圆与圆地位置关系

1、第三讲 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系教学目标1. 掌握直线与圆的三种位置关系与其相应数量关系的特征，通过分析将直线与圆的各种位置关系转化为相应的数量关系，体会数量分析的研究方法以与量变引起质变的观点2. 掌握圆的切线的判定定理.3. 理解圆与圆的位置关系与其有关概念， 初步掌握圆与圆各种位置关系相应的数量关系的特 征，会进展“圆与圆的位置关系、 “两圆圆心距与这两圆半径长之和或差的大小关系'这 两者之间的相互转化，并能初步运用这些知识解决有关问题4. 掌握两圆相切和相交的连心线性质定理.教学重点1. 直线和圆的位置关系的判定方法和性质.2. 两圆的五种位置关系中的圆心距与两圆的

2、半径之间的数量关系3. 相交、相切两圆的性质与应用 .教学难点1. 探索直线与圆的位置关系中圆心到直线的距离与半径的大小关系并运用相关结论解决有 关问题.2. 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系并运用相关结论解决有关问 题.教学方法 建议总结归纳，启发诱导，讲练结合，巩固优化.第一局部知识梳理.直线与圆的位置关系如图，设O O的半径为r，圆心0到直线I的距离为d,得出直线和圆的三种位置关系:1直线I和O 0相离 d r此时：直线和圆没有公共点.2直线I和O 0相切 d r此时：直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.3直线I和O 0相交 0 d r

3、此时：直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线.12.切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质：1与圆只有一个公共点；2圆心到切线的距离等于半径；3圆的切线垂直于过切点的半径.切线的识别：1如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线2到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.3经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线证明直线是圆的切线的两种情况：1当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长'来 判定直线与圆相切2当直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线 是圆的切线，简单地说，就是“

4、联半径，证垂直二.圆与圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种：外离、外切、相交、内切、内含圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距.设两圆的圆心距为 O-|O2 d，半径为Or R，如此有：1外离：没有公共点，两圆外离d R r2外切：有唯一的公共点，两圆外切d R r3相交:有两个公共点,两圆相交4内切:有唯一的公共点，两圆内切5内含:没有公共点，两圆内含412.相切两圆的性质连心线：经过两个圆的圆心之间的直线相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切3.相交两圆的性质相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共

5、弦.:当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧第二局部例题精讲例 1 如图，Rt ABC 中，/ C=90°, AC=3 BC=41圆心为点C、半径长R为2的圆与直线 AB有怎样的位置关系？2圆心为点C、半径长R为4的圆与直线 AB有怎样的位置关系？3如果以点C为圆心的圆与直线 AB有公共点，求O C的半径R的取值X围.3 / 20C出题意图：考查直线与圆的位置关系.解析：利用圆心到直线的距离与半径比拟即可得出圆与直线的位置关系答案：解：在 Rt ABC 中，/ C=90° AC=3 BC=4.由勾股定理，得 AB=5.设点C到AB的距离为d,如此1

6、1AC BC AB d22113 4 5d即 22解得d=2.4.1t 2.4 > 2，即d > R 半径长R为2的O C与直线AB相离.2t 2.4 V 4，即d V R,.半径长 R为4的O C与直线AB相交.3如果以点C为圆心的圆与直线 AB有公共点，那么O C与直线AB相切或相交当R> 2.4时，O C与直线AB有公共点.针对训练1Rt ABC 中，/ ABC=90 , AB=3 BC=4 以 B为圆心作O B.1假如O B与斜边AC只有唯一一个公共点，求O B的半径长R的取值X围.2假如O B与斜边AC没有公共点，求O B的半径长R的取值X围.例2 :直线AB经过O

7、 O上的点C,并且OA=OB CA= CB.求证：直线AB是O O的切线.出题意图：考查切线的判定定理.解析：欲证AB是O O的切线,由于AB过圆上点C,假如连结OC,如此AB过半径OC的外端,只需证明OCL AB即可.答案：证明：连结0C/ 0A= OB, CA= CB OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. AB丄 OC直线AB经过半径0C的外端C,并且垂直于半径0C AB是O O的切线.针对训练2如图，AC是O O的弦，AC=BC=OC.求证：AB是O O的切线.例3 如图，O A、O BO C两两外切，且 AB=3厘米,圆的半径长.出题意图：考查圆与圆的位置关系.解析：利用外切两圆的

