最新两角和与差及二倍角公式讲义

1、两角和与差及二倍角公式一. 【复习要求】1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明二、【知识回顾】1 .两角和与差的三角函数sinC：亠）=；sin（：- - ） =；cos（用 5） =；cos（：_ - ） =；tan（二亠”）二；tan（卅二；2 .二倍角公式：在sin（_： ；"）,cos（:：£亠）,tan（二亠）中令:,可得相应的二倍角公式。sin2：二；cos2 ：=tan2：二。3 .降幕公式.2 2sin； cos .注意：二倍

2、角公式具有“升幕缩角“作用，降幕公式具有“降幕扩角”作用4. 辅助角公式y=asinx，bcosx 二 a2 b2 sin(x),(其中 a,b不能同时为 0)证明：y =sin x cosx = , a?absin xcosx)二.a2 b2 (cos sin x sin cosx) 二 a2 b2 sin(x )其中，cos®/ a , sin ®, b , tan =且角® 终边过点（a, b）.a b、a ba在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想；sin：cos：二女口： sin 二 1 cos：二5. 公式的使用技巧(1)连续应用：si

3、n(：亠，亠)=sin(-： " = sin(-： 1 -Jcoscos(-： 1 )sin（2） “i”的代换：sin2：£、cos2： =1, sin 1,tan 124（3） 收缩代换：y =sinx cos a2 b2 sin（x ）,（其中a,b不能同时为0）（4）公式的变形：丄,任、 tan a +tan P任任任任tan（二亠,）tan（二 X-）二 tan 二 1 tan “ tan（二 1 .-） tan_：tan :1 -tanot tan 戸tan（x I ） =tan： - tan ： - tan（：；-l;,） tan： tan :女口： tan9

4、5；_tan35 -/3tan95r'tan3& =。tan 70 ； tan 50' - 3 tan 70 tan 50： =。(5 )角的变换(拆角与配角技巧):- _ _ _ _ 1 _ _?- 2,= (nF)-'.：】，-_(*.：£)，(卅亠') © I')2 21 - - ：=()，()，(:亠，J - C -)，4 44242(6 )二倍角公式的逆用及常见变形二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。2 2

5、 2 2 :-sin : =2sin cos ， cos： = cos sin 1-2sin2cos 12 2 2 2 2 2a2ta n222 tan：二: 1 二 si n2： =(si n 二 cos：):(si 八 cos： )(si n： -cos：)22 a1 -ta n -25 三角函数式的化简(1)化简方法：直接应用公式进行降次、消项；化切为弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等。降幕或升幕(2 )化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。6三角函数的求值类型有三类(1) 给角求值：一般所给出的角

6、都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2) 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如a =(a +0 ) 0,2a =(a +0 )+(a B )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3 )给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。7三角等式的证明(1)三角恒等式的证明例1.根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、转换命题等方法，使

7、等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证明通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。若从结论开始，通过变形，将已知表达式代 入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约分抵消等 消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，可采用分析法进行证明。三【例题精讲】考点一、给角求值例 2.求值：2sin50 ： sin10(1 v3tan10) 】2sin280【反思归纳】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值化为正负相消的项，消去求值化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值。考点二、给值求值

8、2 =2cos sin例3.已知tan 2=3 i 335例 4.已知 o,cos(-:),sin() ，求 sin(:：£ 亠卩)的值4445413考点三、给值求角11例 5.已知 tan(_ J,tan，且，,三(0,二)，求 2一 的值.27考点四、三角函数式的化简与证明1 cosxsin x 1cosxsinx例 6.已知 f (x)，且 x = 2k ,k Z1 -sinxcosx 1 -sin x+cosx2(1) 化简 f (x)1 +ta n2'xQ(2) 是否存在x，使tan f (x)与-相等？若存在，求出x ;若不存在，说明理由。2sin x例 7.已知

9、 5sin . =3sin（: -2 '），求证：tan（） 4tanl =0【练习】1.已知tan ： =2，则sin 2： -cos2：1 cos2 :2.求值：tan20：tan 60巾 tan 60"tan10： tan 10，tan 20 二33.在 ABC中，已知cos（ AH -，则cos2A的值为454.（08年高考山东卷改编）已知cos（： -石）sin 二戸,7兀则 sin（：石）=、135.（07 年咼考江苏卷）若 cos（用 ' I-'）,cos（:; ） ，贝V tan -：s tan，=556.（08年江苏卷）如图，在平面直角坐标第 xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知 A B的横坐标分别为一2，乙5,B105(1) 求 tan仁.I.')的值;(2 )求:2 ：的值1 17. 已知：、I，为锐角，向量 a = (cos ,sin : ), b = (cos :,sin ：) , C = (一 _一).2 ' 2(1)若 a b -, a c =-,求角 2-.-的值；24若a =b c ,求tan用