滴水第三期数理统计第二章

1、nkppCkPkXPknkknn, 2 , 1 , 0)1()( 二项分布二项分布 XB(n, p)n重贝努利试验，事件重贝努利试验，事件A发生的次数。发生的次数。(0 (0 1)1)分布分布 X XB B( (1 1, ,p p ) )E(X)=np, D(X)=np(1-p).X 0 1P 1p p单次伯努利试验单次伯努利试验。E(X)= p =PX=1, D(X)= (1-p) p =PX=0 PX=1. 泊松分布泊松分布 XP(), 2 , 1 , 0,!e kkkXPk 重复独立试验，在时间上是随机的，不具有等可能性，重复独立试验，在时间上是随机的，不具有等可能性，n n 大、大、p

2、 p 小、小、np np = =( (大小适中大小适中).).E E( (X X )=)=D D( (X X )=)=二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp n 大、大、p 小时小时B(n, p) P(np)三、超几何分布三、超几何分布对某批对某批N件产品进行不放回抽样检查件产品进行不放回抽样检查,若这批产品中有若这批产品中有M件次品件次品，现从整批产品中随机抽出现从整批产品中随机抽出n件产品件产品，则在这则在这n件产品中出现的次品数件产品中出现的次品数X是随机变量是随机变量。其概率分布称为其概率分布称为超几何布超几何布,分布律为分布律为),min(, 0, 2 , 1 , 0,nMlM

3、NnMNlkCCCkXPnNknMNkM 其中其中记作记作 XH(N, M, n)（定义（定义3-14）例如例如 一批针剂一批针剂20支，其中支，其中5支次品，从这批针剂支次品，从这批针剂中任取中任取4支，则这支，则这4支中次品的支数支中次品的支数XH( 20, 5, 4 ) 即即 N=20, M=5, n=44, 3, 2, 1, 04204155 kCCCkXPkk4)5, 4min( l超几何分布常用于药品、疫苗等的质量管理与流行超几何分布常用于药品、疫苗等的质量管理与流行病学的阳性抽样研究。病学的阳性抽样研究。布。布。以二项分布为其极限分以二项分布为其极限分不变时不变时当当knkknn

4、NknMNkMNppCCCCknpNMN )1(lim,离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布超几何分布超几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布05. 0,20 pn两点分布两点分布1 n小小 结结第四节第四节 常用连续型随机变量分布常用连续型随机变量分布).,(,),(, 0,1)(baRXbaXbxaabxfX记为记为区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在在则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 一、一、 均匀分布均匀分布xo)(xf a b概率密度概率密度函数图形函数图形ab

5、1均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变变量量上上服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机在在区区间间.),(性性是是相相同同的的内内的的可可能能中中任任意意等等长长度度的的子子区区间间落落在在区区间间baxo)(xf a bab 1 lablp l.1)(.),(abldxablcXcPblccalccllcc 有有的的子子区区间间对对于于任任一一长长度度为为 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 112)()(),(21)(2abXDbaXE 例例1 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对 X 进行三

6、次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为 ., 0, 52,31)(其他其他xxf设设 A 表示表示“ X 的观测值大于的观测值大于 3 ”解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则.32,3 BY 32132223C033332132 C3)( XPAP由由于于,32d3153 x)(,0. 0, 0, 0,e)( EXXxxxfXx记记作作分分布布的的指指数数服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其

7、其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量 二、二、 指数分布指数分布 1 定义定义3-18 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的、电力设备的寿命、动物的寿命等一般都服从指数分布寿命等一般都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数 . 0 , 0, 0,e1)(xxxFx 1 函数函数: :.432123)21(2123)23(23)25(, !4)5(.)21(, 1)1(!)1()()1(2)(012012 如如且且时时，当当；性性质质：nnndxexdxexxx递

