全国高中数学联赛模拟试题

1、2017年全国高中数学联赛模拟试题 04第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1 . 集合A= x, y将B = 1, log3（x+ 2）恰有一个公共元为正数1+ x ,则 AUB= .2 .若函数f （x ） = loga，ax2 -x +| j在区间1,2 上递增，则a的取值范围是.3 .已知0 W P Mot父：，且tanct =3tan P ,则u = 口 -P的最大值为.4 .在单调递增数列小中， 已知 a= 2,a2= 4,且 a2n，a2n,a2n中成等差数列，a2n ,a2n书，a2n书成等比数列，n =1,2,3,

2、III.那么，4。=.5 .已知点P（1,2,5）是空间直角坐标系O-xyz内一定点，过P作一平面与三坐标轴的正半轴分 别交于A, B,C三点，则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为 .316 .在 MBC 中，角 A, B,C 的对边为 a,b,c , a=5, b =4 ,又知 cos（A B）=,32则MBC的面积为.7 .已知过两抛物线C1 : x+1 =（y-1）2 , C2: （y-1）2 =Mx+a+1的交点的各自的切线互相垂直， 则实数a的值为.8 .若整数a,b既不互质，又不存在整除关系，则称 a,b是一个“联盟”数对；设 A是集 M =1,2力| ,2014的n元子集，

3、且A中任两数皆是“联盟”数对，则n的最大值 为.二、解答题：本大题共3小题，共56分.a5 39 .（本小题满分16分）设数列an满足a =1,an4f=,n21 .求证：2K2n（1）当n之2时，an严格单调递减.（2）当n1时，|%书-73|=2点 ,这里r=2-73.1 - r2210 .（本小题满分20分）设椭圆 匕+'= 1（a > b > 0）与抛物线x2 = 2py（p > 0）有一个共同 a b的焦点F , PQ为它们的一条公切线，P、Q为切点，证明：PF -LQF .11 .（本小题满分20分）求证：（1）方程x3-x-1=0恰有一个实根0 ,并且与

4、是无理数； （2）8不是任何整数系数二次方程ax2+bx+c = 0 （a,b, cW Z,a # 0）的根.2017年全国高中数学联赛模拟试题 04加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，在锐角 MBC中，AB >AC,D、E分别是边AB、AC的 中点，MDE的外接圆与ABCE的外接圆交于点P （异于点E ）, 厩 的外接圆与 BCD的外接圆交于点Q （异于点D ）。求证：AP = AQ .二、（本小题满分40分）p-1求所有素数p ,使得p2 ? k2p+1k=1三、(本小题满分50分)设n是一个正整数，a1,a2,川,an,bi,b2,|H，b

5、n,C2,C3，H|,C2n是4n 1个正实数，使得 2G书 >abj ,1 <1, j <n .m C2 C3 TH c2n 2, a2 .川, an、/bi , b2 , HI , bn令 m = maxG, 证明：(-)>(-)(-).2i-2n2nnn四、(本小题满分50分)n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定胜者得 1分，负者得0分，平局各 得0.5分.如果赛后发现任何 m个棋手中都有一个棋手胜了其余 m- 1个棋手，也有一个棋 手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质 P(m).对给定的m (m>4),求n的最小 值f(，使得对具有性质p

6、(叫的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.2017年全国高中数学联赛模拟试题 04第一试参考解答一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1 .集合A= x, y打B = 1,log3(x+ 2)恰有一个公共元为正数1+ x ,则 AUB= .解：由于 1+ x?x,故 1+x=y.由 g(3q+1 ?知 x11,又因为 1+ x> 0，所以 31+x> e1+x> x+ 2 即 10g3(x+ 2)< 1+ x 故只能是 y= 1+ x= 1,这样 A=0, 1, B= 1, logs2,得 AU B = 0g232 .若函数f (x ) = loga

