空间向量与立体几何单元测试题

1、空间向量与立体几何单元测试题姓名:学号：时间：120分钟 总分：100分空间向量与立体几何单元测试题第4页共8页一、选择题(本题共有10个小题，每小题4分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。)1 .下列各组向量中不平行的是()A. a =(1,2,-2),b =(-2,-4,4)B. c = (1,0,0), d =(-3,0,0)C. e =(2,3,0), f =(0,0,0)D. g =(-2,3,5),h =(16,24,40)2 .已知点A(-3,1,T),则点A关于x轴对称的点的坐标为()A. (-3,-1,4)B. (-3,

2、-1,-4)C. (3,1,4) D, (3,-1,-4)83,若向量a =(1,%2),b =(2,1,2),且a与b的夹角余弦为8 ,则九等于()92八21 . 2B. -2 C. -2 或花 D. 2 或-法4 .若 A (1,2,1), B (4,2,3), C(6,1,4),则 ABC 的形状是()A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形x的值等于()5 .若 A(x,5x,2x-1) , B(1,x +2,2 -x),当 AB 取最小值时,8A. 19 B. -78C. 一7D.19146 .空间四边形 OABC中，OB=OC, /AOB=/AOC=一,3贝U

3、 cos < OA, BC > 的值是()A. 1 B. -C. - 1 D. 02227 .在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若AB = a, AD1 =b , AA=c.则下列向量中与 BM相等的向量是()1 1 11 1 1, 1A. -a -b cb, -a -b c2 222图10 .把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角，点 A到BC的距离是()(A) a_ 76a(B) (C)逅 3(D)而a4题号12345678910答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中横线上。1 - 1C. a b+c2

4、28.在下列条件中，使 M与A、B、CA. OM =2OA -OB -OCc. mA+mb.+mC=01 - 11 bD. a _ _ b+c22定共面的是()11 - 1 -B. OM = OA+OB+OC532D. OM +OA + OB+OC =09.在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若AB= <2 BBn则AB1与CB所成的角的大小为()A. 60°B, 90°C. 105°D. 7511.若向量 a =(4,2,T),b =(6,3,2),则(2a 3b)|_(a+2b) =-. - ._ . _ 4 , -412 .已知向量 a = (2, -1

5、,3), b =(-4,2,x)，右 a _L b ,则 x =；右 a b 则 x =。13 .在正方体 ABCD A B1C1D1中，E为ABi的中点，则异面直线 DE和BG间的距离 .14 .在棱长为1的正方体 ABCD ABC1D1中，E、F分别是 AB1、CD的中点，求点B到截面 AEGF 的距离.15 .已知棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是AiBi的中点，求直线 AE与平面ABCiDi 所成角的正弦值.三、解答题(本大题4小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16 . (10分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 AEC1F所截面而得到的，

6、其中AB =4,BC =2,CCi =3,BE =1.(I)求BF的长；(n)求点C到平面AECiF的距离.解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0) , B(2,4,0)A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1)C(0,4,3)设 F(0,0, z). AECiF为平行四边形，二由AEC1F为平行四边形，二由AF =EO,(2,0,z) =(2,0,2),.z=2. F (0,0,2).EF=(-2T,2).于是| BF |=2,6,即BF的长为276.(II)设 称为平面AECiF的法向量，显然不垂直于平面ADF,故可设n1 = (x,y,1)上 n1 AE

7、 =0,由,n AF =0,07+4父丫+1=0即4y +1 =0,2x +2 =0,x = 1,1 y-4又CC1 =(0,0,3)，设CG与n1的夹角为a ,则CC1nl34.33cos =|CC1| |n1|311r 3316 C到平面AEC1F的距离为d T CC1 |cos 二34.33334、331117. (10分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点，求:(I) DE与平面BC1D所成角的大小；(n)二面角 DBC1C的大小；(出)异面直线 B1D1与BC1之间的距离._2xx+0My+2 =017.解：建立坐标系如图，则 A(2,0,0 )、B(

8、2,2,0 ), C(0,2,0 ),A (2,0,2 ), Bi (2,2,2 ), Di (0,0,2), E (2,1,0),ITDiE=(2,1, 卜 AB =(0,2,0 ) BBi =(0,0,2 )(I)不难证明 AiC为平面BCiD的法向量,cos空山iE二苴AC 际 一 9zDiE与平面BCiD所成的角的大小为-a rcc 03 (即arcsin43).299(n) AC、AB分别为平面BCiD、BCiC的法向量,ABAC.UAB 3AB面角DBCiC的大小为arccos，3 . 3(BiDi"平面BCiD,，BiDi与BCi之间的距离为dAC2/3ri8、( i0