8、推公式递推公式若若 则有则有)( EX 1)(,1)(,1)(2 XXDXE.1)1(2)(.2! 21)3(1)(1)(1.1)2(1)(12222222201320220220120 EXEXDXxdexxdexdxexEXxdexdxexEXxxxxx例例3-22 已知某批医用电子监测仪的使用寿命已知某批医用电子监测仪的使用寿命 X 服从参服从参数为数为的指数分布，且其平均寿命为的指数分布，且其平均寿命为1000小时，现从中小时，现从中任取一台，试求它能正常使用任取一台，试求它能正常使用1000小时以上的概率小时以上的概率. 若有一台这种监测仪已经正常使用了若有一台这种监测仪已经正常使用

9、了1000 小时以上小时以上,求求它还能使用它还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. . 0, 0, 0,e1)(10001xxxFxX 的分布函数为的分布函数为解解10001,10001)( 则则由已知由已知XE1000 XP于于是是10001 XP10001000111)1000(1 eF.368. 0e1 10002000 XXP而而10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .1000368. 0e112 XPee对前面已使用过的对前面已使用过的1000小时无记忆，这是指数分小时无记忆，这是指数

10、分布的重要性质布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.tXPsXtsXP 一般地，一般地，若将若将X 理解为寿命理解为寿命,则上式表明则上式表明,已知寿命长于已知寿命长于s 年，年，则再活则再活t 年的概率与原来的年龄年的概率与原来的年龄 s 无关。这是个无关。这是个“永永远年轻远年轻”的分布。的分布。).,(,)0(,2NXXX记记为为的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量 三、三、 正态分布正态分布 (或高斯分布或高斯分布),e21)(222)( xxfx定义定义3-15)(.23132

11、1)(. 394),9, 4(18)4(32)4(2222 xeexfNXxx 密密度度函函数数，即即如如唯唯一一确确定定。，正正态态分分布布由由两两个个参参数数正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ;)3(处处有有拐拐点点曲曲线线在在x ;,)(,)5(轴轴作作平平移移变变换换着着只只是是沿沿图图形形的的形形状状不不变变的的大大小小时时改改变变当当固固定定xxf;轴轴为为渐渐近近线线曲曲线线以以 x;0)(,)4( xfx时时当当故故又称为位置参数。又称为位置参数。.,)(,)6(图图形形

12、越越矮矮越越胖胖越越大大图图形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定xf故故又称为形状参数。又称为形状参数。正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( ).1, 0(,1, 0),(2NN记记为为态态分分布布的的正正态态分分布布称称为为标标准准正正这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt标准正态分

13、布的图形标准正态分布的图形).(1)(xx xxxxde21)(22 xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x 证明证明-xx(-x)1-(x)公式公式-xx若若),(2NX.)(,)(,)(2 XXDXE则则dxexdxxxfXEx222)(2)()( dtedtetdtetxtttt222222212;2令令 tx奇函数奇函数证证)(t dxexXEx222)(222)( dttdtetdtedtetdtetdtetxtttttt )(222222;2)(222022222222222222 令令偶函数偶函数奇函数奇函数等于等于1.)()()(222222 XE

14、XEXD.2 标准差为标准差为和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差若若 XN(0,1), 则则 E(X)=0, D(X)=1.21222)21(21222)23(222)2()2(2222222222222)2(0123222 tdett 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用

15、与背景 总之，总之，正态分布是自然界和社会现象中最正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的综合影响的、独立的随机因素的综合影响, 那么这个变那么这个变量一般是一个正态随机变量量一般是一个正态随机变量.另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极的极限分布是正态分布（后面的中心极限定理）限分布是正态分布（后面的中心极限定理）.所以所以,无论在实践中无论在实践中,还是在理论上还是在理论上,正态分布是概率论中正态分布是概率论中最重要的一种分布最重要的一种分布.二项分布向

