考研数学线性代数分阶精讲讲义

1、 数学课堂系列线性代数注没有完全按照讲义授课，重新进行了知识点整合，但所讲内容都包含在讲义中，为更好提高学习效果，建议以听课学习为主，做好笔记，切不可只看讲义不听课程.第一讲行列式内容行列式按行（列）展开定理要求1了解行列式的概念，掌握行列式的性质2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式基础知识精讲一、行列式的概念1 排列与逆序数（1）排列把 n 个不同的元素排成一列，就叫做这n 个元素的全排列，简称排列。比如 123 为一个 3 级排列，51324 是一个 5 级排列。【概念理解点睛】不同的n 级排列共有n!个.（2）逆序、逆序数jn 中，若一对数 js jt ，大前小后，即

2、 js > jt ，则 js jt在一个n 级排列 j1了一个逆序。一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数，记为t ( j15，记作t (51324) = 5 ，t (123) = 0 .jn ) 。如：51324 逆序数是（3）对换排列 j1换任两个数的位置，其余不变，则称对排列作了一次对换.n【概念理解点睛】对换一次改变排列的奇偶性。如t (123) = 0,t (321) = 3 .2 n 阶行列式的定义（1）引例（2）定义1 数学课堂系列线性代数a11 a21a12 a22a1n a2nt ( j jj ) aD = D(a )= å(-1)a1 2nij n´

3、;nn1 j1njnan1an2ann= å(-1)t ( j1 j2 jn ) aj11aj nn【概念理解点睛】Dn 是一个数值，是n!项的代数和，每项均取自不不同列的n 个元素的乘积；a110a12 a22a1n a2n【例 1.1】上三角行列式 D =.00ann二、行列式的性质性质 1行列式的行与列(按原顺序)互换，(互换后的行列式叫做行列式的转置)其值不变，a11a12 a22a1n a2na11 a12a21 a22an1 an2a21即=.an1an 2anna1na2nann性质 2 行列式的两行对换，行列式的值反号a11a12a1na11a12a1nai1ai 2

4、ainaj1aj 2a jn=- .aj1aj 2a jnai1ai 2ainan1an 2annan1an 2ann【概念理解点睛】i）行列式中两行对应元素全相等，其值为零，即当ail = ajl (i ¹j,l = 1, 2, n) 时，有2 数学课堂系列线性代数a11a12a1nai1ai 2ainD = 0aj1aj 2ajnan1an 2annii)若换奇数次则变号，偶数次不变。性质 3 行列式的某行(或列)元素都乘k ，则等于行列式的值也乘ka11a12a1na11a12a1n= kkai1kai 2kainai1ai 2ain.an1an 2annan1an 2ann性

5、质 4 如果行列式某行(或列)元素皆为两数之和，则其行列式等于两个行列式之和a11a12a1na11a12a1na11a12a1nai1 + bi1ai 2 + bi 2ain + bin=+ai1ai 2ainbi1bi 2bin.an1an 2annan1an 2annan1an 2ann【概念理解点睛】（1）某行元素的行列式其值为零；a1 + b1a2 + b2（2）a1a2+ a1b2b1a2b1b2d1d2=+.c1 + d1c2 + d2c1c2c1d2d1c2性质 5 在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数k ，再加到另一行的对应元素上，行列式的值不变(简称：对行列式做倍加行变换

6、，其值不变)，即a11a12a1na11a12a1nai1ai 2ainai1ai 2ain=.kai1 + a j1kai 2 + a j 2kain + a jna j1a j 2a jnan1an 2annan1an 2ann3 数学课堂系列线性代数a111a210【例 1.2】计算n 阶行列式 D =, a ¹ 0, i = 1, 2, n .i10bb aanab bba bbb b【例 1.3】 计算行列式 D =bbba三、行列式的展开定理（降阶法的基础）1 引例与式与代数式A = (-1)i+ j M .ijij【概念理解点睛】式都是比原行列式低一阶的行列式，其值只与

7、aij 的位置有关，而与aiji）式和代数a11a12 a22 a32a13 a23 a33J10K AQa23 a33的取值无关.如 a21，a21，a12 与 0 的式与代数式是相等的；a31a31ii） Mij , Aij 最多差一个符号.2 行列式的展开定理行列式对(列)展开，其值相等，即nD = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ain Ain = åaij Aij , (i = 1, 2,j=1, n)nD = å akj Akj = a1 j A1 j + a2 j A2 j +k =1+ anj Anj其中 A = (-1)i+ j M ，M 是

