十年国高中数学联赛试题一试解析几何含解析

1、十年全国高中数学联赛试题试解析几何圆锥曲线部分解答题22000、已知 C0: x2+y2=1 和 C: x2 a2b2 1（3>1）> 0）。试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C上任意一点P,均存在以P为项点，与C0外切，与C内接的平行四边形？并证 明你的结论2002.已知点A（0, 2）和抛物线y2=x + 4上两点B, C,使得AB，BC求点C的纵坐标 的取值范围.2006.给定整数n 2,设M 0（X0，y0）是抛物线y2 nx 1与直线y x的一个交点.试证明对于任意正整数 m,必存在整数k 2,使（x0m，y0m）为抛物线y2 kx 1与直 线y x的一个交点.200

2、8.如图，P是抛物线y2 2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x 1）2 y2 1内切于PBC , 求PBC面积的最小值.2000.答案：所求条件为 4 + 4=1. a2 b2证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心 假设论成立，则对点（a, 0 ）,有（a, 0 ）为项点的菱形与C内接，与Co外切.（a, 0 ） 的相对顶点为（-a, 0 ）,由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在y轴上， 为（0, b） 和（0, -b）. 菱形一条边的方程为-+2 =1,即bx+ay=ab.由于菱形与Co外a b切，故必有 ab=1,整理得工+ ；=1.必要性得证.a2 b

3、2a b充分性：设4 + 4=1,P是C上任意一点，过P、O作C的弦PR再过O作与PR垂直的 a2 b2弦Q&则PQR的与G内接菱形.设OP =, OQ =2,则点。的坐标为（ncos , nsin ）,点Q的坐标为（r 2cos（ +）,r 2sin（+&）,代入椭圆方程，得22rcos |r1 sin =12,2=1，ab222r cos（ 一） r sin（2 +b2工,于是,。+Ok=R2/2.2i / cos sin 2=( )+R2 a bcos2() sin2(L+b2.±+1=i2.21 .a b又在RtAPOCQ,设点O到PQ的距离为h,则1h OP

4、y+=i,故得 h=i2 OQ2同理，点O到QR RS,SP的距离也为1,故菱形PQRSt G外切.充分性得证.注对于给出a2 b2 a2b2 ,12ab 2 =i等条件者,应同样给分.,a2 b22002.解：设 Ry。2 4y。)，ay' 4, yi).则y。一 21Kabf_2= z.y。一 4 丫。+2yL y。1BG-y2- y。yi+y。由 Kab , Kbcf一 i,得(yi+yo)( yo+2) = i.2y。+(yi+2)y0+(2yi+i)=。.22=(yi+2) 4(2yi+1) =yi 4yi)。,当yi=。时，得及一3, i),当yi=4时，得R5, 3)均满

5、足要求，故点 C的纵 坐标的取值范围是(一X,。4, +oo).x轴于D,交y轴于BC上，满足变 2,FC 2求点P的轨迹方程.2。5.过抛物线y X2上的一点A (i,i)作抛物线的切线，分别交B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足 空点F在线段EC i且i 2 i ,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，解一：过抛物线上点A的切线斜率为:y 2x|xi 2,切线AB的方程为y 2x 1. B、设 P(x,y)、D的坐标为B(0, 1),D(1,0), D是线段AB的中点.一 ,2AE 3C(x0,x。)、E(x1,y1)、F(x2,y2),则由 1知,EC11x0x1

6、7;1121x0BEFC2,得 乂22x0)22EF所在直线方程为:1122x021 x021x02 x012111X1x011x0化简得(21 )x0(12)y (1)x2 3x 1 x0.22 x0 .10分当x0直线CD的方程为:2x2x x22x0 1联立、x解得yx 132 x33消去x°,得P点轨迹方程为:y 3(3x 1)2.15当x01时，EF方程为:3/11-32y(Z 2 Z 1 3)x 22,CD方程为：xT，联x立解得y1,2 也在P点轨迹上.因C与A不能重合，1.12xo1,.二所求轨迹方程为1 o 2.y -(3x 1)2(x 2).3320分解二：由解一

7、知,AB的方程为y 2x 1,B(0,11),D(2,0)，故D是AB的中点.CD CA, t1CP CE1，t2CBCF12,则 L t23.因为CD为ABC的中线,t1t2CE CFCA CBS CEFS CABCEP2 s CAD-S-CF1(2S CBD 2 t_±)t1t2t22t1t2ABC的重心.10分设P(x,y),C(x0,x2)，因点C异于A,则x0 1,故重心P的坐标为C /2201 x01x0211x0x0 、/二 十 ,日 12x - -,(x -), y 丁，洎去 xO,倚 y 二(3x 1).33333320故所求轨迹方程为y -(3x 1)2(x -)

8、.332006.【证明】因为y2nx 1与y x的交点为x0y显然有x0 n。（5分）x0若（x0m,y0m）为抛物线y2 kx 1与直线y x的一个交点，则k x°m 义. x。（10分）m 11记 kmx0m ,人km1km（x0） km 1 nkmkm 1 ,（m2）xx0（13.1 ）由于k1 n是整数，k2 x02工（x0 -）2 2 n2 2也是整数，所以根据数学归纳法, x0x0通过（13.1 ）式可证明对于一切正整数m , km x0m 工是正整数.现在对于任意正x0整数m ,取k x0mm ,使得y2 kx 1与y x的交点为（x0m,y0m）.x0（20 分）2008.解设 P（x0,y0）,B（0, b）,C（0,c）,不妨设 b c .x0直线PB的方程：y b 9x,化简得(y0 b)X X°y Xcb 0 .又圆心（1,0）到PB的距离为1,故(y° b)2易知X0同理有(Xo所以(by0 b 就 1 ,(y0 b)2 X22_2 2X0(y0 b)2X0b(y0 b) X°b ,上式化简得22)c 2y0c2 yOX0 2(b c)2X0(X0bc4X2X0222)b2y0b X0 0 ,，2-4