增分专题八空间位置关系的判断与证明讲义理

1、重点增分专题八 空间位置关系的判断与证明全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷n全国卷川2018直线与平面所成的角、正方体的截面T 12求异面直线所成的角T 9面面垂直的证明T 19(1)面面垂直的证明T 18(1)线面垂直的证明T 20(1)2017面面垂直的证明T 18(1)求异面直线所成的角T 10圆锥、空间线线角的求解T 16线面平行的证明T 19(1)面面垂直的证明T 19(1)2016求异面直线所成的角T 11空间中线、面位置关系的判疋与性质T 14线面平行的证明T 19(1)面面垂直的证明T 18(1)翻折问题、线面垂直的证明T19(1)(1) 高考对此部分的命题较为稳定，一般为“

2、一小一大”或“一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题或只考一道解答题.(2) 选择题一般在第 911题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关 系的判断，难度较小.(3) 解答题多出现在第18或19题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明， 难度中等.考点一 空间点、线、面的位置关系保分考点练后讲评大稳定一一常规角度考双基1. 判定直线间的位置关系已知a是一个平面，m n是两条直线，A是一个点，若n? a , n? a,且A m A a，贝U m n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D .平行解析：选D因为a是一个平面，m n是两条直线，A 是一个点，m?

3、a , n? a,且 A m A a,所以n在平面a内，m与平面a相交，且A是m和平面a相交的点，所以m和 n异面或相交，一定不平行.2. 命题真假的判定已知直线 m I，平面a ,卩，且ml a, l ?卩，给出下列命题：若a /卩，则ml I ；若a丄卩，贝U m/ I ；若ml I，贝y a丄卩；若 mil ，贝y a丄卩.其中正确的命题是（）A.B .C.D .解析：选A对于，若a /卩，ml a，贝U ml卩，又I ?卩，所以ml I，故正确， 排除B.对于，若 m/ I , mla,则I丄a，又I?卩，所以a丄卩.故正确.故选 A.3. 线面垂直、面面垂直的判定 如图，在正方形AB

4、CDK E, F分别是BC CD的中点，G是EF的中点，现在沿 AE, AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B, C, D三点重合，重合后的点记为 H,那么，在这个空间图形中必有（）A. AGL平面 EFHB . AHL平面 EFHC. HFL平面 AEFD . HGL平面 AEF解析：选B根据折叠前、后 AHL HE AHL HF不变，得AHL平面EFH B正确；过A只有一条直线与平面 EFH垂直， A不正确； AGh EF, EFl GH AGP GH= G, EF丄平面 HAG 又 EF?平面 AEF 二平面 HAG_AEF过H作直线垂直于平面 AEF, 一定在平面 HAG , C

5、不正确；由条件证不出 HGL平面AEF D不正确故选 B.4.求异面直线所成的角（2018 全国卷n ）在正方体 ABCDAiBiCD中，E为棱CG的中点，则异面直线 AE与 CD所成角的正切值为（）A.D.解析：选C如图，连接BE因为AB/ CD所以AE与CD所成的角为/ EAB在 Rt ABE中 ,设 AB= 2,贝U BE= '5 ,则 tan/ BE込/ EAB= AB=T ,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为/52 .解题方略判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法（1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判 断.（2）借助空间几何模型，

6、如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结 合有关定理，进行肯定或否定.（3）借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相 矛盾的命题，进而作出判断.小创新一一变换角度考迁移1.与充要条件的交汇设I , m n为三条不同的直线，其中 m n在平面a内，则“ I丄a ” 是 “ I丄m且I丄n” 的（）B 必要不充分条件A.充分不必要条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A当I丄a时，I垂直于a内的任意一条直线，由于m n? a ,故“ I丄m且I丄n”成立，反之，因为缺少 m n相交的条件，故不一定能推出“I丄a”，故选A.2.线面位置中的创