7、l'ax2-x+| j在区间1,2 上递增，则a的取值范围是.0 <a <1,1解：（i）当0<a<1时，只需彳一22,2a1 人4a > 0.工 2一11.解得<aW. （ii）当a>1时，只需，84a 1, 1一W1,，2a1a 0.2解彳导a 1.综上，a的取值范围是-,1 1U(1 +w'8'4'3T3 .已知0工P £二父,且tan。=3tan P ,则u = -P的最大值为.解：因为 0 W P WU <土，tana =3tan P ,所以 0Wu - P < , tan（。"

8、的":=tanP .221 - tan " P itan 1所以tan1二2tan :1 3tan”2也tan，3'JTu的最大值为a2n , a2n+，4 .在单调递增数列4中，已知a=2, a2=4,且a2n_1 , a?n , a2n书成等差数列,a2n七成等比数歹I,n =1,2,3,|.那么，为。=.解：因为Q单调递增，a1>0,所以an0 .因为a2n=，a2n,a2n十成等差数列，a2n,a2n书，a2n七成等比数列，所以Fn+a" =2a；因为a2n = a2n'a2n由=aa2n ' Ja2n 'a2n七,

9、a2n a2n 2 = a2n 122 所以历=n+1, a2n=(n+lj, a =512 = 2601.所以a2na2n -2； a2n 2，数歹J 瓦？)是等差数列.易得a3 =6 , a4 =9，所以4a -702 = 1.5 .已知点P(1,2,5)是空间直角坐标系Oxyz内一定点，过P作一平面与三坐标轴的正半轴分 别交于A, B,C三点，则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为 .解：设此平面的方程为平面ABC内，、，1 .Voabc =abc 至45 .6+-=1 , a,b,c>0分别是该平面在x,y,z轴上的截距，又点P a b c125故 一 二1a b c,12

10、5 1AH 125由于 1= + >3 a b c12 511 0一，一，一, 即之，a b c27 abc当,即(a,b,c)=(3,6,15)时，V°abc 的最小值为 45.a b c 36 .在 MBC 中，角 A, B,C 的对边为 a,b,c , a=5, b =4 ,又知 cos(A B)=二，32则MBC的面积为.解法 1：由等比定理 一a-=-b- = _ab一=一ab一 得 9(sinAsinB)=1(sinA+sin B), sin A sin B sin A sin B sin A - sin BA-B A B故 18sincos22c . A B A-

11、B= 2sincos22A B即 tan2A-B=9tan2. 2 A-B1 -tan 因为cos(A -B) =,又根据a >b知A a B ,所以1 tan2 -tanA-B 7221,A B 3 7tan=2,于是tanC2,A B 7=cot=3 7sinC =,8c 115, 7S = - absinC =24解法2:定理得,o o313AB =J42 +52 -2 4 5 =-,进一步有 cosA=cos/CAB = 32 2CA2+AB2BC292CA A1B16，在边AB内取点A,使CA=CA=4,则/ACB =/CAA-NABC=A B .由条件及余弦(-4x)常而，故

12、两条曲线在点A处的斜率分别为与-2,它们垂直当且仅当2身-1 ,解得 a=0 .mu93f9 ： 5/7 11150因止匕 c =AA( +A|B =2 4 + = 6, h；=4,|1 ! 二,所以 S = ch；=.162164247 .已知过两抛物线G : x+1 =(y-1)2 , C2： (y-1)2 =Yx+a+1的交点的各自的切线互相垂直， 则实数a的值为.解：联立曲线G,。2的方程，求得交点坐标为(之1±百)，由对称性，不妨只考虑交点55A(a, 1+Ja=)处切线是否垂直：在点A局部，C1,C2所对应的解析式分别为G：y=1+G,55C2: y = jYx +a +

13、1 +1 .对C1求导得y=/'对C2求导得y=8 .若整数a,b既不互质，又不存在整除关系，则称 a,b是一个“联盟”数对；设 A是集 M =1,2川，2014的n元子集，且A中任两数皆是“联盟”数对，则n的最大值为.解：称这种子集A为“联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有504个元素.为 此，取A =12k k =504,505,111,1007,以下证，504就是n的最大值.今设A是元素个数最多的一个联盟子集，A = g,a2,|H，an,若aj是集A中的最小数，显然aj >1 ,如果aj <1007 , 则得2aj <2014 ,即2aj w M