8、D 中去掉第i 行第 j 列全部元素后，按原顺序排成的n -1阶行ijijij列式，称为元素aij 的式， Aij 为元素aij 的代数式.【概念理解点睛】i）运用展开定理降阶时，应先用性质化某行（或列）只剩一个非零元；ii）行列式某一行（或列）的元素乘另一行（或列）对应元素的代数式之和等于零，即4 数学课堂系列线性代数nåaik Ajk = ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + ain Ajn= 0(i ¹ j) .k =1320502- 73420- 20202【例 1.4】 设行列式 D =则第 4 行元素式之和的值为.【例 1.5】蒙行列式1111xn323V

9、 =)nj1£ j<i£nn-1 3xn-1nÕ (1£ j<i£n2 -3 -2 )(xn - xn-1) .1 )(这里43【例1.6】计算行列式 D5 =之值.【运用点睛】计算行列式的（1）用定义；（2）三角形法，利用性质，将行列式化为较简单或容易计算的行列式(如上、下三角行列式)；（3）降阶展开法，即利用性质将某行(或列)的元素尽可能多的化为零，然后按该行(或列)展开，将n 阶行列式计算化为n -1阶行列式的计算；（4）蒙行列式；（5）递推法，是在降阶中找出高阶行列式 Dn 与低阶行列式 Dr （ r < n ，通常是

10、r = n -1 ）的，即递推公式，利用递推公式递推求得 Dn ；（6）特征值法；（7）分块法.四、法则1 引例法则n 个未知量n 个方程的线性方程组，在系数行列式不等于零时的方程组解法52 数学课堂系列线性代数ìa11x1 + a12 x2 + a1n xn = b1ïax + a x + a x = b定理 设线性非齐次方程组ï(I) 或简记为21 122 22n n2íïïîan1 x1 + an 2 x2 + ann xn = bna1121a12a1nnåaij xj j=1aaa= bi ,i = 1,

11、 2, n ，其系数行列式 D =¹ 0 ，则方程组(I) 有唯222nan1an 2ann一解 x = Dj , j = 1, 2, n ，其中 D 是用常数项b ,b ,b 替换 D 中第 j 列所成的行列式，jj1 2nDa11 a21a1 j -1a2 j -1b1 b2a1 j +1a2 j +1a1n a2n即 Dj =.an1anj -1bnanj +1ann【概念理解点睛】（1）若非齐次方程组无解，则 D = 0 ；n（2）若齐次线性方程组åaij xj = 0(i = 1, 2,j=1, n) 的系数行列式 D =¹ 0 ，则方程组只aij有零解

12、 xj = 0, j = 1, 2, n 。(此时 Dj = 0, j = 1, 2, n )；（3）若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式 D = 0 。aij3 = 6ìï【例 1.7】 求解下列三元线性方程组= 5 .= -2í3ïî3 + ax4 = 03ìï+ x = 0ï34【例 1.8】齐次线性方程组í， a, b 必须满足什么条件？有非零3+ x = 0ï34ïx+ x + ax + bx = 0î 1234重要公式与结论1、行列式按行、按列展开法则6 数学课

13、堂系列线性代数a11 a21a12 a22a1n a2n定理 1 n 阶行列式 D =等于它的（列）的各元素与其对应的代数余an1an2ann子式乘积之和，即： D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ain Ain(i = 1, 2n)( j = 1, 2D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + anj Anjn)a11 a21a12 a22a1n a2n定理 2 n 阶行列式 D =an1an2ann某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数式乘积之和等于零，即ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + ain Ajn= 0 ，i ¹ ja1i A

14、1 j + a2i A2 j + ani Anj= 0 ，i ¹ j2 计算行列式时的基本公式（1）上（下）三角行列式æ a11ö÷*ça设 A = ç÷, 则A = a aa .22ççè÷11 22nn÷ann ø（2）副对角线行列式æça1n ö*÷n(n-1) 2a设 A = ç÷, 则2n-1A = (-1)a aa .ç÷÷ø1n 2n-1n1ç