7、新某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目.图2圏3项目：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目：打开过程中（如图2），检查OMI= ON= O M = O N ;项目：打开过程中（如图2），检查OQ O O K' = O' L'项目：打开后（如图3），检查/ 1=Z 2 = Z 3 =Z 4= 90°项目：打开后（如图3），检查AB= CD= A B' = C D .A.C.在检查项目的组合中，可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（）B .D .解析：选B A选项，项目和项目可推出项目，若/MONZ M O N'，贝U MN

8、较低，M N'较高，所以不平行，错误；B选项，因为Z 1 = Z 2=Z 3=Z 4= 90°所以平面ABCD平面A' B' C D，因为AB= A B'，所以AA'平行于地面，由知，00 '/ AA' /平面MNN M ,所以桌面平行于地面， 故正确；C选项，由得，OW ON OA 丄AA' , O ' A丄AA' , AB= A B ,所以AA / BB，但OA与O ' A是否相等不确定，3.线面角与体积交汇（2018 全国卷I所以不确定OO'与BB是否平行，又 OO'/ MN

9、所以不确定 BB与MN是否平行，故错 误；D选项，OP OL= O K'=O L'，所以 AA / BB，但不确定 0M与 ON O' M ,0' N ' 的关系，所以无法判断 MN与地面的关系，故错误综上，选 B.）在长方体 ABCDAiBCD 中，AB= BC= 2, AG与平面BBCC所成的角为30°则该长方体的体积为（）A. 8B 6 .' 2C. 8 '2D 8 ;'3aa解析：选C 如图，连接 AC, BC, AC / AB!平面BBCC,/ACB为直线AC与平面BBGC所成的角，二/ ACB= 30

10、6;又AB=2BC= 2,在Rt ABC 中, AS sn丽=4.在Rt ACC 中，CC'AC Ac=：42-22+ 22= 2 '2,V长方体=AB BCk CC = 2X 2X2 !2 = 82.4. 线面角与面积交汇（2018 全国卷口 ）已知圆锥的顶点为 S母线SA SB所成角的余弦值为7 SA与圆锥底面所成角为 45°若厶SAB的面积为 新5,则该圆锥的侧面积为解析：如图， SA与底面成45°角,SAO为等腰直角三角形.设 OA= r,则 SO= r, SA= SB= : 2r.在厶 SAB中, cos / AS* 7, sin/ ASB=15S

11、AB=SB- sin1解得r = 2 10,- SA= 一!2r = 4 . 5，即母线长 I = 4 ,'1 5, S圆锥侧=n rl =nX2 .10X4 5= 40-；：£2 n.答案：40 .'2 n考点二空间平行、垂直关系的证明析母题一一高考年年“神”相似典例 如图，在四棱锥 P-ABCDL AB/ CD ABL AD CD= 2AB 平面PADL底面ABCD PAL AD E和F分别是CD和PC的中点，求 证：PAL底面ABCD(2) BE/ 平面 PAD(3) 平面BEFL平面PCD证明(1) 平面PAD_底面ABCD且PA垂直于这两个平面的交线 AD

12、PA?平面PAD PAL底面 ABCD(2) T AB/ CD CD= 2AB E 为 CD的中点， AB/ DE 且 AB= DE四边形ABED平行四边形. BE/ AD又 BH平面PAD ACP平面PAD BE/ 平面 PAD(3) T ABL AD且四边形 ABED为平行四边形. BE! CD AD丄 CD由知PAL底面ABCD PALCDt PAH AD= A, PA> 平面 PAD ACP 平面 PAD CDL平面PAD又PD?平面PAD CDL PDt E和F分别是CD和PC的中点， PD/ EF, CDL EF又 BEL CD且 EFn BE= E, CDL平面 BEF又C

13、D?平面PCD平面BEFL平面PCD练子题一一高考年年“形”不同1 在本例条件下，证明平面 BE巳平面ABCD 证明：如图，连接 AE AC设ACT BE= O连接FO/ AB/ CD CD= 2AB 且 E为 CD的中点， AB綊 CE四边形ABCE为平行四边形.1 O为AC的中点，贝U FO綊2PA又PAL平面ABCD FCL平面 ABCD又 FO?平面 BEF平面BEFL平面 ABCD2 在本例条件下，若 AB= BC求证BE!平面PAC证明：如图，连接 AE AC设ACT BE= O/ AB/ CD CD= 2AB 且 E 为 CD的中点. AB綊 CE又 AB= BC 四边形 ABC