8、圆心距等于半径之和即可.答案：解：设O A、O BO C的半径长分别为 x厘米、y厘米、z厘米./O A、O B、O C两两外切，/ AB= x + y, BC= y+ z, CA= z + x.根据题意，得关于x、y、z的方程组x y 3y z 5z x 6x 2y 4z 1解得O AO B、O C的半径长分别为 2厘米、1厘米、4厘米.针对训练3如图，O O的半径为5厘米，点P是O O外一点，0P=8厘米.求：1以P为圆心作O P与O 0外切，小圆O P的半径是多少?2以P为圆心作O P与O0内切，大圆O P的半径是多少?例4相交两圆的公共弦长为 6，假如两圆半径分别为 8和5,求两圆的圆

9、心距.出题意图：考查相交两圆的性质.解析：两圆相交要考虑两种情况：1圆心在公共弦的同侧，此时圆心距等于两条弦心距之和；2圆心在公共弦的两侧，此时圆心距等于两条弦心距之差的绝对值答案：解：圆心在公共弦的两侧tQA O.jB, O2A O2B002为AB的垂直平分线 AB丄 O1O2 , AC=CBAO 8,AC 3QC . 55 O2A 5,AC 3O2C 4OO 255 4圆心在公共弦的同侧由可得：QC . 55, O2C 4OQ2 QC O2C55 4针对训练4OOl和oO2相交于A、B两点，P是连心线。1。2与©。2的交点，PAPB的延长线分别交o Oi于点C、D.求证：AC B

10、D例5 如图，©0与o。2内切于点P,经过OOi上点Q的切线与©。2相交于A B两点, 直线PQ交O O2于点R.求证：RA RBB出题意图： 考查相切两圆的性质解析：利用相切两圆的性质：两圆相切,连心线过切点此题中过两个圆心作一条直线,'QP O1Q，O2P O2ROQPO1PQ, O2RPO2PROQPO2RPB此这条之间直线必过点P,然后利用圆中的相关知识即可解答答案：证明：联结OiQ、O2R，作直线O1O2.GQ与O。2内切于点POi O2经过点PQQ /O2 R：AB与OOi相切与点Q.OQ ABO2R ABRA RB针对训练5如图，Q O1与O O2外切

11、于点P,经过Q O1上点Q的切线与OO2相交于A、B两点，直线PQ交O2于点R.求证：RA RB例 6 在 ABC 中，AB AC 6 , B 30，点 Q、O2 在 BC上，O O1、O O2 外切于 点P. OQ与AB相切于点D,与AC相离；G) O2与AC相切于点E,与AB相离.1求证：DP/ AC.2设00!的半径长为x, ©。2的半径长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域.C出题意图：考查圆与圆位置关系的综合应用解析：利用等腰三角形的性质和圆与圆的位置关系，可推导出第一问的结论，再结合锐角三角比的知识推出函数解析式，在考虑定义域的时候要考虑到相关动点的临界位置问题，

12、这是个难点，需要多加注意答案：解：1联结0,D与AB相切于点DBDQ 90B 30BQD 60tOD 0尸BPDQDPBOiD 30BPDDP /C 30AC2联结O2E，如此o2eAC,作AHBC 于 H.30 ,02Ey,sin02EO2CO2C2y,PC y2y3y同理bd3xVBHABcos30BC6.3BPPCBC3x3y6.3y2、3x当O1与H重合时,3、3O01与AC相切，此时3池当。2与H重合时,GO2与AB相切，此时针对训练6在ABC中，BAC90，AB AC 2.2，圆A的半径长为1，假如点0在BC边上运动与点B、C不重合，设BO=x AOC的面积为y.1求y关于x的函数

13、解析式，并写出函数的定义域2以点0为圆心、B0为半径作圆 0求当圆0与圆A相切时,AOC的面积.第三局部优化作业根底训练题A1. 如下直线中，不能判定为圆的切线的是A. 与圆仅有一个公共点的直线；B. 与圆心的距离等于半径长的直线；C. 过半径的端点且与该半径垂直的直线；D. 过直径的端点且与该直径垂直的直线.2. 00的直径等于12cm圆心0到直线丨的距离为5cm,如此直线l与0O的交点个数为 3. Q0,的半径为3厘米，O02的半径为2厘米，圆心距 0,02=5厘米，这两圆的位置关系是 4. 两圆的直径分别为 6cm和10cm,当两圆外切时，它们的圆心距d的大小是 A. d 8cm b.