15、 aè n1（3）拉斯公式A*O B*BA O* BOBA =AO=| A | B |= (-1)mn | A | B |*（4）蒙行列式11L1n2nLn-1 n= Õ(x j - xi )1£i< j£nD =LL3、方阵行列式的重要公式1A n-1 ；（A-1（1） kA = k nAB =A*=A ；（2）A B ；（3）4）；7 数学课堂系列线性代数（5） | A |= l1l2ln ，其中l1, l2 , ln 是 n 阶方阵 A 的特征值；（6） A B 则| A |=| B | .基础题型【题型 1】与行列式的性质相关题思路与：定义

16、与性质【例 1】填空（1）在 5 阶行列式中，项a12a31a54a43a25 的符号应取 （2）4 阶行列式中，带负号且包含因子a23 与a31 的 xx x 3112x20（3）在函数 f (x) = 13中， x3 的系数是 22x1【题型 2】数值型行列式的计算思路与：（1）定义法；（2）三角形法；（3）降阶法；（4）其他公式法。a100b100b4a2 b3 0b2 a3 000a4【例 2】四阶行列式的值等于 （）(A) a1a2a3a4 - b1b2b3b4(B) a1a2a3a4 + b1b2b3b4(D) (a2a3 - b2b3 )(a1a4 - b1b4 )(C) (a1

17、a2 - b1b2 )(a3a4 - b3b4 )a1 + x-x00a2 x-x0a30x-xa400x=【例 3】【题型 3】行列式的式或代数式线性组合的计算思路与：（1）定义法；（2）逆用行列式按行（列）展开定理2【例 4】已知 D =，求 A13 + A23 + A43-1 1528 数学课堂系列线性代数【题型 4】含l 的行列式的计算思路与：（1）行和相等加列；列和相等加行；（2）找零【例 5】求下列方程的根l - 2-2 2l - 3-2-2-2l - 3-2-2-2l - 32l - 2222l - 2= 0 ；（= 0（1）2）题型1、数字型行列式的计算- 2- 2- 5- 7

18、（C）3x - 32x - 3 为 f (x) ，则方程 f (x) = 0 的根的个数为【例 1】记行列式 23x - 54x - 334（A）1（B）2（D）45147263-1 3-2171 x3 - 3x，则 f ¢(x) = 0 的实根的个数为【例 2】设 f (x) =（）3（A）0（B）1（C）2（D）32、抽象型行列式的计算【例 3】设 A = (a,g 2 ,g3 ,g 4 ) ，且 B = (b,g 2 ,g3 ,g 4 ) ，其中a, b,g 2 ,g3 ,g 4 均为 4 维列且| A |= 4,| B |= 1，则| A + B |= ，【例 4】设a1 ,

19、a2 ,a3 均为 3 维列，记矩阵 A = (a1 ,a2 ,a3 ) ，B = (a 1 + a 2 + a 3 , a 1 + 2a 2 + 4a 3 , a 1 + 3a 2 + 9a 3 ) ，如果A = 1，那么 B=.æ 21200 ö【例 5】设 A = ç 10 ÷ ， B 满足 ABA* = 2BA* + E ，则 B= ç÷ç 01 ÷èøA = 3, B= 2 ，A-1 + B= 2 ，则A + B-1= 【例 6】已知 A, B 为三阶矩阵，且【例 7】已知 A, B

20、为三阶矩阵， l1 = 2, l2 = 3, l3 = -1为 A 的三个特征值，9 数学课堂系列线性代数æ 10320öB = ç 2÷ ，且 A2 + 2AB + A - B = E ，求| A2 + BA |1ç÷ç 1-2 ÷èø3、 n 阶行列式的计算a1 + x a1 a1a2 a2 + xa2a3 a3a3 + xan an an【例 8】计算： D =nan an + xa12a a2a2a312a a212a1【例 9】证明： D = (n +1)anna22a a212a10

21、 数学课堂系列线性代数第二讲矩阵内容矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算要求1理解矩阵的概念，了解矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵4理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握

22、用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的5了解分块矩阵及其运算基本概念、公式与精讲一、矩阵的定义1 引例2 定义数域 F 中 m ´ n 个数aij (i = 1, 2,m; j = 1, 2,n ) 排成m 行 n 列，并括以圆括弧(或方括弧)的数表æ a11a12a1n öç a÷2n ÷÷aaçç2122ç a÷mn øaaè m1m 2称为数域 F 上的m ´ n 矩阵，通常用大写字母记做 A 或 Am´n ，有时也记作A = (aij )m