14、E为菱形， BE! AC又 PAL平面 ABCD BE?平面 ABCD PAL BE又PAT AC=代PA?平面PAC AC?平面PAC BE!平面 PAC解题方略1. 直线、平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：a? a , b? a , a/ b? a/ a .线面平行的性质定理：a/a , a?(3,a T 3 = b? a/ b. 面面平行的判定定理：a?3 , b?3,an b= P, a/ a ,b/ a ? a/ 3 .面面平行的性质定理：a / 3,久门丫= a, 3门丫= b? a / b.2. 直线、平面垂直的判定及其性质 线面垂直的判定定理：m?a,n?a,mn n=

15、 P,l丄m,l丄n?l丄a.(2)线面垂直的性质定理：a丄a,b丄a?a/ b. 面面垂直的判定定理：a?3,a丄a?a丄3 .面面垂直的性质定理：a丄3, an3= l , a?a,a丄I?a丄3 .多练强化1.(2019届高三郑州模拟)如图，四边形ABCD与四边形 均为平行四边形， M N, G分别是AB AD EF的中点.求证：BE/平面DMF(2)平面BDE/平面 MNGADEF证明：如图，连接 AE贝U AE必过DF与GN的交点Q连接MQ则 皿伪厶ABE的中位线，所以 BE/ MQ又BE?平面DMF MQ 平面DMF所以BE/平面DMF(2)因为N, G分别为平行四边形 ADEF的

16、边AD EF的中点，所以DE/ GN又DE?平面MNG GN?平面MNG所以DE/平面MNG又M为AB的中点，N为AD的中点，所以MNA ABD的中位线，所以 BD/ MN又BD?平面MNG MN平面MNG所以BD/平面MNG又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE/平面MNG2.如图，在四棱锥P-ABCD ,平面PABL平面 ABCDAD/ BC1PAL AB CDL AD, BC= CD= qAD求证：PAL CD(2)求证：平面 PBDL平面PAB证明： 因为平面PABL平面ABCD平面PABH平面ABCAB又因为PAL AB所以PAL平面ABCD又CD?平面ABCD所以

17、PAL CD取AD的中点为E,连接BE,由已知得，BC/ ED且BC= ED所以四边形BCD是平行四边形，又CDL AD BC= CD所以四边形 BCDE正方形,连接CE所以BDL CE又因为 BC/ AE BC= AE所以四边形ABCE!平行四边形，所以 CE AB,则 BDL AB由(1)知PAL平面 ABCD所以PAI BD又因为PAn AB= A,所以BDL平面PAB因为Bt?平面PBD所以平面 PBDL平面PABADC= 90° ° ABACC与平面增分考点 考点三平面图形中的折叠冋题讲练冲关典例(2019届高三湖北五校联考)如图，在直角梯形 ABCD , /1/

18、 CD, AD= CD= 2AB= 2 , E为AC的中点，将厶ACM AC折起，使折起后的平面ABC垂直，如图.在图所示的几何体 D-ABC中.(1)求证：BCL平面ACD 点F在棱CD上,且满足 AD/平面BEF求几何体 F-BCE的体积.解(1)证明：T AC= ijAD+ CD= 2叮2 ,/ BA(=Z ACD= 45° ° AB= 4 ,在厶 ABC中 , BC= AC+ Ab 2ACX ABx cos 45 ° = 8 ,AB= aC+ bC= 16 , ACL BC平面ACDL平面 ABC平面ACDn平面 AB(= AC BC?平面ABC BCL平

19、面 ACD/ AD/平面BEF AC?平面ACD平面ACDn平面BEF= EF, AD/ EF,/ E为AC的中点， ACD的中位线,1由(1)知,VF-BCE= Vb-CEF= 3 X SL cefX BC311 11SLcef= _SLacd=2X 2=,44 22'1 1BCE= 3 x 尹.-'2 =解题方略平面图形折叠问题的求解方法(1) 解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线 段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2) 在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折 叠

