人教版高中数学知识与巩固_指数与指数幂的运算(基础)

1、人教版高中数学知识与巩固指数与指数塞的运算(基础)【学习目标】1 .理解分数指数的概念，掌握有理指数哥的运算性质(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根 式与分数指数哥的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2 .掌握无理指数哥的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3 .通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要 性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4 .通过对根式与分数指数哥的关系的认识，能学

2、会透过表面去认清事物的本质.【要点梳理】要点一、整数指数哥的概念及运算性质1 .整数指数哥的概念4(a a0,nZ* )2 .运算法则mna ；(1)(2)m(3)anamm. m(4) ab a b .要点二、根式的概念和运算法则1 . n次方根的定义：若xn=y(n C N*, n>1, y R),则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为n；'y ；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为。；零的奇次方根为零，记为 V0 0 ;n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为方；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为近 0.2 .两个等式(1)当 n1 且

3、 n N* 时，n/aa ；(2) Vana, (n为奇数)|a|(n为偶数)要点诠释：要注意上述等式在形式上的联系与区别;计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时， 开方后的结果必为非负数， 可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误.要点三、分数指数哥的概念和运算法则* m . 一1anm anm -a nn.a为避免讨论，我们约定 a>0, n, m N,且m为既约分数，分数指数哥可如下定义: nzn x m n m(a).a1maF要点四、有理数指数哥的运算1 .有理数指数哥的运算性质a 0, b 0, Q a a a ;2 2) (a ) a ;(ab) a b

4、 ;当a>0, p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数哥的运算性质仍适用要点诠释：(1)根式问题常利用指数哥的意义与运算性质，将根式转化为分数指数哥运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如t( 4)2 (4<4)2 ；21(3)哥指数不能随便约分.如(4)4 (4.2.指数哥的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数哥化为正指数塞的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用哥的形式表示，便于用指数运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2- b2

5、= (ab) (a+ b), (a± b) 2= a2±2ab+ b2, (a±b) 3=a3±3a2b+ 3ab2土 b3,a3 - b3=(ab)(a2+ab+ b2),a3+b3=(a+b)(a2-ab+ b2)的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.求下列各式的值： </C7；(2)4/( 10)2;(3)乘一)4;(4)J(a b)2.a b( a>b)【答案】-3；/；3； 0(a=b)b a( a<b)【解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号& 10)2 屈；(3) V(3)4 |3|3；

6、a b (a>b)(4) J(a b)2 |a b| 0(a=b)b a (a<b)【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如， 4的平方根是 2,但不是"2.（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（1）3r23；（2）4/（-_9）7；（3）6/（4）6；（4）8/（a2）8.1) -2; (2) 3; ( 3) 4；(4)a 2(a 2)2 a(a 2)5=y4例 2.计算：（1），5 2褥 J7 473 J6 4夜；(2)【答案】2,2; 2 .2 .

7、对于（2）,则应分【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解 子、分母同乘以分母的有理化因式 .(1) ,5 2.67 4,36 4,2=(,3)2 2 32( ；2)2+ 222 23 ( ：3)2- 222 2 2 ( 2)2=.(32,(2,3)2,(2.2)2=|、3 :2|+| 2.3 |-| 2 ,2 |=痣 72+2 B (2 应)=2 2(2)1、 2 1；2 1打 1(<2 1)(. 2 1) (.2 1)(. 2 1)【总结升华】对于多重根式的化简， 一般是设法将被开方数化成完全 n次方，再解答，或者用整体思想来解题1 ，一一2）

8、中，_一的分子、,2 1化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（ 分母中同乘以於2 1）.举一反三:【变式1】化简：(1) 3 2；23 (1.2)34 (1 .2)4；,x 2x 1 x 6x 9(|x| 3)【答案】（1） & 1 ; （2）2x 2( 3 x 1), 4(1 x 3).x3 3,y6 = y类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数哥形式表示下列各式（式中 a>0）: 21 36(1) a2 指；(2) a3 VO7； (3) JaVa ； (4) JJ31 x351135【答案】a2； aK a4； y4【解析】先将根式

9、写成分数指数哥的形式，再利用哥的运算性质化简即可.115(1) a2、a a2 a2 a 2 a2;221133； 23 33 33(2) a va a a3 a 3 a3 ；.1 13 13(3) Vaa (a a2)2 (a2)2 a4；(4) 解法一：从里向外化为分数指数塞36 1NN)3y x1y)22y=xy x5=y4解法二：从外向里化为分数指数塞.y_/x=A(x(2声AW326y3xx y x112m【总结升华】 此类问题应熟练应用 a不n m,a (a清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数哥写出,一.* 1t、 . .一0,m,n N ,且n 1）,当所求根式含有多重根号

10、时，要搞 然后再用性质进行化简.12222举一反三：并化简【变式1】把下列根式用指数形式表示出来,也必'熹132【答案】（1） 2%而；x【变式2】把下列根式化成分数指数哥:(2),a a (a0); (3)(4)3a4;11bT；【解析6 8.2 = 6 23 22722(2)a13(a2)(3)b32b311b3；(4)例4.计算下列各式:,3 3 ,2b b27 2(1) (27) 38（式(0.008)2251 1(2)244 ( 2) 3(3)05-)327【思路点拨】利用指数骞的运算法则即可得出【答案】（1）；（2） 392 a.8 249 1【解析】（1）原式=（2）3