23、80;n (i = 1, 2, m; j = 1, 2, n) ，其中 aij 称为矩阵 A 的第i 行第 j 列元素。 横排11 数学课堂系列线性代数为行，竖排为列.【概念理解点睛】矩阵和行列式是有本质区别的。行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，行数和列数一致。而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数也可以不同；3 同型矩阵与矩阵相等同型矩阵： 行数、列数都相同的矩阵.矩阵相等：如果两个矩阵 A = (aij )m´n 和 B = (bij )m´n 是同型矩阵，且各对应元素也相等，即= bij (i = 1, 2, m; j = 1, 2, n) ，就称 A

24、 和 B 相等，记作 A = B .aij4 几类特殊的矩阵：（1） 零矩阵 m ´ n 个元素（2） 只有一行的矩阵 A = (a11的矩阵称为零矩阵，记作0 .a1n ) 称为行矩阵，又称行a12。为避免元素间的，æ b1 öç b ÷) 。只有一列的矩阵 B = ç2 ÷ 称为列矩阵或列行矩阵也记作 A = (a, a , a.ç÷ç b ÷11121nè n ø当m = n 时，称 A 为n 阶矩阵(或n 阶方阵)（3）方阵.1的n 阶矩阵，称为n 阶矩阵

25、主对角元全为 1，其余元素矩阵 (简称阵)，记作 In 或 I 或 E .零数k ，其余元素的n 阶矩阵，称为n 阶数量矩阵，记2 数量矩阵 主对角元作 kIn 或kI 或 kE .对角矩阵 非主对角元皆为零的 n 阶矩阵称为 n 阶对角矩阵(简称对角阵)，记作L ，即3æ a1ö÷çaL = ç÷ ，或记作diag(a , a ,2, a ) .ççè÷12n÷an ø4 上（下）三角矩阵 n 阶矩阵 A = (aij )n´n ，当i > j 时， aij

26、 = 0( j = 1, 2,n - 1) 的矩阵称为上三角矩阵.下三角矩阵 当i < j 时， aij= 0( j = 2, 3, n) 的矩阵称为下三角矩阵.5 对称矩阵与12称矩阵 数学课堂系列线性代数6 正交矩阵 若 n 阶矩阵 A 满足 AT A = E ，则称 A 为 n 阶正交矩阵，这里 E 是n 阶阵.矩二、矩阵的运算1 矩阵的线性运算（1）加法 设 A = (a ) 和 B = (b ) Î F m´n ，规定ijijæ a11 + b11a12 + b12a1n + b1nöç a÷+ ba+ ba+ bA

27、+ B = (a + b ) = ç2n2n ÷÷21212222çijijç a÷+ ba+ ba+ bè m1m1mnmn øm2m2并称 A + B 为 A 与 B 之和.（2）矩阵的数量乘法(简称数乘)：设k 是数域 F 中的任意一个数， A = (a) Î F m´n ，规定ijæ ka11ka1n öka12ç ka÷2n ÷÷kakakA = (ka ) = ç2122çijç ka÷

28、;mn økakaèm1m2并称这个矩阵为k 与 A 的数量乘积.【概念理解点睛】线性运算规律与数的加和乘运算规律一致i) kA = 0 Û k = 0 或 A = 0 ；ii）数乘矩阵满换律、结合律与分配率阵的线性运算.2 矩阵的乘法设 A 是一个m ´ n 矩阵， B 是一个n ´ s 矩阵，即æ a11a12a1n öæ b11b1222b1s öç a÷ç b÷aabbA = ç2n ÷ , B = ç2 s ÷

29、47;212221ç÷÷mn øçç aç b÷aabbè m1è n1ns øm2n 2则 A 与 B 之乘积 AB (记作C = (cij ) )是一个m ´ s 矩阵，且n+ ainbnj = å aikbkjk =1cij = ai1b1 j + ai 2b2 j +即矩阵C = AB 的第i 行第 j 列元素cij 是 A 的第i 行 n 个元素与 B 的第j 列相应的 n 个元素分别相乘的乘积之和.13 数学课堂系列线性代数【概念理解点睛】矩阵乘法运算规

30、律有别于数乘法的运算律i） 矩阵的乘法不满换律，即一般 AB ¹ BA ，可从 3 个方面来理解：1AB 可乘， BA 不一定可乘(例 1)2AB 和 BA乘，但不一定是同型矩阵(例 2)3AB 和 BA 为同型矩阵(此时， A, B 必为同阶方阵)，也不一定相等ii） 矩阵乘法不满足消去律，即 A ¹ 0 时，由 AB = AC ，不能推出 B = C ， 由 AB = 0 ，不能推出 A = 0 或 B = 0 .iii） Am´n En = Em Am´n = Am´næ b1 öç b ÷B =

