圆锥曲线的光学性质

1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探圆锥曲线的光学性质1 1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另个焦点上；（见图1.1）椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在Fi处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于 F2处，对F2处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。证明：由导数可得 切线I的斜率k y xx0b2Xo2a yo，而PF,的斜率ki0, PF2的斜率k2xo cXoCyo b2xo1到PF1所成的角满足ta nk11kkk112Xoc a yoa2y2b2x： b2cxo2b X)yoa2 b2 Xoyo2 a cyo2Xo

2、cay。b2k k2b2Q P xo,yo在椭圆上, tan,同理，PF2到1所成的角满足tancyo1 kk2cyota ntan ，而， o, ，二21 2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；（见图1.2） 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用.1 3抛物线的光学性质 ：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3 ）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面

3、反射后能成为平行光束，使照射距离加大， 并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星 发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在 焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样 保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的.图1.1图1.2要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转

4、化及证明2 1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线I与曲线C交于P , Q两点，当直线I连续变动时，P , Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P , Q重合为一点 M此时直线I称为曲线c在点M处的切线，过M与直线I垂直的直线称为曲线 c 在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：22圆锥曲线光学性质的证明2 2预备定理1.若点P(xo,y°)是椭圆令2 1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：a bXoX2ayoy证明:22 Xb (12)，a1°当Xa时，过点P的切线斜率b2k一定存在，且k y'|x x0，对式求导：2yy' x

5、,aky'|xb XoXoa yo,切线方程为y。壘(x Xo)a yo,2X.点 P (Xo, yo)在椭圆 2a2XqaXgX2誥1，代入得a2而当x a时，yo切线方程为XqXy°ya，也满足式，故弓 將1是椭圆过点P(Xo,yo)的a b切线方程.预备定理 2.若点P(Xq, yo)是双曲线2笃 1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为:bXoXa证明:2由b-b2X2a2 ,2y b1),a时，过点p的切线斜率k，定存在，且k2b2对式求导：2yy'2x , k y'|xX)a222点P(xq, yo)在双曲线X每 1上，故Xq2aba而当xa时，y&

6、#176;0切线方程为Xb2X)a2y° '切线方程为yyo2(X Xo),a Yo2仏1 b2 1XoX代入得2ayoyb21，y lx Xq ,a，也满足式，故笙逬 1是双曲线过点a bP(xo,yo)的切线方程预备定理3.若点P(Xo,yo)是抛物线y22px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是yoy p(x xq)2证明：由y2 px，对x求导得：2yy' 2 pk y'lx xopyoP2当yo 0时，切线方程为y y (x x°)，即y°y yopx px°,yo2而 yo 2pxoyoy p(x xo)，而当yoO,

7、XoO时，切线方程为xo O也满足式,故抛物线在该点的切线方程是y°y p(x Xo).定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分(图 2.1)2 2已知：如图，椭圆 C的方程为 笃 笃 1，F1,F2分别是其左、右焦点，a bI且过点P的椭圆的法线，交 x轴于D，设 F?PDI是过椭圆上一点 P(xo, yo)的切线，I'为垂直于F1PD,求证:2x证法一:在C : -2a2 y b21上,P(xo, yo) C，则过点P的切线方程为:XoX2a缨 1，I'是通过点bP且与切线I垂直的法线，xoyo(2 Ab a c 2D() Xo,O)，a则

8、 I':(x (磚)a法线I'与X轴交于2c| RD |2 Xoc,| F2D |a|PFi| a exo,| PF21 a22_x 匡D!a2 O， IF2DI ex 匡刃吐2acxo2acxo，又由焦半径公式得:9O丨， PD是 F1PF2的平分线,| F2D| |PF2 |，故可得证法二：由证法一得切线I的斜率k y'|x x.b2xo，而 yoPF1的斜率k1，PF2的斜率ck2Xoyo"，到pf1所成的角c'满足：tank1 kXo2y° b XoXoc22a yo2 2a yob x°y°b2xg b2cx3(

