必修一函数经典例题

1、例 4已知log 4log 4mn，比较m，n的大小。解：log 4log 4mn，4411loglogmn，当1m ，1n 时，得44110loglogmn，44loglognm， 1mn当01m，01n时，得44110loglogmn，44loglognm， 01nm当01m，1n 时，得4log0m ，40log n，01m，1n ， 01mn 综上所述，m，n的大小关系为1mn或01nm或01mn 例 5求下列函数的值域：（1）2log (3)yx； （2）22log (3)yx； （3）2log (47)ayxx（0a 且1a ） 解： （1）令3tx，则2logyt，0t ， yR

2、，即函数值域为R（2）令23tx，则03t ，2log 3y ， 即函数值域为2(,log 3（3）令2247(2)33txxx，当1a 时，log 3ay ， 即值域为log 3,)a，当01a时，log 3ay ， 即值域为(,log 3a例 6判断函数22( )log (1)f xxx 的奇偶性。解：21xx 恒成立，故( )f x的定义域为(,) ，22()log (1)fxxx 221log1xx 222221log(1)xxxx 22log1( )xxf x ，所以，( )f x为奇函数。例 7求函数2132log (32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3

3、,)2上递增，在3(, 2上递减，又2320 xx，2x 或1x ，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log (32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例 8若函数22log ()yxaxa 在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2( )ug xxaxa，函数2logyu 为减函数，2( )ug xxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u ，132(13)0ag ，解得22 32a，所以，a的取值范围为22 3,2例 1已知函数2( )f xxbxc满足(1)(1)fxfx，且(0)3f，则()xf b与()xf

4、 c的大小关系是_分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内解：(1)(1)fxfx，函数( )f x的对称轴是1x 故2b ，又(0)3f，3c 函数( )f x在1，上递减，在1 ， 上递增若0 x，则321xx，(3 )(2 )xxff；若0 x ，则321xx，(3 )(2 )xxff综上可得(3 )(2 )xxff，即()()xxf cf b评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例 2已知2321(25)(25)xxaaaa，则 x 的取值范围是_分析

5、：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：2225(1)441aaa，函数2(25)xyaa在()，上是增函数，31xx ，解得14x x 的取值范围是14， 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例 3求函数216xy的定义域和值域解：由题意可得2160 x，即261x，20 x ，故2x函数( )f x的定义域是2，令26xt，则1yt，又2x，20 x 2061x，即01t011t ，即01y 函数的值域是01 ，评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的

6、影响4最值问题例 4函数221(01)xxyaaaa且在区间 11 ，上有最大值 14，则 a 的值是_分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围解：令xta，则0t ，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t 当1a 时，11x ，1xaaa，即1taa 当ta时，2max(1)214ya解得3a 或5a （舍去） ；当01a时，11x ，1xaaa，即1ata ，1ta时，2max11214ya，解得13a 或15a （舍去） ，a 的值是 3 或13评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例

7、5解方程223380 xx解：原方程可化为29(3 )80 390 xx，令3 (0)xtt，上述方程可化为298090tt，解得9t 或19t （舍去） ，39x，2x ，经检验原方程的解是2x 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例 6为了得到函数9 35xy 的图象，可以把函数3xy 的图象（） A向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度分析：注意先将函数9 35xy 转化

8、为235xt，再利用图象的平移规律进行判断解：29 3535xxy ，把函数3xy 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数9 35xy 的图象，故选（C） 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等习题习题1、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b解：（1）由，故，此时函数为减函数由，故（2）由，故又，故从而（3）由，因，故又，故从而（4）应有因若，则又，故，这样又因，故

9、从而，这与已知矛盾（5）应有因若，则又，故，这样有又因，且，故从而，这与已知矛盾小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解2 曲线分别是指数函数,和的图象,则与 1 的大小关系是 ().(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3求下列函数的定义域与值域.(1)y231x;(2)y4x+2x+1+1.解：(1)x-30，y231x的定义域为xxR 且 x3.又31x0，231x1，y23

10、1x的值域为yy0 且 y1.(2)y4x+2x+1+1 的定义域为 R.2x0,y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21.y4x+2x+1+1 的值域为yy1.4 已知-1x2,求函数 f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值解：设 t=3x,因为-1x2，所以931 t，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。5、设，求函数的最大值和最小值分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设，由知，函数成为，对称轴，

11、故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为6（9 分）已知函数) 1( 122aaayxx在区间1,1上的最大值是 14，求 a 的值.解：) 1( 122aaayxx，换元为)1( 122atatty，对称轴为1t.当1a，at ，即 x=1 时取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去)7已知函数（且）（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围 解： （1），当即时，有最小值为（2），解得当时，；当时，8（10分） （1）已知mxfx132)(是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数| 13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3k无解？有一解？有两解？解： （1）常数m=1

12、（2）当k0时，直线y=k与函数|13|xy的图象无交点,即方程无解;当k=0或k1时, 直线y=k与函数|13|xy的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当 0k0 且 a1).(1)求 f(x)的定义域和值域；(2)讨论 f(x)的奇偶性；(3)讨论 f(x)的单调性.解：(1)易得 f(x)的定义域为xxR.设y11xxaa,解得ax-11yyax0当且仅当-11yy0时， 方程有解.解-11yy0得-1y1 时，ax+1 为增函数，且 ax+10.12xa为减函数，从而 f(x)1-12xa11xxaa为增函数.2当 0a1 时，类似地可得 f(x)11xxaa为减函数.15、已知函数

13、f（x）=a122x（aR） ，（1）求证：对任何 aR，f（x）为增函数（2）若 f（x）为奇函数时，求 a 的值。（1）证明：设 x1x2f（x2）f（x1）=)21)(21 ()22(22112xxxx0故对任何 aR，f（x）为增函数（2）xR，又 f（x）为奇函数(0)0f得到10a 。即1a 16、定义在 R 上的奇函数)(xf有最小正周期为 2，且) 1 , 0(x时，142)(xxxf（1）求)(xf在1，1上的解析式； （2）判断)(xf在（0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程)(xf=在 1 , 1x上有实数解.解（1）xR 上的奇函数0)0(f又2 为最小正周期0) 1 () 1() 12() 1 (ffff设 x（1，0） ，则x（0，1） ，)(142142)(xfxfxxxx142)(xxxf（2）设0 x1x