14、 ,显然2aj正A ,（因2aj与aj有整除关系）.今在A中用2aj替代 aj,其它元素不变，成为子集 A,则A，仍然是联盟子集，这是由于对于 A中异于aj的任一 元素ai ,因aj与aj不互质，故2aj与aj也不互质；再说明2aj与aj没有整除关系：因aj ?ai , 则2aj ；又若aj 2可，设2aj =k& ,（显然k#1,2 ,否M 2问有整除关系），则k > 2 ,于 是ai <aj ,这与aj的最小性矛盾！因此A'仍然是联盟子集，并且仍是n元集；重复以上做法， 直至子集 中的元 素皆大于1007为止，于是 得到n元联盟子 集8=匕,必|0,其中1 00

15、7* E 2014 即 B£ 1008,1009 12014,续正整数中至多能取到504个互不相邻的数，即 大值即为504.二、解答题：本大题共3小题，共56分.因任两个相邻整数必互质，故在这1007个连 n < 504.又据前面所述的构造可知，n的最25分小，北1.求证:24当n之2时，由均值不等式得,an曳二3之J3,又因为an均为有理数，故当n之2时anJ3从而an 1 -an*an2一 an(2)由 an +2an a2 3 2an2an得 an 1 - 312分两式相除得an 1 - - 3i an解得an 1 = 31 r2n2n2an a3<0（n之2）,所

16、以当n之2时，an严格单调递减.a2 33(an -、3)2an2an,由此得an书一省=2n，其中r =an 132n,所以 |an+J3| = 2<3n1 - r 2216分a2 37 _ (an3)22an2an10.（本小题满分20分）设椭圆 匕=1（a > b > 0）与抛物线x2 = 2py（p > 0）有一个共同 a b的焦点F , PQ为它们的一条公切线，P、Q为切点，证明：PF -LQF .9 .（本小题满分16分）设数列an满足a =1启田=_2n（1）当n 22时，an严格单调递减.（2）当n主1时，间书-石|=2，3中，这里r =2-73 . 1

17、 - ra2 3斛：（1）由a1 =1启口书=,n1及归纳法易得an >0（n= N ），且an均为有理数2anXi,则抛物线切线方程为证：设Pa，% ）在抛物线上，Qd,y2）在椭圆上，焦点F%,E j2XX=p（y + y1 ）,椭圆切线方程为上J+*X = 1它们为同一直线， a b222. 2a b22=y1y2 = -a , x1x2 = 2b .a X2 _ b y2Pk22两曲线有相同焦点，二c =2Ppi jib2) ,代入上式解得2. 2.2 p 4bk 二 2p15分22p 4b2pp2 4b2 2a22p py2 二a22pa22 pa2p工 _ p2 +4b2 4

18、a2 -4b2 +4b2 2，222，yi+y2 =4a =",代入式，得，2p pkFPkFQ2b22.2.22a - b - b - a2b2设公切线PQ方程为y =kx+m ,代入抛物线方程并由A =0= m =旦-,"PQ: y = kx.2耳 x1 = pk与抛物线切线方程比较可得112 10分yi = - pk2将 公 切 线 方 程 代 入 椭 圆 方 程， 并 2. 4c 22, 2, 2 P k 2, 2, 2 2, 4,2,22 人0 =0= m =a +k b = =a +kb = p k -4b k -a =0,4- PF _LQF . 20 分11

19、.(本小题满分20分)求证：(1)方程x3-x-1=0恰有一个实根0 ,并且与是无理数;(2)8不是任何整数系数二次方程ax2+bx+c = 0 (a,b, cw Z,a # 0)的根.(厂、证明：(1)设 f(x) =x3 -x-1 ,则 f '(x) =3x2 -1. f(x)在 i -«,上单调递增，在I3 J匚在，在i上单调递减，在鱼,收 上单调递增，故i 3 3 jI3)极大(x) = f (争=323 -1 <0, f极小(x) = f g)=-嘉-K0-1.2再由f (1) = -1 <0, f(2) =5 >0知，方程x3 x-1=0恰有一个

