【高中数学2-3教案】1.3.1二项式定理

1、1. 3. 1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般 性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用.教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用.授课类型：新授课.课时安排：3课时.教 具：多媒体、实物投影仪 .内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重 要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要 包括：定理本身，通项公式

2、，杨辉三角，二项式系数的性质等.通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒 等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用； 重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础.通项公式，杨辉三角, 特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点.理项式定理的证明是一个教学难点.这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地 运用组合数的性质 2、需要用到不太熟悉的数学归纳法.在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生 活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体

3、系；尽量引导学生的发展和创造 意识，以使他们能在再创造的氛围中学习.教学过程：一、复习引入：.2 2 22一._ 2_0 2_1 _2_ 2(ab)a2abb C2aC2abC2b ;33c 22,30 31 22,23, 3(ab)a3ab3ab bC3aC3a bC3ab C3b .(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：a4, a3b , a2b2, ab3, b4,展开式各项的系数：上面 4个括号中，每个都不取 b的情况有1种，即C0种，a4的系数 是C0 ；恰有1个取b的情况有C4种，a3b的系数是C4,恰有2个Wb的情况有

4、C：种， a2b2的系数是C2,恰有3个取b的情况有C3种，ab3的系数是C，有4都取b的情况 444有C4种，b的系数是C4 , 40 41 32 2. 23 34. 4(a b)C4a C4ab C4ab C4ab C4b .二、讲解新课： n 0 n 1 nr n r rn n ,一项式te理：(a b)CnaCna b LCna b L Cnb (n N )(a b)n的展开式的各项都是 n次式，即展开式应有下面形式的各项：n nn r rna , a b, , a b ,b ,展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种，即C0种，an的系数是C：；恰有1个取b的情况有C：种，anb的

5、系数是C：,，恰有r个取b的情况有C；种，anrbr的系数是C；,，有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn,(a b)n C：an C：anb LC；an rbr LCnbn(n N),这个公式所表示的定理叫 二项式定理，右边的多项式叫(a b)n的二项展开式，它有 rn 1项，各项的系数 Cn(r 0,1,L n)叫二项式系数，C；an rbr叫二项展开式的 通项，用Tr 1表示，即通项Tr 1 C；an rbr .二项式定理中，设 a 1,b x,则(1 x)n 1 C：x L C：xr L xn.三、讲解范例:解一解二:例2.1 , 展开(1 1)4.x(1 1)4 1 c4(1)(

6、1 1)x1 44(-)(x 1)展开（2 x1 )6c4(1)2 c3(1)3 (1)x(-)4x1144 xc4x3c4x2 c3x解：(2 .11 )6、.x13(2x x1)6(2x)6 c6(2x)5C62(2x)4C3(2x)3 C；(2x)21C6(2x)164x3 192x2 240x60160 一 x12-2 x例3.求（x a）12的展开式中的倒数第 4项.4项是第10项,12解：（x a）的展开式中共13项，它的倒数第9 12 9 93 3 93 9T91 c偌xac偌x a 220x a例4.求（1） （2a 3b）6, （2） （3b 2a）6的展开式中的第 3项.2

7、 一 4_2 一 一 42解：(1) T2 1 c6(2a) (3b)2160a b ,(2)T21 c62(3b)4(2a)2 4860b4a2.点评：（2a 3o）6, （3b 2a）6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同*例5. （1）求（x j=）9的展开式常数项;(2)求(x2)9的展开式的中间两项.x c 3c c 9 3r解：. Tri C；(-)9r(5=)r C； 32r 9x 2 , 3 xf 3_6_3，(1)当9 -r0,r6时展开式是常数项，即常数项为 T7C932268；2(2) (| %)9的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，4c89 9 1

8、242八5。109 9万 o-,o -T5C93X _3, T6C93x 378 , X.X例6.(1)求(1 2x)7的展开式的第4项的系数；1(2)求(x )9的展开式中X3的系数及二项式系数. X一,_.7_3 _.33解：(1 2x)7的展开式的第四项是 T31 C7(2x)280x ,(1 2x)7的展开式的第四项的系数是 280 .(2) (X 1)9 的展开式的通项是 Tr 1 CgX9 r( 1)' ( 1)rC；X92r,XX9 2r 3, r 3,33333x的系数(1)C984, x的二项式系数C9 84.例7.求(x2 3x 4)4的展开式中x的系数.分析：要把

9、上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二 项式定理展开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开.解：(法一)(X2 3x 4)4 (X2 3x) 44o 0241 12322223 32344C4 (x 3x) C4 (x 3x) 4 C4 (x 3x) 4 C4 (x 3x) 4C4 4)显然，上式中只有第四项中含x的项，.展开式中含x的项的系数是C43 3 4376824444(法一)：(x 3x 4)(x 1)(x 4) (x 1) (x 4)c43xC4)小0 413 C2 2(C4 xCdx C4 x (C0x4 c4x