16、正态分布的转换二项分布向正态分布的转换正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算txFxtde21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数)()(,)1 ,0(abbXaPNX 则则设设查表查表)(1)(xx 查书后附表查书后附表3 (P277), 表中给出表中给出 x0 的函数值，的函数值， abbXaPxxFNX)()(),(2则则设设当当 x0. 由由一般地，一般地，查表查表（定理（定理3-6）)()()(2121.;,21222)(2222 abdttdtedtebXaPbtbxataxdtdxxtdxebXaPbatbabatbax时时，时时，换换限限：设设因为

17、因为.2)2(;5 . 15 . 0)1(),1 , 0( XPXPNX求求已已知知解解.0455. 097725. 022)2(22)2(1)2(1)2()2(1221212)2(;2417. 06915. 09332. 0)5 . 0()5 . 1(5 . 15 . 0)1( XPXPXPXP查查表表例例3-18).(22; 1)(2)1, 0(xxXPxxXPNX 则则，若若公式：公式：例例3-19.2)2(;421),2, 3(2 XPXPNX）求求（设设.69767. 099379. 0169146. 0)5 . 2(1)5 . 0()5 . 2(1)5 . 0(11)5 . 2()

18、5 . 0(1)232()232(1221212)2(;68525. 099379. 0169146. 0)5 . 2(1)5 . 0()5 . 2()5 . 0()232()234()2()4(42)1( XPXPXPFFXP解解例例3-20?8 . 015514021551405)1().(150),(2 XPXmgNX为为何何值值时时，）（之之间间的的概概率率；与与在在，试试求求药药片片重重量量若若已已知知其其中中服服从从正正态态分分布布已已知知某某种种药药片片的的片片重重 .;8186. 097725. 0184135. 0)2(1)1()2()1()5150140()5150155(

19、155140)5,150()1(2 XPNX解解.906. 328. 15899727. 0)28. 1(9 . 039 . 028 . 01)5(8 . 01)5(2)5()5()150145()150155(155145)2( ，故取故取的值得的值得，找最接近，找最接近反查附表反查附表即即XP1233,)3,3()3,3(.9974. 01)3(2)3(9544. 01)2(2)2(.6826. 018413. 021)1(2)1()1()()()()(),(2 ”原原则则。见见图图这这就就是是著著名名的的“取取值值区区间间的的实实际际可可作作为为外外取取值值，即即区区间间之之乎乎不不在在

20、说说明明：正正态态随随机机变变量量几几则则若若 XXPXPXPXPNX注意：注意：同理同理上侧临界值（分位点）上侧临界值（分位点） x1-.,1)( xXPxXPxF或或. 10(),( 点点（数数），其其中中分分位位或或上上侧侧临临界界值值分分布布的的或或上上侧侧为为则则称称满满足足若若存存在在实实数数的的分分布布函函数数为为设设随随机机变变量量XxxxFXf(x)临临界界值值或或分分位位数数。的的上上为为的的称称满满足足（对对于于给给定定的的正正数数 XudxeuXPxu 2221),10.)1, 0( uN临界值记作临界值记作的上侧的上侧标准正态分布标准正态分布显然显然 u 1定义定义3

21、-16.13.1)()(111）（即可查得临界值即可查得临界值由附表由附表从而从而 uuuuXPuXP.64. 164. 1949497. 095. 0395. 095. 005. 01)(05. 005. 0105. 005. 0 uuu求，即求，即即为所即为所，它所对应的自变量值，它所对应的自变量值值为值为的的中找最到接近中找最到接近从附表从附表）（即即则则，例如，给定例如，给定 ）（即即 11)(1uu33. 2)99. 0()01. 01(28. 1)9 . 0()1 . 01(1101. 0111 . 0 uu又如又如根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知.1 uu )(nt

22、u 64. 1)95. 0(105. 095. 0 uu如如96. 1)975. 0(025. 0975. 0 uu1- 1u u0)(5 . 011 uu时，时，所以，当所以，当.2311)(1),(001002 uxuxuuuxxXPNX 即即可可解解出出临临界界值值由由）（；得得查查附附表表）（即即，由由对对给给定定的的）（的的方方法法是是：临临界界值值的的求求其其满满足足若若一般正态分布的临界值一般正态分布的临界值例例3-21 某省高考采用标准化计分方法，并认为考生某省高考采用标准化计分方法，并认为考生成绩成绩X近似服从正态分布近似服从正态分布N(500, 1002).如果该省的本如果

