曲边梯形的面积(公开课)

1、1.5.1 1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积数学史上的三次危机数学史上的三次危机第二次数学危机第二次数学危机无穷小是零吗？无穷小是零吗？第一次数学危机第一次数学危机无理数的发现无理数的发现第二章数系的扩充与复数数系的扩充与复数第三次数学危机第三次数学危机悖论的产生悖论的产生第三章推理与证明推理与证明微积分(数学分析）微分导数极限理论等 微分学积分学定积分不定积分 曲边梯形的面积问题2:圆面积公式是如何推导的圆面积公式是如何推导的? ?问题1:最基本、最奇妙的曲边图形是最基本、最奇妙的曲边图形是 什么？什么？三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆

2、周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的图形叫做曲边轴所围成的图形叫做曲边梯形。梯形。一一. . 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积ab

3、xy xfy o af bf15.1 图图如何求曲边梯形的面积？如何求曲边梯形的面积？下面我们先研究一个特殊情形：下面我们先研究一个特殊情形： 由抛物线由抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积x yOy=x21S=?（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个个小区间：小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为 过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 n1n2nin

4、nxOy2xy niinSS1即35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo 轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图xnifnixxfninixn,.11,1,35 .12 （2 2）近似代替）近似代替n1n1inix因为35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo.n,2, 1in1n1ixn1ifSS, ,SS,ni,n1i,.45.12iiii 则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲

5、边梯形的曲 nnixnifSSSnininiinn11145 . 1,22111 为中阴影部分的面积图由n1n1n102n1n1n2 22231n21n1 61n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得 .61n2n1n1n21222 可以证明可以证明（3 3）求和）求和.312111131lim11limlim,2111131,0,55 . 1,20, , 8 , 41 , 01 nnnifnSSSnnSxnnninnnn从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间 55.1图图oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2x

6、y 1xo（4 4）取极限）取极限.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1 , 0的等分数的等分数区间区间nSS的的近近似似值值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0 ?,fni,n1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情情况况又又怎怎样样作作为为近近似似值值的的函函数数值值处处取取任任意意吗吗这这个个值值也也是是若若能能求求出出的的值值吗吗用用这这种种方方法法能能求求出出

7、处处的的函函数数值值点点上上的的值值近近似似地地等等于于右右端端区区间间在在如如果果认认为为函函数数中中近近似似代代替替在在探探究究 n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n nnn1 12(n1)niin(过剩近似值) n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(过剩近似值) .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明abxy xfy o af bf15.1 图图.,15 . 1,出其面积求和

8、、取极值的方法求近似代替、我们也可以采用分割、曲边梯形所示的对如图所以得出结论：一般地 y = f(x)bax yO A1用两个矩形的面积近似代替近似代替曲边梯形的面积 y = f(x)bax yO用四个矩形的面积近似代替近似代替曲边梯形的面积 y = f(x)bax yO y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边于是曲边梯形的面积梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近