20、前的图形.多练强化如图，在矩形 ABCDK AB= 3, BC= 4, E, F分别在线段 BC, AD上，EF/ AB将矩形ABEF沿 EF折起，记折起后的矩形为 MNEF且平面 MNEIF平面ECDF如图團4Dc(1)求证：NC/平面MFD若EC= 3，求证：NDL FC;求四面体NEFD体积的最大值.解：(1)证明：四边形 MNEI和四边形EFDC都是矩形, MN/ EF, EF/ CD MN= EF= CD 二 MN綊 CD四边形 MNC是平行四边形， NC/ MD/ NC?平面 MFD MD 平面 MFD NC/ 平面 MFD(2)证明：连接ED平面MNEL平面ECDF且NEL EF

21、,平面MNER平面ECD=EF, NR 平面 MNEF NEL平面 ECDF/ FC?平面 ECDF FCL NE EC= CD 四边形 ECDF为正方形， FCL ED又 EE NE= E, ED NE> 平面 NED FC丄平面NED ND?平面 NED NDL FC 设 NE= x,贝U FD= EC= 4- x,其中 0<x<4 ,由得NE1平面FEC四面体NEFD勺体积为VNefx1efd1-NE= 2X(4 - x).V四面体nefdC 21 x+当且仅当x = 4-X,即x= 2时，四面体 NEF啲体积最大，最大值为 2.逻辑推理一一转化思想在平行、垂直证明中的

22、应用ABDEF典例 如图，在三棱锥 A-BCD中, AB1 AD BCL BD平面 丄平面BCD点E, F(E与A, D不重合)分别在棱AD BD上 ,且 丄AD求证：EF/平面ABC ADL AC证明在平面ABD内 ,因为 ABL AD, EFL AD 所以 EF/ AB又因为EF?平面ABC AB?平面ABC所以EF/平面ABC 因为平面 ABDL平面BCD平面 ABDT 平面 BCD= BD BC?平面 BCD BCL BD 所以BCL平面ABD因为AD?平面ABD所以BCL AD又 ABL AD BCT AB= B, AB?平面 ABC BC?平面ABC所以ADL平面 ABC 又因为A

23、C?平面ABC所以ADL AC素养通路本题(1)证明线面平行的思路是转化为证明线线平行，即证明EF与平面ABC内的一条直线平行，从而得到EF/平面ABC (2)证明线线垂直可转化为证明线面垂直，由平面 ABD丄平面BCD根据面面垂直的性质定理得 BCL平面ABD则可证明AD丄平面ABC再根据线面垂直的性质，得到 ADL AC考查了逻辑推理这一核心素养.专题过关检测一、选择题1 已知E, F, G, H是空间四点，命题甲：E, F, G, H四点不共面，命题乙：直线 EF和GH不相交，则甲是乙成立的（）A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B若E, F

24、, G H四点不共面，则直线 EF和GH肯定不相交，但直线 EF和GH不相交,E F, G, H四点可以共面，例如 EF/ GH故甲是乙成立的充分不必要条件.2.关于直线A.若a /aB.若a _IC.若a丄aD.若a /a解析：选CA是错误的，因为,b丄 a,贝U bI a3 , ma ,贝U ml,a/ 3 ,贝V a 丄a , b及平面a , 3 ,下列命题中正确的是（）,a3= b,贝 U a / ba不一定在平面 卩内，所以a , b有可能是异面直线;B是错误的，若a丄3 , m/a ,则m与3可能平行，可能相交，也可能线在面内，故 B错误;C是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得