10、3 4 cjx2 42 C43x 43 C： 44)，展开式中含x的项的系数是C43 44 C4343768.m .n*x项的系数为x项的系数为例8.已知f (x)1 2x 1 4x (m,n N )的展开式中含36,求展开式中含x2项的系数最小值分析：展开式中含 x2项的系数是关于 m,n的关系式，由展开式中含36,可得2m 4n 36,从而转化为关于 m或n的二次函数求解解：1 2x m 1 4xn展开式中含x的项为Cm 2x C： 4x (2Cm 4C：)x1_ 1 (2Cm 4Cn) 36,即 m 2n 18,mn01 2x 1 4x展开式中含x2的项的系数为_2_2_22_2_2_t

11、 Cm2 Cn42m22m8n28n ,m 2n 18, m 18 2n , t 2(18 2n)22(182n)8n28n16n2148n 6122 37153、37*16(n n )，当n 时，t取取小值，但n N ,448n 5时，t即x2项的系数最小，最小值为 272,此时n 5,m 8.一 一，.一 1 n,一 例9.已知(& F=)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列,2 , x(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项19n1舍去)解：由题意：2C1 12若Tr 1是常数项，则8 r1Crx (18-rr (尸216 3r0 ,即 163r4 r

12、 Z,这不可能，展开式中没有常数项；若Tr 1是有理项，当且仅当16 3r为整数,40 r 8,r Z , r 0,4,8 ,即 展开式中有三项有理项，分别是:T1x4, T5rCr2r16 3r358"x，T91256C；( 0.002)6,例10.求0.9986的近似值，使误差小于 0.001.解：0.9986 (1 0.002)6 C： C6( 0.002)1 L22展开式中第二项为 C6 0.0020.00006,小于0.001,以后各项的绝对值更小，可忽略不计，0.9986 (1 0.002)6 C： C6( 0.002)10.998 ,一般地当a较小时(1 a)n1 na

13、 .四、课堂练习：、61 .求2a 3b的展开式的第3项.2 .求3b 2a 6的展开式的第3项.3 1 n3 .写出（Vx尸）的展开式的第r+1项.23 x374 .求x 2x的展开式的第4项的二项式系数，并求第 4项的系数.5.用二项式定理展开：11116 .化简：(1) (1 Mx)5 (1 Jx)5；(2) (2x" 3x 2)4 (2x2 3x1)457 . x xlgx展开式中的第3项为106,求x.2n18 .求x 展开式的中间项.x答案：1. T21 C；(2a)6 2(3b)2 2160a4b2 ._ 八26 222. 42. T2 1 C6 (3b)(2a)486

14、0a b r n 2r3. Tr14. 展开式的第4项的二项式系数C73 35,第4项的系数C7323 280 ,5. (1) (a 而)5 a5 5a4 Vb 10a3寸b2 10a2b 5abVb bVb2 ；(2)(近 4)5，x26 5xVx 5G 206 40g 32回2 x 328xx2x36. (1) (1 7x)5 (1 Vx)5 2 20x 10x2； 1111O 4_ oo 4_432(2) (2x23x2)(2x23x2)192x7. x xlgx 5 展开式中的第 3项为 C；x3 21gx 106x3 21gx 10521g 2 x31gx 5 0 1g x1,1g

15、x,1010, x100018. x x2n展开式的中间项为(1)nC2n 五、小结二项式定理的探索思路：观察一一归纳一一猜想一一证明；二项式定理及通 项公式的特点.六、课后作业：P36习题1.3A组1.2. 3.4七、板书设计(略).八、教学反思：n(a+b)=公式右边的多项式叫做(a+b) 11的这个公式表示的定理叫做二项式定理,其中C； (r=0,1,2,n)叫做, 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有

16、机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充 分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的 解决方法。二项式定理是指(a b)n an C；an1b c2an 2b2C；an rbrCnbn这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2 ab+b2, (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式V, =nxn 1,同时.1nlim (1 ) =e= 2.718281也正是由一项式定理的展开

17、规律所确定，而e在局等数学中n n 一 .-、 .A的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式ei =cose+isin0 ,微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y= 1与积分公式 -=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之xxf ( Xc )f n (x.)一.而由y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(xo)+ -一-(x-xo)2+(x1!n!c f(n 1)x(x xn )n 1xo)n+3(x x°) (0 e(0, I)以及由此建立的哥级数理论，更(n 1)!是广泛深入到高等数学的各个分支中.怎样使二项式定理的教学生动有趣正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个 (a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形 式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以 课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论， 或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都 会无能为力，因为这些方法都无