31、ç2 ÷ ，计算 AB【例 2.1】 设 A, B 分别是1´ n 和n ´1矩阵，且 A = (a , a) ，, aç÷ç b ÷12nè n ø和 BA .【例 2.2】用矩阵表示一般的方程组ìa11x1 + a12 x2 + a1n xn = b1ïax + a x + a x = bï21 122 22n n2íïïîam1 x1 + am2 x2 +3 方阵的幂+ amn xn = bm（1）乘幂设 A 是n 阶矩

32、阵， k 个 A 的连乘积称为 A 的k 次幂，记作 Ak ，即 Ak= AAk个AA ，规定 A0 = E 。（2）方阵的多项式设 f (x) = a xk + axk -1 + a x + a 是 x 的 k次 多 项 式 ，是 nA阶 矩 阵 ， 则k -1k10f ( A) = a Ak + aAk -1 + a A + a E ，称为矩阵 A 的 k 次多项式(注意常数项应变为k -1k10 na0 En ).【概念理解点睛】i）只有方阵才有幂；14 数学课堂系列线性代数ii）当m, k 为正整数时，有 Am Ak = Am+k ， (Am )k = Amk ，但(AB)k 

33、5; Ak Bk ；iii）方阵 A 的多项式可因式分解， A2 - E = (A + E)(A - E) = (A - E)(A + E) ，(A + E)2 = A2 + 2A + E .【例 2.3】求例 1 中的( AB)m , ( BA)m4 矩阵的转置æ a11a1n öa12ç a÷2n ÷ 的行列互换得到的一个n ´ m 矩阵，÷aa(1)定义 把一个m ´ n 矩阵 A = ç2122çç a÷mn øaaè m1m 2æ a1

34、1a2122am1 öç a÷aa= çm2 ÷ .称之为 A 的转置矩阵，记作 AT 或 A¢，即 AT12ç÷ç a÷aaè 1nmn ø2n（2）性质矩阵的转置也是一种运算，满足运算律：1 (AT )T = A; (A + B)T = AT + BT ; (kA)T = kAT (k 为任意实数)2 (AB)T = BT AT .3 (aA + bB)T = aAT + bBT ;5 方阵的行列式·由n 阶方阵 A 的元素所A的行列式(各元素的位置不变)，称为

35、方阵 A 的行列式，记作或det A .·运算性质=kA = kn=1AT2AABABA3【运用点睛】A k , k 为自然数；=Aki）A ± B¹A ± B ；ii）（3）若 A = 0 ，则A = 0 ；若A = 0 Þ/A = 0 .15 数学课堂系列线性代数æ a11a1222a1n öæ A11A2122An1 öç a÷ç A÷aaAA【例 2.4】设 A = ç2n ÷ , A* = çn2 ÷ ，其中 A 是

36、行列式2112Aç÷ç÷ijç a÷ç A÷aaAAè n1nn øè 1nnn øn22n中元素a 的代数式。证明： AA* = A* A =A E.ijnæ 20 ö1【例 2.5】 设 A = ç 120 ÷ ，矩阵 B 满足 ABA* = 2BA* + E ，则= Bç÷ç 01 ÷0èø三、逆矩阵1 引例2 可逆矩阵的定义对于n 阶方阵 A ，如果n 阶方阵 B ，使

37、得 AB = BA = E ，就称 A 为可逆阵(简称 A可逆)，并称 B 是 A 的逆矩阵，记作 A-1 ，即 A-1 = B【概念理解点睛】也可以说， A 是 B 的逆矩阵；i）只有方阵才有逆，可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵。ii）若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.iii矩阵的逆矩阵是其自身，可逆对角矩阵的逆是主对角元素都取倒数的对角阵；3 矩阵可逆的条件A ¹ 0 。定理 矩阵 A 可逆的充要条件是【概念理解点睛】1i）求逆公式 A-1 =A* .1A-1=ii）；推论 若 A, B 都是n 阶矩阵，且 AB = E ，则 BA =E ，即 A, B 皆可逆，且 A,

