人教A版高中数学必修2第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式导学案(2)

1、3.3直线的交点坐标与距离公式导学案【学习目标】1 .直线和直线的交点，二元一次方程组的解；2 .掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。3 .理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。【导入新课】用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？新授课阶段1.两直线的交点坐标的求法如果两条直线相交，联立方程组求 ,交点坐标与二元一次方程组的 是对应的。1 .若二元一次方程组

2、有唯一解，li与12相交。2 .若二元一次方程组无解，则li与12平行。3 .若二元一次方程组有无数解，则li与12重合。例1求下列两直线交点坐标：11 : 3x+4y-2=0;12 : 2x+y +2=0。解：14 / 13例2已知a为实数，两直线11： ax y 1 0, l2： x y a 0相交于一点，求证交点不可能在第一象限及 x轴上.分析：解：2.两点间距离公式的推导平面直角坐标系中两点 R,P2的距离PP2轴和y轴作垂线，垂足分别为Ni 0,必X22X22y2y1。过P1, P2分别向x,M2 x2,0 ,直线PNi与P2M 2相交于点Q。.222在直角 P1P2Q中，PP2PQ

3、QP2 ，为了计算其长度，过点Pi向x轴作垂线,垂足为 M1 x),0 过点P2向y轴作垂线，垂足为 N2 0, y22RQ2M2M1222x2xi , QB N1N22y2V1一一.22222所以，PP2PQQP，=x2x1V2V1。由此得到两点间的距离公式例3以知点A (-1, 2), B (2,6),在x轴上求一点，使PA PB，并求PA的值。解：例4证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析:证明:3 .点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(xo,yo),直线=0或B=0时，以上公式l : Ax By C 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到

4、直线l的距离呢？设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由BPQl可知，直线PQ的斜率为 一(AWQ ,根据点A斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出I PQ I ,得到 点P到直线l的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法方案二：设Awq bwq这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(xi,y0);作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2),A" By。由Axo By?所以，I PR I =I PS I = I y。I Xoy2 I =I RSI = <PR2 PS2-I RS | = | P

5、R | -| PS |所以可证明，当A=0时仍适用xiXi IAxoByo C,y2Axo Byo CABy。 CA2 B2不丁'I Axo点 P(x0, y0)到直线 l : Ax ByC 0的距离为:例5求点P= (-1 , 2)到直线3x=2的距离。解:例6已知点A (1, 3) , B (3,1) , C (-1, o)解:Axo CBBy。C I由三角形面积公式可知:Axo By。 C,A2B2,求三角形ABC的面积。4 .平行线间的距离公式已知两条平行线直线11和12的一般式方程为11： Ax By C1 0,cr -C1 C212 : Ax By C2 0,则 11 与

6、12 的距离为 dL 0°A B证明：例7求两平行线11 ： 2x 3y 8 0, 12： 2x 3y 10 0间的距离。解：课堂小结1 .直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决, 并能进行应用。2 .两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角 坐标系的重要性。3 .点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式。作业见同步练习部分拓展提升1 .已知直线3x 2y 3 0和6x my 10互相平行，则它们之间的距离是 （）A. 4B*5, 13C.267 . 13D.262

7、、过点A（1,2）且与原点距离最大的直线方程是A. x 2y 5 0 B. 2x y 4 0C. x 3y 7 03.已知直线li的方程是ax-y+b=0,l2的方程是bx-y-a= 0（abw 0,而），则下列各示意图形中，正确的是（）4.直线y 3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位，所得到的直线为（）11_11A. y xB. y x 1 C. y 3x 3 D. y x 133335 .若动点 A（x1,y1）、B（x2,y2）分别在直线 h ： x y 7 0和 I2： x y 5 0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（）A. 3V2B. 23C. 3石D.

8、4<26 .点A (1, 3), B (5, 2),点P在x轴上使|AP|BP|最大，则P的坐标为()A. (4,0)B. (13,0)C. (5,0)D. (1,0)7 .过点P（4,1）作直线I分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点 A、B ,当 AOB （ O为原点）的面积 S最小时，求直线I的方程，并求出 S的最小值。8 .光线从Q 2,0发出射到直线l : x+y=4上的E点，经l反射到y轴上F点，再经y轴反射又回到Q点，求直线EF的方程。9.在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2 ,宽为1 , AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图所示)。将矩形

9、折叠，使A点落在线段DC上。(1)若折痕所在直线的斜率为 k，试求折痕所在直线的方程；(2)当2 J3 k 0时，求折痕长的最大值；(3)当2 k 1时，折痕为线段PQ ,设t k(2|PQ|2 1), 试求t的最大值。10 .过点(2,3)的直线l被两平行直线1i：2x 5y 9 0/2：2x 5y 7 0所截得线段AB的中点恰好在直线 x 4y 1 0上,求直线l的方程.参考答案新授课阶段1 .两直线的交点坐标的求法交点坐标解：联立方程组3x2x4y 22y 2解得 x=-2, y=22）,如下图所示:所以li与12的交点坐标为M (-2分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵

