圆锥曲线题型归类总结

1、高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用1、圆锥曲线的定义：1椭圆2椭圆3椭圆2、定义的应用1寻找符合条件的等量关系2等价转换，数形结合3、定义的适用条件：典型例题例1、动圆M与圆C:(x+1) 2例2、k为何值时,方程&池1的曲线:+y2=36内切,与圆Q:(x-1) 2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。例2、方程，计牛表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断首先化成标准方程，然后再判断：1、椭圆：由上,，'分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由耳'，项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开

2、口方向。典型例题2 2例1、方程 一 y 1表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是m 12 m是椭圆；是双曲线题型三：圆锥曲线焦点三角形椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形问题1、 椭圆焦点三角形面积S b2 tan;双曲线焦点三角形面积Scot 2 22、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、m n, m n,mn,m2 n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；典型例题2 2例1、椭圆x2 y21(a b 0)上一点P与两个焦点R, F2的张角/a bF1PF2，求证： FiPE的面积为 b2 taa?。例2、双曲线的离心率为2,Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且V "

3、"', -_求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法典型例题2 2例1、F" F-是双曲线 笃 爲 1 a 0,b 0丨的两焦点，以线段为边作 a b正三角形MF，假设边MR的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率是A. 4 2 3B. 3 1C.亠 D. 3 122例2、双曲线X-a2吿1a> 0,b >0的两个焦点为F1、b设P为其上一点,且|PFi|=

4、2|PF2|,那么双曲线离心率的取值范围为A. (1,3)B.1,3C.(3,+) D. 3,2 2例3、椭圆G :笃 y- 1(a b 0)的两焦点为F1( c,0), F-(c,0)，椭圆上存在 a b点M使F1M F-M0. 求椭圆离心率e的取值范围；2 2例4、双曲线 笃 笃1(a 0,b 0)的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为60的直线 a b与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是A(1,2 B(1,2)C2,)D(2,)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系2 2点在椭圆内 笃每1a b22xy12.2ab22xy12 ab2点在椭圆上点

5、在椭圆外2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:>0 相交=0 相切需要注意二次项系数为0的情况<0 相离3、弦长公式：AB Ji k2 x1 x2 v'1 k2(% x2) <1 k2iaAB / 帥 y2 / 占(y1 y2)仁2计4、圆锥曲线的中点弦问题：1、伟达定理：2、点差法:(1) 带点进圆锥曲线方程，做差化简(2) 得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.例2、中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线 L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，假设|AB|=2

6、 2，O为坐标原点，0C的斜率为2/2，求椭圆的 方程。题型六：动点轨迹方程：1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;2、求轨迹方程的常用方法：1直接法：直接利用条件建立之间的关系;例1、如动点P到定点F(1,0)和直线1的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(2)待定系数法：所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线 的方程，再由条件确定其待定系数。例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M m 0脚汕)，端点A、B到x轴距离 之积为2m，以x轴为对称轴，过 A O B三点作抛物线，那么此抛物线方程 为(3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接

7、写出 动点的轨迹方程；例3、由动点P向圆 宀八作两条切线PA PB,切点分别为A、B, / APB=60, 那么动点P的轨迹方程为例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线；的距离小于1,那么点M的轨 迹方程是例5、一动圆与两圆。M八y 和。N: X亠丁 一淼*12 = °都外切，那么 动圆圆心的轨迹为代入转移法：动点依赖于另一动点°；的变化而变化，并且0(州必)又在某曲线上，那么可先用的代数式表示吩此，再将亦必代入曲 线得要求的轨迹方程：例&如动点P是抛物线' ' + '上任一点，定点为'' _ :，点M分宀所成的 比为2，

8、那么M的轨迹方程为(5)参数法：当动点'，(- /：坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用 时，可考虑将丫 1均用一中间变量参数表示，得参数方程，再消去参数得普 通方程。例7、过抛物线- 的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，那么弦AB的中点M的轨迹方程是题型七：直线与圆锥曲线常规解题方法 一、设直线与方程；提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b 与x=my+n的区别二、设交点坐标；提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求三、联立方程组；四、消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简 单 五、根据条件重转化；常有以下类型: “以弦AB为直

9、径的圆过点0 提醒：需讨论K是否存在OA OBK1 ?K2 1 OA?OB 0xi X2yi y20 “点在圆内、圆上、圆外问题“直角、锐角、钝角问题 题向量的数量积大于、等于、小于 0问X1X2%y2>0; “等角、角平分、角互补问题斜率关系Ki K2 0或Ki& “共线问题如：AQ QB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法；如：A、0、B三点共线 直线OA与OB斜率相等；“弦长、面积问题转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式的合理选择；六、化简与计算；七、细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0.根本解题思想：1、 “常规求值问题：

10、需要找等式，“求范围问题需要找不等式；2、“是否存在问题：当作存在去求，假设不存在那么计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结 果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系 数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法转化为二次函 数的最值、三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值 不等式的方法等再解决；6转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性