25、到C正确；D是错误的，直线与平面垂直,需直线与平面中的两条相交直线垂直.3.已知空间两条不同的直线m n和两个不同的平面a , 3，贝V下列命题中正确的是A.若m/a , n/3 ,a /3 ,贝 U ni/ nB.若m/a , n丄3，a I3，则m nC.若 mla , n/3 ,a _I3 ,贝 U mL nD.若 mla , n丄3 ,a _I3 ,贝 U mL n解析：选D 若m/a,n/3，a/ 3),则m与n平行或异面，即 A错误；若m/a丄3 ,贝U m与n相交或平行或异面，即 B错误；若 ml a , n 3, a丄3,贝U m与n相交、平行或异面，即C错误，故选D.4.如图

26、，在三棱锥 P-ABC中，不能证明 API BC的条件是（A.API PB API PCB.API PB BCI PBC.平面BPC_平面APC BCL PCD.API平面PBC解析：选B A中，因为 API PB API PC PBA PG= P,所以API平面PBC又BC?平面PBC所以API BC故A正确；C中，因为平面 BPCI平面 APC平面BP6平面 AP& PC,BCL PC所以BC丄平面APC又AP?平面APC所以API BC故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出 API BC故选B.5.如图，以等腰直角三角形 ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把厶ABDA

27、ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:flnctiC BDL AC BAC是等边三角形；三棱锥D-ABC是正三棱锥：平面ADCL平面ABC其中正确的结论是（）A.BC.D解析：选B由题意知，BDL平面ADC故BDL AQ正确；AD为等腰直角三角形 ABC的斜边BC上的高，平面 ABDL平面ACD所以AB= AC= BC BAC是等边三角形，正确； 易知DA= DB= DC结合知正确；由知不正确.故选B.6. （2018 全国卷I ）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 a所成的角都相 等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.3 "34B.2.33C.

28、 攀D.解析：选A 如图所示，在正方体 ABCCABiCD中，平面 ABD与 棱AA, Ai Bi, AD所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与 AiA, A Bi, Ai D平行，故正方体 ABCCA B CD的每条棱所在直线与平面 ABD 所成的角都相等.如图所示，取棱 AB BB, BC, CD, D D, DA的中点E, F , G, H M N则正六边形EFGHMN在平面与平面 ABD平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN=6x12丿2 2 2x sin 60、填空题7. （20 1 8 天津六校联考）设a , b为不重合的两条直线，a ,卩为不重合的两个平面, 给出下

29、列命题: 若a / a 且 b/ a ,贝U a / b； 若aLa且a丄卩，贝U a / 3 ； 若a丄卩，则一定存在平面Y ,使得YLa , 丫丄3；若a丄卩，则一定存在直线I，使得I丄a, I /卩. 其中真命题的序号是.解析：中a与b也可能相交或异面，故不正确. 垂直于同一直线的两平面平行，正确. 中存在y，使得Y与a ,卩都垂直，正确. 中只需直线I丄a且I?卩就可以，正确.答案：&若P为矩形ABCC所在平面外一点，矩形对角线的交点为0, M为PB的中点，给出以F四个命题： 0M/平面PCD0M/平面PBC0MT平面PDA0M/平面PBA其中正确的个数是解析：由已知可得 0M

30、/ PD二0M/平面PCD! 0M/平面PAD故正确的只有答案：9.如图，/ ACB= 90° DAL平面 ABC AEL DB交 DB于 E, AF1 DC交 DC于 F,且AD= AB= 2,则三棱锥 D-AEF体积的最大值为 .解析：因为 DAL平面ABC所以DAL BC又BCL AC DAO AC=代 所 以BCL平面 ADC所以 BCL AF又AF丄CD BCO CD= C,所以 AF丄平面 DCB 所以 AF± EF, AF± DB 又 DBL AE AEO AF= A,所以 DBL平面 AEF所以DE为三棱锥D-AEF的高因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以 AE= ,''2 ,设AF= a , FE= b,则厶AEF的面积=2X 2=*当且仅当a= b= 1时等号max=X "7 X3 2成立)，所以(VD-AEF)2 =6 .(2)由题意得AG AD,1 1所以V-ACE= 2VP-ACD= 4-ABCD1 1=4X3Sabcd，pa1 1=4X3x2X11.如图