20、实根假设m =,其中m,n是互素的正整数，则 m3 = n2(m + n),故n2 m3于是n = 1,即切=m是 n整数，这与0 w (1,2 )矛盾，由此得与是无理数 10分(2)假设。还满足a«2 +b0 +c = 0(a,b,L Z,a =0)，则又因为切3切-1=0，乘以0 减去乘以a得b2+(a+c户+a =0 ,将其乘以a减去乘以b得 (a2+ac-b2 睥+a2-bc =0 15分2由于。是无理数 a,b, cw Z,所以 a2 +ac b2 = a2 bc = 0 ,因为 a # 0 ,所以 bc# 0 , b = c3代入a2 +ac-b2 =0得、十亘-1 =0

21、从而=a这与6是无理数矛盾， c cc因此切不是任何整数系数二次方程ax2+bx+c = 0(a,b,cWZ,a=0)的根. 20分2017年全国高中数学联赛模拟试题 04加试参考答案、(本小题满分40分)如图，在锐角AABC中，AB >AC,D、E分别是边AB、AC的中点，MDE的外接圆与ABCE的外接圆交于点P (异于点E ), AAE的外接圆与BCD的外接圆交于点Q (异于点D )。求证：AP = AQ .证 J餐豳船河40旬Qi尸E、即，ZBPD = Z5匹斑及2+鹿-二kp ?以改 42PWJpk22i®学二地:建一 _机.1N, 2：3求和可知，遛k2p+1 鹤 p

22、k2 = p2?-(mod p2).k二k=124门,. 心 TP FE ,Mp-B；'J&A 1 时"*P疗 X 2D 3pLlc RD SUI 匚_1=p满足p2 ? k2p+15里型5.sin 2APD当p3 5时，p2 - 1 = (p + 1)(p- 1)必为3和8的倍数，故24p2- 1 -因此所求素数p是不切大于3的素数.个正实数，使得4n 102c3H卜(本，A嬲磔 50)万/。0跳 _ CQ-S CQ n二愚N也对飞舟 之曲，1 Mi, j <n .上92n-c2n)2 _(a1a2 IH an)(n b2 IH bn)QE nZQEC noA

23、DQ AP nAQ 命套荐证.证明：令x =mgxa,Y=moxb,分别用 =/*,4=耳/丫,0'=0/丫代替239,0,因此我1 ：i n1 :i n们可以假设X =丫 =1.下面我们证明m+c2 + |H+c2n之a1+| + an+b1+|+bn(*)故m+展+| 十 c2n .(“ +IH+an+U+IH+bn)由平均不等式即得所需结论.2n2 nn我们将证明Vr >0,(*)中左边大于r的项不少于右边，因此对每个k,左边第k大的项比右边 第k大的项大.这就证明了(*).若r至1 ,则(*)右边没有大于1的项；若r <1 ,令人=1 Ei、4才r a彳A 伯=4i

24、 En，b :H b = B因为X = Y = 1 ,所以a 和 b 至少是 1.又ai > r,bi > r , 故ci+ - J a> ib j r 以C =2 <i 旨2n |c >rn 版+ B = . A+ A B因为若A =i1,ia, B = j,一，jb, i<ia, j1< jb,则下面a + bT个数互不相同且属于A + B :1+j11 +j2,lll,i1 +%/+ jb,HI,ia十jb所以|C|之a+b1.当然|C>1.所以对某个k, Ck > r.所 以M r.所以在(*)中左边至少有a+b项大于k,而右边只有a+b项大于k.(*)得证. 四、(本小题满分50分)n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定胜者得 1分，负者得0分，平局各 得0.5分.如果赛后发现任何 m个棋手中都有一个棋手胜了其余 叫1个棋手，也有一个棋 手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质 P(m).对给定的m (m>4),求n的最小 值f (项，使得对具有性质P (项的任何赛况,都有所有n名棋手的得分各不相同.证： 先证明两个引理引理1当n