数列前n项和的求法_

1、数列前n项和的求法 求数列前n项和是数列的重要内容，也是一个难点。求等差（等比）数列的前n项和，主要是应用公式。对于一些既不是等差也不是等比的数列，就不能直接套用公式，而应根据它们的特点，对其进行变形、转化，利用化归的思想，来寻找解题途径。一、拆项转化法例1已知数列 中， 且 （ ， ,且t为常数），求 na3ntannNn0tnS解：当t=1时，当 时，2)3(2)3(2nnnnnSn1t2)5(1)1(nntttSnn分析：观察数列的通项公式，数列 可以“分解”为一个公比为t的等比数列 和一个公差为1的等差数列 ，因此，只要分别求出这两个数列的前n项之和，再把它们相加就可得 。注意等比数列

2、前n项和公式对公比q的要求，可得如下解法:nant3 nnS总结：拆项转化常用于通项 是多项式的情况。这时，可把通项 拆成两个（或多个）基本数列的通项，再求和。有时也应用自然数的方幂和公式求 ，常用的有： nanS)12)(1(6112nnnknk2213)1(41nnknk2)1(1nnknkna例2、求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4 ， ，1+2+3+n，的前n项和Sn。解:该数列通项nnnan21213212令 ， ，则221nbnncn21nnncba数列 的前n项和nb)21 (21222nSN)12)(1(121nnn数列 的前n项和nc) 1(41)21 (21nnn

3、Sn)2)(1(61nnnSSSnnn二、裂项相消法 常用的消项变换有：111)1(1nnnnan)121121(21) 12)(12(1nnnnan) 2)(1(1) 1(121) 2)(1(1nnnnnnnan!)!1(!nnnnan)1() 1()2)(1(31) 1(nnnnnnnnan:nnnnan111:二、裂项相消法 常用的消项变换有：:)2)(1(nnnan)2)(1() 1() 3)(2)(1(41nnnnnnnn例3、求 ) 2)(1(432321nnnSn解：由上面 知： ) 43215432 () 32104321(41nS) 3)(2)(1(41nnnn)2)(1()

4、 1() 3)(2)(1(nnnnnnnn例4、求 3441451211512nnSn解：其“通项” )32)(12(134412nnnnan)321121(41nn )121321()9151()7131()511(41nnSn)321121(nn) 32)(12 ( 3) 54 ()321121311 (41nnnnnn三、 倒序相加法 课本等差数列前n项和公式 就是用倒序相加法推导的。nS例5、已知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，求na1322110nnnnnnnaCaCaCaCS分析：注意到 且当m+n=p+q时， 有： （等差数列的性质）knnknCCqpnmaaaa解： ，又

5、1322110nnnnnnnaCaCaCaCS101211aCaCaCaCSnnnnnnnnnnn两式相加得： nnnnnnnnaaCCCaaS2)()(2111011nnnnnnnaaS2) 1(2)22 (2)(1111四、错位相消法 课本推导等比数列前n项和公式的方法。利用 可求两类数列的和，其通项分别是：nnqSS （） （）分母是等比数列分子是等差数列字母是等比数列系数是等差数列例6、求数列 的前n项和 ,212,43,21nn 解： (1)nnnS212167854321 (2) 1212232165834121nnnnnS (1)(2)，得 12122216282422121nn

6、nnSnnnnnnS232321221412122五、 并项法例7，已知数列 的通项 ，求数列前2n项和21)1(nannnS2解： 2222222)2 () 12 (4321nnSn令 14)2() 12(22212nnnaabnnn 是首项为-3，公差为-4的等差数列nb)12(141173212nnnbbbSnn评注：用并项法把相邻的一正一负两项并作一项，从而使通项降次，得以转化为等差数列求解。 na六、逐差求和法（又叫加减法，迭加法） 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用迭加法进行消元 例8，求数列 ：1，3，7，13，21，31，的 和na解： 212 1aa 322 2aa 542 4aa 121naann132121naannans两边相加得：432 3aa注：把减数移至等注：把减数移至等号右边，就是我们号右边，就是我们平时常用的叠加法。平时常用的叠加法。当然，这也可叫叠当然，这也可叫叠加法。加法。例8，求数列 ：1，3，7，13，21，31，的 和na212 1aa 322 2a