14、4cm d 8cm C. d 8cm d. d 4cm5. 线段AB=3cm 0A的半径为4cm,假如OA与©B相切，如此©B的半径为cm.6. 如图，AB与O0相切于点C, OA=OB假如O0的直径为8cm, AB=10cm那么OA的长是cm.CO的半径为r，圆心O到直线a的距离为d,假如d=r，如此直线a与G'O的位置关系是8. 两圆的直径分别为3+r和3-r，假如它们的圆心距为r,如此两圆的位置关系为.GO1、OO2的半径长分别是3cm 5cm,如果OO1与OO2内含，那么圆心距 d的取值X围为.10.两圆的半径之比为5:3，如果当它们外切时，圆心距长为16,

15、那么当它们内切时，圆心距长为.2OOl和O。2的半径为方程x 4x 2 0的两个根，假如O1O22.5，试判断OOi和。0?的位置关系.12. 如图，在直角梯形 ABCD中, AD/ BC, CDL AD, AD+BC=AB.求证：以AB为直径的 与CD相切.A n13. 如图，0A=0B=8 0M OB以O为圆心、OA为半径作AB , O O2与以OA为直径的©0,相 切于点E,与AB相切于F,与OB相切于D,求oO2的半径长.14. 如图，A是。O1、O02的一个交点，点 P是O,O2的中点.过点A的直线MN垂直于PA,交go,、o2于m n.求证：AM=AN.pNOO,和O。2

16、相交于A B两点，公共弦与连心线 0Q2相交于点G,假如AB=48, Q 0,的半径 r, 30，G02 的半径 r2 40.求AOQ2的面积.提高训练题B1. GO的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2如此直线与 OO的位置关系是2. ABC三边分别是a、b c，两圆的半径r-j a， r2 b，圆心距d c，如此这两个圆的位置关系是3. 两圆的半径长度分别为 R和r，两圆心间的距离为 d，如果将长度分别为 R、r、d三线段 首尾相接可以围成一个三角形，如此两圆的位置关系是O01和。02的圆心距 OQ2 6cm，如此与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆有个5. Rt ABC中，/ B=90

17、°,Z A的平分线交 BC于D, E为AB上一点，DE=DC以D为圆心、 DB为半径作圆D.1求证：AC是圆D的切线；2求证：AB+EB=AC.6. 如图，正方形 ABCD中, E是BC边上一点，以 E为圆心，EC为半径的半圆与以 A为圆心,AB为半径的圆弧外切，求 tan / EAB的值.7.如图，点D在00的直径AB的延长线上，点 C在OO上，AC CD , D 30 °1求证：CD是00的切线；2假如00的半径为3,求BC的长.8.如图， ABC中，/ C=90°, AC=12 BC=8以AC为直径作 00，以B为圆心，4为半径作。B.求证：GO与0B相外切

18、.9. 如图，GO与OA交于B、C两点，A在GO 上, AD是©0的直径，AD交BC于 MAE是©0的弦，AE交BC于N.假如AM=4cm AN =6cm, AE=24cm求©O的半径.10. 如图，AB为半圆O的直径，P是AB延长线上一点，将线段 PA绕点P旋转到与半圆0相切的位置PC这时切点为 E, AC与半圆相交于点 D.AC1求证：sin p AC ；CD '2假如 CD=2AD求CE:EP的值；3假如E是PC的中点，求 AD DC的值.综合迁移题Ca的值b2. ，如下列图，圆O与圆Q相交于A、B两点，过A点的弦分别交两圆于 C D,弦CE/DB，

19、 连结EB,试判断EB与圆Q的位置关系，并证明你的结论.ABC中， BAC 90 , AC=3, AB=4, O是BC上的一点，以 0为圆心，0C为半径作圆交AC于点D,交BC于点F,过D作 OO的切线交AB边于点E,连BD,设OC=x BED的面积为y.求y与x之间的函数关系式.C4. 在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为1,0，点C的坐标为0,4直线CM / x轴如图7所示点B与点A关于原点对称，直线 y x bb为常数经过点 B ,且与直线CM相交于点D,联结OD1求b的值和点D的坐标；2设点P在x轴的正半轴上，假如 POD是等腰三角形，求点 P的坐标；3在2的条件下，如果以 PD为半径的O P与O O外切，求O O的半径.x参考答案:针对训练1.1R2122.通过等边对等角和三角形的内角和定理可以推出/OAB=90即可得出答案3. 1O P1的半径是3cm 2O P2的半径是13cm4. 利用相交两圆公共弦的定理以与同圆弦心距相等如此弦所对的劣弧相等即可得出答案5. 禾U用两圆相切连心线过切点的定理即可解答.6. 1y x 4(0 x 4)A和圆O外切、内切两种情况1712S AOC 或 提示：第二冋要考虑圆6 2根底训练题A1. C2. C3. D4. A5. 1cm 或 7cm6. 417. 相切8. 内切9. 0cm d 2cm10. 411. 两