11、，关键是积累“转化的经历；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来， 即可自然而然产生思路。典型例题：例1、点F 0,1 ,直线I : y 1，P为平面上的动点，过点P作直线I的垂线，垂足为q，且QPQF FPFQ.1求动点p的轨迹c的方程；2圆M过定点D 0,2，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA '1，|DB '2，求 2 t的最大值.F2分别是椭圆C :2 x 2 a2 y b2(a b 0)的左右焦点1设椭圆C上点)到两点R、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和例2、如图半圆，AB为半圆直径，0为半圆圆心，且ODL A

12、B, Q为线段0D的中点，|AB=4,曲线C过Q点，动点P 在曲线C上运动且保持| PA+I PB的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C的方程； 过D点的直线I与曲线C相交于不同的两点 M N,且M在D N之间, 设观=入，求入的取值范围.DN焦点坐标;2设K是1中所得椭圆上的动点，求线段 KF!的中点B的轨迹方程；3设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点,当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为kpM，kpN，试探究kpM Kpn的 值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。例4、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最 大值为3

13、，最小值为1 .I求椭圆C的标准方程；U假设直线l : y kx m与椭圆C相交于A， B两点A B不是左右顶点，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线I过定点，并求出该定点的 坐标.离心率PB分例5、椭圆两焦点Fi、F2在y轴上，短轴长为2,2 , 为二,P是椭圆在第一象限弧上一点，且2PF； PF? 1，过P作关于直线FiP对称的两条直线PA别交椭圆于A B两点。1求P点坐标；2求证直线AB的斜率为定值;二 li286416a2a4 64，丄 2l2 l1当a 0时，由得,2 2 .典型例题：例1、»=设巩5则亦可二(0 j +1)(-X 2)= (“ i)E扎-2).R

14、P 2 (y+1) =- 2 (y 1) 1 即 a由、解得，x a 2 . 不妨设 A a 2,0 , B a 2,0 , =Ay>所以动点P的朝迹亡的方程H =4/.(2) S¥；设圆M的圆<?坐标为则疋二4b.HMffl半径为呵二問+(B-刖屈m的方程竟(髯”十(丿釘二出十© _ 2.令/ = Of 则兀一应)，+护=/ + Q-2)，整理得，X-2m+4B-4 = Q当且仅当a 2 2时，等号成立.当a 0时，由得，卄2.故当a 2 2时，11 $的最大值为2 2 .>2 ll例2、解：（1）以AB 0D所在直线分别为x轴、y轴，0为原点，建立平面

15、直角 坐标系， I PA+| PB|=| QA+| QB=2 +；22 12 2/5 > | AB=4.曲线C为以原点为中心，A B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,那么2a=2 5 , a= 5,c=2,b=1.2曲线C的方程为+y2=1.5设直线I的方程为y=kx+2,2代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.5DM x- _=入 DN x2Xi由韦达定理得Xi20k1 5k215X221 5k2X2将Xi = X X2代入得2 2(1) X2(1151 5k22X2两式相除得丄(1)2X1x2400k25k2)2163)22400k215(1

16、5k2)55, 51_ k25803(5 丽)k詈,即41解得3DNMD N 中间， X< 18013(書 5)k163 =(20 k)24X 15(1+5k2) >0,得 k2> 3 .由图可知又当k不存在时'显然入=dn 1(此时直线1与y轴重合) 综合得：1/3 <X< 1.3、23、解：1由于点)在椭圆上,1 得 2 a =4,2(. 3)2( 2 )a2b2椭圆C的方程为1，焦点坐标分别为(1,0),(1,0)2设KF1的中点为Bx, y那么点 K(2x 1,2 y)2把K的坐标代入椭圆42y32中得2(2y)13线段KF1的中点B的轨迹方程为(

17、x1)22壬134分3过原点的直线L与椭圆相交的两点设 M (Xo,yo) N( Xo, yo), p(x, y),N关于坐标原点对称M, N,P在椭圆上,应满足椭圆方程,2Xo2ayo210分kpM Kpn =x Xo22yy。yy。22x x。XX。a213分故: kPM Kpn的值与点P的位置无关,同时与直线L无关,14分2例4、解：I椭圆的标准方程为 -5分设 A(X1, yj , B(X2, y2),y kx m,联立 x2 y2得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0,1.43X-Ix2x/x264m k 16(3 4k )(m3)0,即 3 4k8mk2，3 4k24(

18、m23).3 4k0,则2(kx1 m)(kx2 m) k x1x2 mk(x1 x2)m23(m2 4k2)254k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0),kAD kBD1，即一y22Xix22yiy2X1X22(Xi X2)3(m2 4k2)3 4k24(m23 4k216mkk 4 0，29m2216mk 4k20 .解得:2k , m2琴，且均满足34k2m201、当m12k时，I的方程为yk(x 2),直线过定点(2,0)，与矛盾;2、当m2丰时，丨的方程为y所以,直线I过定点，定点坐标为14 分例5、F1(o,、2),F2(o, 2)，设 P(xo,yo)(xo O,yo 0)那么PR ( Xo八2y0), PF2(Xo,.2yo),PF1 PF2 x (2 yf) 1点P(xo,yo)在曲线上，那么22xoyo彳1.24224 y。Xo242从而(2y2)1，得y。那么点P的坐标为(1/. 2)2由1知PFJ/x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k 0),1)得y . 2 k(x那么PB的直线方程为：讨、2 k(x 1)由22由y_ 124(2 k2)x22k(、2 k)x