23、该省的本科生录取率为科生录取率为42.8%，问该省的本科生录取分数线，问该省的本科生录取分数线应该制定在多少分以上？应该制定在多少分以上？（分分）。于于是是，可可查查得得由由附附表表）（即即（，由由于于取取分分以以上上，则则应应有有在在设设录录取取分分数数线线应应该该划划定定51818. 010050018. 03572. 0,572. 0428. 01)428. 0.428. 00100 uxuuuxXPx解解即书上法二即书上法二分布函数分布函数概率密度概率密度小 结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttfxFd)()(. 1 连续型随机变量连续型随机变量均匀分布均匀

24、分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 对数正态分布对数正态分布韦布尔分布韦布尔分布（不作要求）（不作要求）10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 1 21分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0, 2数字特征总结数字特征总结问题问题?)(的分布的分布求得其函数即随机变量求得其函数即随机变量的分布的分布如何根据已知的自变量如何根据已知的自变量XgYX 第五节第五节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布的横截面积，则的横

25、截面积，则 在实际中，常常会遇到以随机变量为自变量在实际中，常常会遇到以随机变量为自变量的函数。例如，设的函数。例如，设X为车床旋出轴的直径，为车床旋出轴的直径，Y为轴为轴.42XY 由于由于X的取值是随机的的取值是随机的所以所以Y也是个随机变量，故有必要讨论随机变量也是个随机变量，故有必要讨论随机变量函数的分布问题。函数的分布问题。一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布也也是是个个一一维维随随机机变变量量。，显显然然为为一一维维随随机机变变量量的的函函数数为为一一元元函函数数，则则称称随随机机变变量量，为为一一维维设设)()()(XgYXgYxgX .12的的分分布布列列求

26、求的的分分布布列列为为设设 XYXXp32101 25. 02 . 03 . 01 . 015. 0例例3-233-23Y=X2 +1的可能取值为的可能取值为 ;10, 5, 2, 1, 2即即 1, 2, 5, 10.解解 由自变量由自变量 X 的取值的取值 -1, 0, 1, 2 , 3 可确定其函数可确定其函数01112 XPXPYP, 1 . 0 )1()1(2122 XXPXPYP11 XPXP,45. 03 . 015. 0 . 03, 02.25. 03101102251522 XPXPXPXPYPXPXPXPYP其中其中, 2 . 0 故故 Y 的分布律为的分布律为Yp1052

27、125. 02 . 045. 01 . 0不难看出，当函数值中没有与不难看出，当函数值中没有与 g(xk) 相同的时，相同的时， Xp32101 25. 02 . 03 . 01 . 015. 0对照对照X的分布率的分布率.45. 03 . 015. 0112, 2111)1(. 1 . 001;)(22 XPXPYPYXPYPxXPxgYPkk变变量量的的概概率率相相加加。如如值值取取一一次次，将将对对应应的的自自则则应应将将相相同同的的当当有有相相同同的的，如如如如的的分分布布律律为为若若也也是是离离散散型型随随机机变变量量其其函函数数是是离离散散型型随随机机变变量量如如果果XXgYX.)

28、(, XPkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则都不相同，都不相同，若各若各)()(XgYxgk P)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合合并并（求求和和）并并将将对对应应的的应应将将相相同同的的值值取取一一次次，中中有有相相同同的的值值若若kkpxg由此归纳出由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法离散型随机变量函数的分布的求法.例例1 1 设设.)2()2(; 12)1(2的的概概率率分分布布求求 XYXY解解 （1 ）Y 的取值范围：的取值范围：1，3，5，7，9，11.没有没有相相 同的，同的， 故故Y 的分布律为的分布律为Xip54321012161311219291YkyYP 1197531121613112