ai (n 1)ai

33、=(2n)ai , 对 /n WN工 bn十bn =TCn =(n-1)(a +d),对 Vn WN*, 斛-1 =&+d则 bn +Cn =a1 +(n _1)d =an ,且bn ,a为等差数列bn的前 n 项和 Tn =na +吧/(-a),令 Tn=(2m)a,则 m = n(n23)+2当 n =1 时 m =1 ；当 n =2 时 m=1 ；当n43时，由于n与n3奇偶性不同，即n(n3)非负偶数，mw N*因此对Vn,都可找到me n使Tn=bm成立，即bn为H数列，Cn的前 n 项和 R =叱-1) +d),令 Cn =(m-1)(a +d) = R ,则 m=nnF)

34、+1;对 Vnw N = n(n1)是非负偶数，. mW N*即对MW N二者阿找到mW N使得Ri成立，即Cn为H数列” 因此命题得证.B.附加题部分1 .选修4 -2矩阵与变换已知矩阵A = F。B$1 2 求a'b._0 2 |tO 6【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力.本题属容易题.【参考答案】设A的逆矩阵为a叫则，T 0中 咋。0,即七1 0】,故a = -1, b = 0, ：c d10 2k d10 1_12c 2d_ ：0 1精品文档精品文档1 0c=0, d=L从而A的逆矩阵为A=1，所以,2 0 -一 2 一A-B =2-1 -26 1。圆心为

35、直线：sin卜B - ,32 .选修4-4坐标系与参数方程在极坐标中，已知圆c经过点p( J2,： 极轴的交点，求圆C的极坐标方程.【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化 问题的能力。本题属容易题.【参考答案】圆C圆心为直线Psinfe 与极轴的交点， 32.二在Psin G _父=9中令9=0 ,得P=1。,32 圆C的圆心坐标为(1,0)。;圆C经过点P(亚；)，.二圆C的半径为PC =H2 f+12-2父1父/2cost=1.二圆C经过极点。.圆C的极坐标方程为P=2cosB3 .选修4-5不等式选讲已知a,b是非负实数，求证：a3 +b3 ”岳(a2 +b2)【解

36、析】本题主要考查证明不等式的基本方法.考查推理论证能力，本题属容易题.【参考答案】由a,b是非负实数，作差得a3 b3 - ab(a2 b2)=a2 a( a - b) b2 b( b - a二(a - b)( a)5 -( b)5)当 a b时，7a >vb,从而(J)5 >(vb)5,得(Ja -vb)(a)5 -(Vb)5) >0当 a cb 时，、a <46,从而(器)5 <(vb)5,得(JIvb)(“a)s (jE)5)0.所以 a3 b3 <ab(a2 b2).4 .如图，在正四棱柱 ABCDAiBiGDi中，AA = 2, AB =1 ,点N

37、是BC的中点，点M在CCi上，设二面角A-DN-M的大小为日.(1)当日=900时，求AM的长；当cose =告时，求CM的长。【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间 向量解决问题的能力.本题属中等题.【参考答案】建立如图所示的空间直角坐标系D xyz。设 CM =t(0WtM2),则各点的坐标为 A(1,0,0), A1(1,0,2), N(1,1,0), M (0,1,t)所以 的=(1,1,0), DM =(0,1,t), DA 1 =(1,0,2).设平面DMN的法向量为 2n1=供,必,乙)，则 r DN =0,” DM =0,即 X1 十2y1 =0, y +tz =0 ,令 z =1，贝1J y1 =t, x =2t.所以=(2t,t,1)是平面DMN的一个法向量.设平面ADN的法向量为n2 =仪2»2*2),则% DA1