38、 B 互为逆矩阵.4 可逆矩阵的性质设同阶方阵 A, B 皆可逆，数k ¹ 0(1) 若 A 可逆，则 A-1 亦可逆，且( A-1)-1 = A ；16 数学课堂系列线性代数(2) 若 A 可逆，数k ¹ 0 ，则kA 亦可逆，且(kA)-1 = 1 A-1 ( k 为非零常数)；k(3) 若 A, B 为同阶矩阵且均可逆，则 AB 亦可逆，且(AB)-1 = B-1A-1 ,推广：()-1( A AA )-1 = A -1A-1AA； A= ( A ) ；-1 -1-1 nnss-11 2s21(4) 若 A 可逆，则 AT 亦可逆，且(AT )-1 = ( A-1)T

39、 ；A -1 .A-1=(5)矩阵，则( A - E )-1 .【例 2.6】 设矩阵 A 满足 A2 + A - 4E = 0 ,其中 E 为æö10121【例 2.7】设 A = ç 2÷()-10, 求 E - A.ç÷ç -3-5 ÷è四、分块矩阵ø定义 把一个大型矩阵分成若干小块一个分块矩阵，这是矩阵运算中的一个重要技巧，它可以把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算，使运算更为简明.例：把一个 5 阶矩阵-1öæ 212120-3ç 10 ÷&#

40、231;ç÷÷A = ç 00 ÷000100010çç 0÷0 ÷ç 0÷1è用水平和垂直的虚线分成 4 块，如果记øæ 1ö÷÷-1öæ 21 öæ 10-3æ 00 ö= çA =， A =， O =， I11ç 12 ÷2ç 20 ÷ç 00 ÷ç3èø

41、2;øèøç1÷èø就可以把 A 看上面 4 个小矩阵所组成，写成 A = æ A1öA2，并称它是 A 的一个2´ 2 分ç O÷Iè3 ø块矩阵，其中的每一个小矩阵称为 A 的一个子块.把一个m ´ n 矩阵 A ，在行的方向分成s 块，在列的方向分成t 块，称为 A 的 s ´ t 分块矩阵，记作 A = (Akl )s´t ，其中 Akl (k =1, 2,的小矩阵., s;l =1, 2,t) 称为 A 的子块，它们

42、可以是各种类型17 数学课堂系列线性代数1 分块矩阵的运算（1）分块矩阵的加法A = (Akl )s´t , B = (Bkl )s´t ，则 A + B = (Akl + Bkl )s´tA, B 的行数相同，列数相同，采用相同的分块法.要求：（2）分块矩阵的数量乘法设分块矩阵 A = (Akl )s´t , l 是一个数，则l A = (l Akl )s´t要求：无.（3）分块矩阵的乘法设 Am´n , Bn´ p ，如果 A 分块为 r ´ s 分块矩阵(Akl )r´s , B 分块为 s

43、80; t 分块矩阵(Bkl )s´t ，æ B11B12B1t öj1行j 列ç÷j 列j 列ç÷12A1222sA1s öç B21B2t ÷ j2行æ A11B22÷ç÷÷÷÷÷则 AB = ç A= C记作(C )AAç ç÷kl r´t212s÷ç÷ççç AAAøçè

44、 r1r 2rsç BB ÷ j 行Bè s1st øs 2ss其中C 是 r ´ t 分块矩阵，且Ckl = å Aki Bil , (k = 1, 2,i=1, r;l = 1, 2, t) .要求： A 的列的分块法和 B 的行的分块法完全相同.（4）分块矩阵的转置分块矩阵 A = (A )的转置矩阵为 AT = (B )，其中kl s´tlk t´sB = AT ,l = 1, 2, t; k = 1, 2, slkkl要求：不仅要行(块)与列(块)互换，而且每一子块也要转置.（5）分块对角阵的行列式与可逆

45、分块矩阵的逆矩阵æ A1ö÷çA对角块矩阵(准对角矩阵) A = ç÷ ，其中 A , i = 1,2,m 为方阵，则ççè÷j÷Am øA =¹ 0.i = 1, 2,A1A2AmAi,m，且，因此，对角块矩阵 A 可逆的充要条件为18 数学课堂系列线性代数æ A-1ö÷1çççA-1÷ .A=-12÷ç÷-1Aè2 两种常用的分块法m ø

46、30; b1 öç b ÷按行分块按列分块ç2 ÷(b)B 是m ´ n 矩阵， B=bbç÷ç b ÷12nè m ø【运用点睛】i） m ´ n 矩阵既可看成是由m 个 n 维行之亦然；组成，也可看成是由 n 个m 维列组成；反ii）线性方程组的形式：æ x1 öæ b1 öç x ÷ç b ÷) ç 2 ÷ = ç2 ÷ Û bAx