11、（空）2 （2791000 J)32254 79 317225 25193 21(2)原式=()2 2_1123(3)4(-)1(；)383【总结升华】（1）运算顺序（能否应用公式）；（2） 指数为负先化正；（3）根式化为分数指数哥.m 2m2举一反三：【变式1】计算下列各式:(1) 880.25(3 2,3)6(2)-a341a3 8a3b23 ab24b3(1 *)3a（2）原式（原式二813)1(23)41241(2弓61(3司632 233112;1a3 (a1(a3)28b)11a*2a3b3 (2b3)21a31a31a311“(a 8b)1 a.(a3)3 (2b3)3【变式2】

12、计算下列各式:%23)323 J 20(1.03)0 (32【答案】21 + 1564【解析】原式=16+76+5+276+- 76 =21 + 156 . 44例5.（2016湖北期末）计算:(1)(2 1)247.8)0 (33)38(2)(3)2-1 m2(4)(4ab 1)310.12(a3b 3)2【思路点拨】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算,母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系;同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.【答案】（1） 1 ； （2）21 m2 ; (3)25【解析】(2)2)2 2（1）原式（一

13、）312m221122m2m2(3)原式2 2342-10253332(1)42 a2 b 至22 3-101(2) a2b 2【总结升华】举一反三：本题考查了指数骞的运算性质,考查了推理能力与计算能力.【变式1】计算化简下列式子(a 0)2 1 2【解析】原式=a 2 35_a6 或 6a注意：当n为偶数时,|a|a(a0)2【变式2】化简A_x 32x2x 3a(a 0)2y2y弓【答案】2*xy【解析】应注意到2之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解,23y2(y)222原式(x3)3(y23)x 3 v飞222(x 3 )2 x 3 y 32(xy) 22包xy22(x3)3 (y

14、3)322x 3 y 322(y3)2 (x3)2 x(2)被开方数分母为1,且不【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质;含非正整数指数哥；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数 【变式3】化简下列式子：3 色 (2) .4 :2 2 62 、23 x2 2x 1 3x33x23x 1【答案】2近屈；充4/2； 2x(x 1), 2(3 、3)3-32(x1)【解析】(1)原式西3吗号华2 4 2 32 ,( 3 1)22(3 祝 2(12 63) 2 2 .6(3 、3)(3 , 3)6(2) ；(4184 2)2( 418)2 2418 42(42)2

15、.18 24.1822 32 24 62 、2 4.2 2 6 0，由平方根的定义得：.,4 ;2 2 6 4 18 42；3 x3 3x2 3x 13 (x 1)3x2 2x 1 |x 1|x 1(xx 1(x1)1)x2 2x3x33x23x2x(x2(x1)1)1例6.已知x23x23-的值.21x212. x22x3从已知条件中解出x的值,然后代入求值,3的联系，进而整体代入求值.这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件x23x2x3x 22x493 = (x222x129,2 47x 2)(x 147 2_3 (7 1) 3 15 145【总结升华】45对于“条件求值”方法求

16、值.本题的关键是先求举一反三：【变式1】求值:1(1)已知x25,2x求xx 1) 3问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”33222x2x 2 及 x x的值，然后整体代入.(2)已知 a>0,【答案】23 ;b>043且 ab=ba, b=9a ,求 a 的值.【解析】熟练掌握骞的运算是关键问题1(1)由 x25 ,两边同时平方得 x+2+x1=25,整理得：x+x-1=23,则有J 23；x(2)a>089ab>0199又. ab=ba8 c2a 3a1，(ab)b1(ba“aJa bb a (9a)9【巩固练习】1.若 x -3A.

17、3x 143.1 6x 9x2 等于B. 1 3x C. (1 3x)2 D.非以上答案22.若实数a>0,则下列等式成立的是A. ( 2) 24 B, 2a 3127C.(2)01D. (a Z)42 13.计算4.23 2"的结果是（A.32B.16C. 64D.1284.化简12 3212 16结果是（132B. 1132C.11321D.-21325. 3 6 a963a9A 16A. aB. a8C.D. a26.若a1,ba b的值等于A. .6B. 2C. 2D.27.计算8.化简 Jb (27b1)(1 b2)=9.计算:12的结果是10. (1)化简:b2a2

18、)3 (*(-)aa> 0,b>0,化简:2 J(2a3b2)(116a5 bb1 53a6b6(4a 1).11.计算:2(1)1253116134331c一0.02735030.00164412.计算下列各式:1923 1(38)311(2)a b1a2b，b 2a2 b211a2 b22- x 1 x 1 x x313 .计算：1 x3 x3 1 x3 1 x3 114 .已知x2 x 23,求x x 2的值.x2 x 2 2【答案与解析】1.【答案】B1 一.【解析】因为x ,所以1 3x 0,原式=|1 3x| = 1 3x,故选B。 32 .【答案】D【解析】对于A , ( 2) 2 1 ,故A错误，43 2.对于B, 2a 3 二，故B错误，3a对于C, ( 2)0 1,故C错误；4 1对于D, (a 4)4 一,故d正确, a故选D.3.【答案】 A【解析】22( 2 1)23 2 2一 5232 ,故选A。4.(12 32) 12 32116122321 2解析原式=11(12 (2 32)2) 1 2 石11 2 321111(1 2 弓 1 2 宿 1 2 8 12 411【解析】36a92b a入17.【答案】一162b a1326 3. a9为ab解析原式=4(