10、坐标的范围a2 1解：解方程组若a1 0,a 1则a >1.当a > 1时,a 1八 0, a 1此时交点在第二象限内又因为a为任意实数时，都有22aa 1 1>0,故a因为a w 1 （否则两直线平行,无交点）所以，交点不可能在 x轴上,一上，a 1 a 1父点（一,）a 1 a 12.两点间距离公式的推导P1P222X2X2y2y1解：设所求点P (x, 0),于是有2 22 2 x 10 2. x 207由 PA PB 得 x2 2x 5 x2 4x 11 解得 x=1。所以，所求点 P (1, 0)且 PA J 1 1 2_0 2 2 2j2 。解法二：由已知得，线段

11、 AB的中点为M 1J +" ,直线ab的斜率为22k= I?+币=3? x_1 pa=:1 + 2 " + 0 223 22 -后 2 Y线段AB的垂直平分线的方程是y- 2+行_ 3 ?122 -7 ,2在上述式子中，令 y=0,解得x=1。所以所求点P的坐标为(1, 0)。因此P A= J1 + 2 z + 0-2 '=2&例4分析：首先要建立直角坐标系， 用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。 数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。证明：以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立

12、直角坐标系，有A (0,0 )。设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b, c) , 因为22222222AB a , CDa , AD b c BCAC2 a b +c2, BD2= b a 2 + c2所以，AB2 + CD2 + AD2 + BC2=2 a + b + c2AC|2 + BD|2= 2 a4b 4 c 2 所以，ab2 + cd|2 + ad|2 + bc|2 = ac|2 + bd2因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。第二步：进行有关代数运

13、算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。3.点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线=0或B=0时，以上公式l : Ax By C 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由BPQl可知，直线PQ的斜率为 一(AWQ ,根据点A斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出I PQ I ,得到点P到直线l的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设AWQ BWQ这时l与x轴、y轴都相交，过点P作X轴的平行线，交l于点R(x, yo)

14、；作y轴的平行线，交l于点S(xo, y2),A xiAxoBy。By20得xi0By。CAy2Ax0 CB所以，| PR | x0 x1 |Ax° By0 CAI ps I = I y0y2 I =Ax0By° CBI RS| = vPR2 PS2A 22.A B “ix| Ax0ABBy0 C I由三角形面积公式可知:d -I RS I = I PR I -I PS I所以dAx° By0 C. A2 B2可证明，当A=0时仍适用得到：点P(xo，y。)到直线l:Ax By C 0的距离为：d|Ax。 By。 C,A2B2例716 / 1331 21解：d=.

15、32 02解：设AB边上的高为h,则-1 SVABC=2ABAB ?hAB边上的高h就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为1 33 1即 x+y-4=0。点C到X+Y-4=0的距离为hh=52 51 _ -因此，SVABC = - 2、. 2 24.平行线间的距离公式推导过程:证明：设P0(x0,y0)是直线AxBy C2则点P0到直线Ax ByCi0的距离为Ax。 By。 Ci22, A2 B2又Ax0By0C20即Ax0By0C2,Ci C2A2B22x 3y100的距离.解：因为11 / l2又C18Q10.由两平行线间的距离公式得d8 ( 10)23.22 321320 / 13拓

16、展提升1. D2. A 3.D4.A5. A 6. B7.设a(a,0),B(0,b),(a,b>0),则直线 1 的方程为:x义1,又 P(4,1)在直线l上, 4_12, ab 16, S -ab.ab28 ,等号当且仅当12,即a 8, b 2时成立，直线l的万程为：x+4y 8=0,Smin=88.解：设Q关于y轴的对称点为Q1 ,则Q1的坐标为-2,0设Q关于l的对称点为Q2 m,n ,则QQ2中点为G(又QQ21,由得Q2(4,2)由物理学知识可知，Q1、Q2在直线EF上，kEF kqQ2直线EF方程为：y1.-(x 2),即 x 3y 2 09、解：(1)当k 0时，此时A

17、点与D点重合，折痕所在的直线方程 y当k 0时，将矩形折叠后 A点落在线段DC上的点记为 G(a,1),所以A与G关于折痕所在的直线对称,.1.有 kOG k 1 k 1 a ka故G点坐标为G( k,1),从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为22折痕所在的直线方程ykk(x -),即kx22k21由得折痕所在的直线方程为：y kx 122(2)当k 0时，折痕的长为2;当2 73 k 0时，折痕直线交 BC于点M(2,2kk2万1k2 1/交y轴于N(0,丁)4 4k24(7 43) 32 16.322 k2 1k21 2' y |MN|2 22 丁 (2k 万-)2，折痕长度的最大值为32 16