47、 = b Û (b , b, b= b,m´nç÷ç÷ç b ÷12n1nç x ÷è n øè n øæ x1 öç÷ç÷若b = 0 ， Am´nn = 0 .ç x ÷è n øæ 503200011000004-10 öç 00 ÷ç【例 2.8】 设 A = ç 0÷0

48、 ÷ ，求A , A-1 .ç 02 ÷ç÷ç 00 ÷èø五、矩阵的初等变换和初等矩阵1 初等变换的定义用消元法解线性方程组，其消元步骤是对增广矩阵进行 3 类行变换，推广到一般，即kri 或 kci , k ¹ 0 ；(1)(2) ri + krj 或ci + kcj ；(3) ri « rj , ci « cj .19 数学课堂系列线性代数【概念理解点睛】i）用初等变换求解线性方程组时，只能用行变换；ii）初等变换均可逆；iii）方程组的初等变换保解，矩阵的初等变换保秩

49、.2 初等矩阵（1）定义 将矩阵做一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。初等倍乘矩阵 Ei (c) = diag(1,( c ¹ 0 )而得到的；,1, c,1,1) ， Ei (c) 是由矩阵第 i 行( 或列) 乘 cæ 1ççççö÷÷÷ i行÷÷1Eij (c) = ççççç初等倍加矩阵÷ j行c1÷÷1÷èøEij (c) 是由矩阵第i 行乘c 加到第 j

50、行而得到的，或由第 j 列乘c 加到第i 列而得到的；æ 1çççççö÷÷÷ i行÷÷÷÷÷011= ç初等对换矩阵Eijççççç1÷ j行10÷÷ç1÷èøEij 是由矩阵第i, j 行(或列)对换而得到的.（2）初等矩阵的作用对 A 实施一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵æ a如：1

51、1a1222aöæ aa2212a23 ö13®21ç a÷ç a÷aaaaè 2123 øè 1113 ø20 数学课堂系列线性代数æ a11öæ aa23 öa1222aa221213=21Eç÷ç a÷12aaaaaè 2123 øè 1113 øEi (c) A 表示 A 的第i 行乘c ， Eij (c) A 表示 A 的第i 行乘c 加至第 j

52、行， Eij A第i 行与第 j 行对换位置.表示 A 的【运用点睛】i）“行左列右”；ii）用最后一种初等矩阵要注意，在左边和右变的意义；（3）初等矩阵的性质E T (c) = E (c) , E T (c) = E (c) ， E T = E ；iiijjiijij1E(c) = E ( ) ,-1E -1(c) = E (-c) ， E -1 = E ；iiijijijijc1E (c) = E (-c) , E* = -EE (c) = cE ( )*,；iiijijijijc4 矩阵的等价可逆阵 P，Q，使得 PAQ = B .则称A 与B 等价，记作 A B .定义【概念理解点睛】

53、i）矩阵的等价满足“三性”反身性: A A；对称性:若 A B ,则 B A；传递性:若 A B , B C ,则 A C . ii） 同型矩阵 A 与 B 等价Û r( A) = r(B)iii）若 A 可逆，则 A E .5 利用初等变换求逆矩阵如果对可逆矩阵 A 和同阶阵 E 做同样的初等行变换，那么当 A 变为阵时， E 就变为 A-1 ，即( A, E)初等行变换(E, A-1) .21 数学课堂系列线性代数-1-11-2æ 2112 ö÷÷ 为阶梯形与行最【例 2.9】化.÷9 ÷-ø重要理论、公式与结

54、论1、转置矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵的公式(AT )T = A (A + B)T = AT + BT (l A)T = lAT(AB)T = BT AT(kA) -1 = 1 A-1 (k ¹ 0)k(A-1)-1 = A(AB)-1 = B-1 A-1(A* )* =A n-2 A （ A 为任 n 阶矩阵， n ³ 2 ）(AB)* = B* A*(A + B)-1 ¹ A-1 + B-1(kA)* = k n-1 A*AA* = A* A =AEn, 若秩A = nìï设 A 是n 阶矩阵(n ³ 2) ，则 秩A = 1, 若秩A = n -1*íï0, 若秩A < n -1î2、矩阵可逆的充要条件n 阶方阵矩阵