9、a2 b2)xoyo2a cyo(xoc)a2yo2x P(x°,yo)在椭圆 c ： 2a2占 1上， tanb2同理，PF2到I所成的角k'满足tan cy° 'k2b21 kk2cyo ta ntan而','(o, 2)，-证法三：如图，作点F3，使点F3与F2关于切线I对称，连结Fl , F3交椭圆C于点P'下面只需证明点 P与P'重合即可。一方面，点P是切线I与椭圆C的唯一交点，贝U |PFi| IPF2I 2a，是I上的点到两焦点距离之和的最小值(这是因为I上的其它点均在椭圆外)。另一方面，在直线 I 上任取另一点

10、 P'', v|P'Fi | |P'F2| |P'Fi| |P'F3| IF1F3I |P”Fi|P''F2|即P'也是直线 AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P'重合，即而得证定理2 双曲线上一个点 P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分(图 2.2 );已知：如图，双曲线2亠xC的方程为a2y21 , Fi , F2分别是其左、右焦点,bI是过双曲线C上的一设 FiPDf2pdx轴于点D ,点P(xo, yo)的切线,交cc|PFil |-xo a|,|PF2| |-xoaaa| ,双曲线的

11、两焦点坐标为F (c ,0),F ( c,0),故a ca c| PF. |DF1|X0|-X0 a|，|DF2|R；X0 a|，諸|-Xo a| a|-X0 a| a|DFi|DF2|故，切线I为 FPF之角分线。定理3抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点 P处法线平分(图2.3 )。已知：如图，抛物线 C的方程为为y2 4cx，直线I是过抛物线上一图2.3点P(x0,y0)的切线，交x轴于D , DPF , PDF ,反射线PQ与I所成角记为，求证：证明： 如图，抛物线 C的方程为C : y2 4cx，点P(xo,y。)在该抛物线上，则过点P的切线为y

12、6;y p(x Xo)，切线I与x轴交于D( x°,0)，焦点为F (c ,0)，(同位角)，|PF| 乂x c)2 y2 |xo c|,|DF|xo c| ,.|PF|DF|通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产 生活中有何应用呢？ 三、圆锥曲线的光学性质的应用3 . 1解决入射与反射问题例1.设抛物线C :y2 x，一光线从点 A (5, 2)射出，平行C的对称轴，射在 C上的P点，经过反射后，又射到 C上的Q点，贝U P点的坐标为 , Q点的坐标为 。解：如图，直线 AP平行于对称轴且A(5 , 2) ,则P点的坐标为(4, 2

13、),反射线 PQ 过点 F(-,0)，设 Q(t2,t),t2-，解得：t151 18， Q(64,例2.已知椭圆方程为25161，若有光束自焦点A(3 , 0)射出，经二次反射回到A点，设二次反射点为B,C，如图所示，则 ABC的周长图 4解：椭圆方程为2x252y161 中，c225 169 , A (3 , 0)为该椭圆的一个焦点，.自A (3, 0)射出的光线 AB反射后，反射光线 AC定过另一个焦点A （-3，0）故厶ABC的周长为:AB BA'A'CCA4a 4 5 20。A C，已知 A(4，2.2)，图 O图 yp/2x例3.双曲线C: 8F (4， 0)，若由

14、F射至A的光线被双曲线C反射，反射光通过P（8,k），则 k =解：入射线FA反射后得到的光线 AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点 F'( 4,0) , 乙2k 3.212 83 . 2解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决

15、了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。2 21，F1、F2为分别是其左右焦点，点Q(21)，P是C上的动点，求例4 .已知椭圆C：'259MF1MQ的取值范围。(一) 分析猜想:（1 ）经计算，Q（2,2）点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此MF,MQ应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F,射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图，光线从F,R Q），二是被下半椭圆反射（如图 ，光线从F,P2F2Q），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定

