抛物线及其标准方程

1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程互动探究互动探究探究探究1、我们得到的抛物线、我们得到的抛物线上的点上的点M具有怎样特征？具有怎样特征？ 到直线l l 的距离与到点F的距离相等MFll准线准线焦点焦点d探究探究2、根据点、根据点M总结抛物线的定义。总结抛物线的定义。平面内与一个定点F和一条定直线l l 的距离相等的点的轨迹叫做。定点F叫做抛物线的。定直线l l 叫做抛物线的。动一动手动一动手()Fl互动探究互动探究思考：思考：若定点若定点F在定直线在定直线l上，那么动点上，那么动点的轨迹是什么图形？的轨迹是什么图形？方程推导方程推导lHFMK设设|FK|=|FK|=p p（p p00）l.

2、FMd.FlxF如图，以过 点垂直于直线 的直线为 轴，和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系.xOyK|,(0),( , ),FKppM x y设2:),0 ,2(pxlpF则22()|22ppMFdxyx 即抛物线的标准方程：抛物线的标准方程：2222244ppxpxyxpx)0( ,22ppxy抛物线标准方程抛物线标准方程p（其中 是焦点到准线的距离）抛物线的标准抛物线的标准方程还有哪些方程还有哪些不同形式不同形式?若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？据上述办法求出它的标准方程吗？各组分别求解开口不同时抛物线的标

3、准方程。各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程。pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0 ,2p2px0 ,2p2px 2, 0p2py2, 0p2py 如何确定抛物线焦如何确定抛物线焦点位置及开口方向点位置及开口方向?一次变量一次变量定定焦点焦点开口方向开口方向看看正负正负xHFOMlyxyHFOMlxyHFOMlxyHFOMlMNNMxyoxyoFFFF当当0e 1时，是椭圆，时，是椭圆， 当当e1时，是双曲线。时，是双曲线。当当e=1时，它是什么曲线呢？时，它是什么曲线呢？椭圆和双曲线的第二定义：椭圆和双曲线的第二定义： 与一个定点的距离和一条定直线与一个定点的距离和一

4、条定直线(定点不在定定点不在定直线上直线上)的距离的比是常数的距离的比是常数e的点的轨迹的点的轨迹.抛物线抛物线（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，2），）， 求它的标准方程。求它的标准方程。解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴上,则抛物线的标准方程为则抛物线的标准方程为 x 2 = 2py ，易知，易知p=4,故其标准方程为故其标准方程为:x 2 = 8y。解：由解：由y2 = 6x可知对应的抛物经开口向右，又可知对应的抛物经开口向右，又

5、因为因为，故焦点坐标为，故焦点坐标为 ，准线方程为，准线方程为)0 ,23(F23x合作探究1、求下列的焦点坐标和准线方程：、求下列的焦点坐标和准线方程： . 0822 xy）（y8-2x变式：；）（03212 xy解解：（：（1 1）将方程化成标准方程）将方程化成标准方程所以焦点坐标所以焦点坐标 ，准线方程为，准线方程为xy23-2），（083-83x （2 2）将方程化成标准方程）将方程化成标准方程所以焦点坐标所以焦点坐标 ，准线方程为，准线方程为）（0,-22y方法点拨方法点拨求抛物线焦点坐标和准线方程的方法：1.把方程化为标准形式；2.一次项（x或y）定对称轴：抛物线标准方程中一次项是

6、x(y),则对称轴为x（y）轴，焦点在x(y)轴；3.一次项系数正负定开口方向：标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向为坐标轴的正方向，反之，在坐标轴负方向；4.定数值：焦点中的非零坐标是一次项系数的 ，准线方程中的数值是一次项系数的4141-变式：2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；41（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y2、求满足下列条件的抛物线方、求满足下列条件的抛物线方程：程： (1)(1)已知

7、抛物线经过点已知抛物线经过点(-4,-2),(-4,-2),求它的标准方程求它的标准方程. .xyo(-4,-2)解：如图所示，设抛物线的方程为 将点（-4，-2）带入方程得：4=8p,得 2p=1所以设抛物线的方程为 将点（-4，-2）带入方程得：16=4p,得 p=4所以 ,02-2）（ ppxyxy-2,02-2）（ppyx28xy (2)(2)焦点在直线焦点在直线x-2y-4 =0上上解：若焦点在x轴上，则焦点为（4,0），那么 即 ，此时抛物线的标准方程是若焦点在y轴上，则焦点为（0,-2），那么 即 ， 此时抛物线的标准方程是2、求满足下列条件的抛物线方、求满足下列条件的抛物线方程

8、：程： 42p8pxy16222p4pyx82归纳总结归纳总结1、关于抛物线的定义，要注意点、关于抛物线的定义，要注意点F不在直线不在直线L上，否则上，否则轨迹是一条直线。轨迹是一条直线。 2 2、 抛物线的标准方程有四种不同的形式，其联系与区别抛物线的标准方程有四种不同的形式，其联系与区别在于在于： (1)(1)焦参数焦参数p p的几何意义都是焦点到准线的距离；的几何意义都是焦点到准线的距离； ( (2)2)方程右边一次项的变量与焦点所在的坐标轴（对称轴）方程右边一次项的变量与焦点所在的坐标轴（对称轴）名称相同，一次项系数的正负决定抛物线的开口方向。名称相同，一次项系数的正负决定抛物线的开口

9、方向。（3 3）焦点的非零坐标是一次项系数的）焦点的非零坐标是一次项系数的1/41/4。3 3、注重数形结合和分类讨论的思想。、注重数形结合和分类讨论的思想。做题时注重以形助数！做题时注重以形助数！标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo)0 ,2(pF.yxoF2px)2,0(pF.xoyF2py)0(22ppxy)0 ,2(pF 2px ) 0(22ppyx)2,0(pF2py 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程：课堂检测课堂检测1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）（2）（3）（4

10、）;82xy;42yx ; 0522 xy.612xy20 , 2x）；（11 , 0y）；（850 ,85x）；（2323- , 0y）；（课堂检测课堂检测2、根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（2，0） ;（2）准线方程是 ;（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上.31yxy82yx342yx82课堂检测课堂检测3、抛物线 上的点P到焦点的距离是10，求P点坐标 .解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1）根据抛物线定义可知点根据抛物线定义可知点P到焦点的距离与到准到焦点的距离与到准线的距离相等，线的距离相等，yp+1=10，求得，求得yp=9， 代入抛物线方程求得代入