9、分)在直三棱柱 ABC - ABiCi中，底面是等腰直角三角形， D, E分别是CCi ,与AiB的中点，点E在平面ABD上的射影是 与平面ABD所成角的正弦值；(2)求点A到平面ABD的距离./ACB =90 1侧 AA = 2 ,ABD的重心G , (i)求ABi8、解：建立如图的空间直角坐标系，设Ai(a,0,0),则 B(0,a,0) , A(a,0,2) , B(0, a,2) , C(0,0,2), D, E分别是CCi,与AB的中点，a a .、 一 . D(0,0,i), E(-,-,i), G 是 AABD 的重心,2 2a a 5-aa a 2G(a, a ,一),. EG

10、 =(一=，)，AB=(a,a,0), 3 3 36 63AD =(0,a,-1) , EG _L 平面 ABD, EG _L AB, EG _L AD,一.一 .一,6得a =2,且AB与平面ABD所成角ZEBG , | EG |=,3BE=1BA=B sin/EBG =曳=比，2BE 32.6(2) E是AB的中点，A1到平面ABD的距离等于E到平面ABD的距离的两倍, EG，平面ABD , A1到平面ABD的距离等于2| EG |=319. (10分)已知四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形,AB/DC , /DAB =90 ： PA _L底面 ABCD ,且_1PA=AD=DC=, A

11、B=1, M 是 PB 的中点。(i)(n)(m)证明:2证明：面PAD，面PCD;求AC与PB所成的角的余弦值；求面 AMC与面BMC所成二面角的余弦值。以A为坐标原点 AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为-1A(0,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1), M (0,1,2).证明：因 Ap =(0,Q1),dC =(0,1,0)，故AP DC =0,所以AP_LDC.由题设知 AD _L DC ,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得 DC _L面PAD .又DC在面PCD上，故面PAD，面PCD.(n)解：因 A

12、C -(1,1,0), PB -(0,2,-1),故 IACI="2,|PBI=j5,AC PB = 2,所以AC PB cos : AC, PB = -=|AC| |PB|.105(m)解：在MC上取一点N(x, y,z),则存在NC =(1 -x,1-y,-z),MC =(1,0,-2)九 W R,使 NC =?“MC,/1,x = 1 一 , y = 1,z =万要使AN _LMC,只需ANWiCr- 1r4=0 即 x - - z = 0,解得 k =25可知当九=4时，N点坐标为(1,1, 2)，能使AN WC =0. 55 51 2 -12一 一一此时，AN =( 一,1

13、,一), BN =(一,1,一)，有BN MC =0 5 555由AN MC =0, BN MC =04AN _L MC,BN _L MC.所以/ANB为所求二面角的平面角.-330 -130 -15.cos(AN,BN)| AN | | BN |,JAN |=-,| BN | = -, AN_BN2故所求的一面角为 arccos( -).3一、选择题1. D b = _2a= a b; d = 7c= d c;而零向量与任何向量都平行2. A3. C4. A关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变55AB =(3,4,2), AC =(5,1,3), BC =(2, 3,1),>0,得

14、A为锐角;5.>0 ,得C为锐角；bAubC >0 ,得B为锐角；所以为锐角三角形AB =(1x,2x3, 3x+3), AB =1 -x)2 (2x-3)2 (-3x 3)2空间向量与立体几何单元测试题第8页共8页=J14x2 -32x+19，当 x = 8 时，AB 取最小值6.cos OA,BC =BCC. OAL(OC -OB)OA BC兀cosOA BC兀 cos -3 =0 、1 ' 1 、一a+b)= a + b + c.评22,1.17. A；解析：B1 M = B1 B + BM = A A + 3 (BA + BC) = c + (述：用向量的方法处理立

15、体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.8. A；解析：空间的四点 P、A、B、C共面只需满足 OP = xOA + yOB+zOC,且x+y + z = 1 既可.只有选项 A.9、B10、D二、填空题1. -212 2a -3b =(-10,13,-14) , a +2b =(16,40)10102. 一，-6若a_Lb ,则 T2+3x = 0,x=；若 ab ,则 2: (M) =(1): 2 =3: x, x = 6333, "6分析：设正方体棱长为2 ,以D1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则DE=(

16、2,1,0),即3CiB' =(2,0, 2),设DiE和BG公垂线段上的向量为空间向量与立体几何单元测试题, - -2,，n =0 29 ,1D1C1 n 4又 D1C1 =(0, 2,0),，二一厘=n V62.63,所以异面直线D1 E和BG间4分析：以D为原点 建立如图所示的空间直角坐标系.则 A (1,0,0),11，AE =(0,1), 2,1 、(0,-,0),21,1 、(1,-,1).21AF =(f-,0)；2设面AEQF的法向量为n =(1，九,为，t 一弓 r 则有：n AE =0,n AF =0 ,1 1 ' '' - 02 二1T - ' =02' =2