16、义，图 中的RF, |RQ| 2a （2a为椭圆长轴长），而 图中的F2F,RQ2a，可见图所示的情况距离之和更小。但是，最大值又是多少呢？图 所示的光线又有什么特点呢？将图3.2.1.和图中的光线反射路线合并图 ，由于RQP2RRQRF“是定值4a（a为椭圆长半轴长），而|RQ| |RF1由前面知最小，由此猜测RQ| PR可能就是最大值。（二）证明| RFjRQ是最小值。如图，连接Q F2，延长交椭圆于 R,，在椭圆上另取一点 R2，由椭圆定义知：PQ|QF2I|PF1IP2F1|R2F21（*），因为IRIIRQIQF2I，代入（*）式得：PQ| QF2I IBR | |巳可|RQ IQF

17、2I，所以，|RQ| |巳尺| |巳可| RQ |。猜想得证。（三）计算：综上所述，只需求出IF2QI（4 2）2 42 2 10，可得最小值为2a | F?Q| 10 2 10，最大值为 2a | F2Q| 10 2 10.2 y29例5.已知双曲线C： x2 L 1 , F1、F2为分别是其左右焦点，点 Q（4-） , M是C上的动32点，求MF2MQ的取值范围。分析猜想：经计算，Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然MF2 MQ可以无限大，故要求 MF2I |MQ|的取值范围，关键是求出MF? |MQ的最小值。根据光线的“最近 传播”特点，我们猜想：从 F1射出经双曲线反

18、射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从F1射出被双曲线反射后经过点 Q的光线：连接F1Q，与双曲线的交点即为使得 MF2MQ最小的点，设为 P点，光线从F2P Q 。（见图2）（二）证明：如图2 :按猜想作出点 P，由于所求点P显然不在双曲线的左支上（此时显然距离PF2I，即PF1IPF2PF1PF2 |，因为PF1PQ|PQ所以PF1PQPF2|PQPF1PF2IP Fj |，两边同加PF2 得:图 之和不会最小），故在右支上另取一点 P，由双曲线定义知：PF1 PF2 | PF1|

19、PQ PF1 PF2I,故 PQ |PF2 | PQ |PF2 |，猜想得证。(三) 计算：由题意知9*( 2,0), Q(4,),2|PQ| |PF21 | FQ | |F1P| |PF2|= |FQ| (|FiP| |PF2|)=|FiQ| 2A=-2例6.已知抛物线C: y2 4x , F是其焦点，点Q(2,1) , M是C上的动点，求|MF| |MQ的取值 范围。分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质(从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立)，结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点

20、可能就是使距离之和最小的点，设为P点(见图3.2.6 )。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且|PF| |PQ 33 . 3 .圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。光线反射总是满足反射定律(入射角等于反射角)，光线被曲线反射也 不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题 有着密切联系。以椭圆为例：如图3.3.1 ,1是过椭圆周上一点 P的椭圆的切线，m是P点处的法线，光线从Fi(F2)l2OFFiP .1- 2图 图 x2例7 已知I是过椭圆C： 162y121上一动点P的椭圆C的动切线，过C的左焦点F1作I的垂线,射出被椭圆反射

21、经过F?( Fi),满足/仁/2，且/3= Z4。求垂足q的轨迹方程。分析：如图3.3.2 ,本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于I是椭圆的切线，切点为P，联想到椭圆光学性质及反射定律， 可知：I是 F1PF2的外角平分线，F1关于直线I的对称点F2在F2P的延长线上。这样，由于 PF1 |PF2 |,故IF1 F2|PFIPF2I 2a 8，而Q、O分别是F1 F1、F2 F2的中点，所以|QO 4。从而Q点轨迹是以O为圆心、以4为半径的圆。即点 Q的方程为x2 y2 163 . 4在生产生活中的作用例8 某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图 341 ,其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm为单位的设计尺寸如 图342 为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少?图 图 解：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，开口方向为X轴的正向，建立坐标系如图3.4.2 ,则内壁抛物线方 程为y2 2px 据所示尺寸，抛物线过坐标为（40,85）的点，所以852 2p 4080p , p 90.3 加热点F应置于抛物线的焦点.焦点坐标为 （卫,0） （45.2,0） 所以F应距碟底约245.2cm。四圆锥曲线的光学性质在实际生活中应用举