学法巧手指——圆周运动、天体运动

1、学法巧手指圆周运动万有引力定律与天体运动1. 圆周运动中的速度及加速度速度：对于一般的圆周运动而言，线速度的大小是变化的，方向也在时刻变化；而对 于匀速圆周运动来讲，仅仅是线速度的方向在变。所以，匀速圆周运动是“匀速率圆周运动”； 所有的圆周运动都是变速运动，做圆周运动的物体一定具有加速度。加速度：对于匀速圆周运动而言， 物体所具有的加速度一定指向圆心， 所以叫做向心 加速度；而对于做一般的圆周运动的物体来讲， 加速度可以分解为半径方向上的加速度 - 向心加速度和切线方向上的加速度， 向心加速度改变线速度的方向， 切线方向上的加速速度 用来改变线速度的大小。例题1.下列说法中正确的是A.圆周运

2、动中的加速度一定指向圆心B .做匀速圆周运动的物体，其线速度一定不变C .做匀速圆周运动的物体，其角速度一定不变D.在变速圆周运动中，向心加速度不一定改变物体线速度方向答案：C2. 圆周运动中向心力来源问题匀速圆周运动中向心力来源例题2.下图1中的四种情况中，各质点都在作匀速圆周运动，分别指出向心力来源 （填在相应的空格处）1k、G15Is T吹 '0 J甲乙小韧块A嵌在匀速转动小球B挂在细线下端, 的水平转台上，和转合保开在水平面內做匀速 持相对謫止启周运动"卜球C在內壁光滑的 倒立园锥理內麦而做小物块D在直立13 筒田內壁上隴圆筒 做呀谨風周运动图甲中是、和的合力提供小物

3、块A所需要的向心力；图乙中是和的合力提供小球B所需要的向心力；图丙中是和的合力提供小球C所需要的向心力；图丁中是、和的合力提供小物块D所需要的向心力。答案：图甲中：重力、支持力和静摩擦力；图乙中：重力和绳的拉力； 图丙中：重力和支持力； 图丁中：重力、支持力和静摩擦力。非匀速圆周运动中向心力来源例题3.在如图2所示的两种情况中，分析向心力来源并填写在横线上：图甲中，悬挂在细线下端的小球以速度 v经过图中的位置时， 是力和力在绳方向上的合力提供小球所需要的向心力。图乙中，水平向右的匀强电场中， 带负电的小球沿竖直放置的光滑轨道上 升，以速度v经过图中的位置时，是 力、力沿轨道半径方向 上的分力和

4、力的合力提供小球所需要的向心力。解析：如图3所示的丙和丁分别 为甲、乙两图中小球的受力示意图， 由圆周运动知识可知，丙图中是由绳 的拉力和重力沿绳方向上分力的合力 提供小球所需要的向心力；而丁图中 则是由重力、电场力分别沿轨道半径 方向上的分力和轨道的压力这三者的 合力提供小球所需要的向心力。答案 图甲中：绳的拉力重力； 图乙中：重力、电场力、轨道的压力。o乙可见，在匀速圆周运动中，是所有外力的合力提供了物体做匀速圆周运动所需要的向心 力；而在变速圆周运动中，是所有外力在半径方向上的分力的合力提供物体所需要的向心力。 对变速圆周运动，切线方向上的合力使物体产生了切线方向上的加速度，因此线速度大

5、小是变化的。3. 圆周运动中的追及问题以前所涉及的追及问题，物体都是在一条直线上运动的，其实在曲线运动中也存在着物体之间的追及现象。例题4.甲、乙两运动员在同一圆形轨道上从同一地点同时沿同一绕向进行比赛，可认为甲、乙二人做的都是匀速圆周运动，若甲的周期为T1，乙的周期为T2，并且T1 > T2。试求：经过多长时间甲、乙两运动员相距最远？经过多长时间他们相距最近？解得(2k1)k 0,1,2,(2k1)T22(Ti T2)0,1,2,解析：设从开始运动经过时间 t甲、乙两运动员相距最远，依题意，这时他们一定是在 圆形轨道同一直径的两端，则有加 _(2k1)T1 T2即，经过t12两运动员相

6、距最远。2(T2)同理，若设经过时间t两运动员相距最近的话，则有乩乩 k 2 , k 1,2, T2T1解得 tkT1 T2 , k 1,2,(T1 T2)kT T即，经过t1-两运动员相距最近。仃 1 T2）命题解读：这是一个在同一圆形轨道上的两物体间的追及问题，两者相距最远时一定在同一直径的两端，相距最近时一定在同一地点，解决的关键是考虑他们各自与圆心的连线所 转过的角度关系。其实在做完这道题目之后，可以思考下面的两个问题： 若要求两者相距最远或最近的最少时间呢？ 若题目中两运动员分别是在同心、但半径不相等的两个圆形轨道上呢？何时两者相距 最远？何时两者又相距最近呢？4. 圆周运动中的临界

7、问题直线运动中我们已经做过很多临界状态的分析、判断和求解的问题， 在曲线运动中也会遇到“当时，恰好”的临界问题。2m，两例题5.两绳AC和BC同时系一质量为 m 0.1kg的小球，且 AC绳长为I绳都拉直时与竖直方向的夹角分别为300角和45°角，如图4所示。当小球以 3rad/s绕AB为轴转动时，上、下两绳的拉力分别是多少？解析：由于两根长度不冋，小球绕 AB为轴转动的角速度由0逐渐增大时，最先被拉直的应该是绳AC，当角速度增大到某一数值01时,解得mg tan 30°01g tan 300 ,I sin3O0rad / s2.4rad /s同理可以求得，当角速度继续增大

8、到某一数值02时，又会出现AB刚好被拉直的情况，则有023.3rad / s会出现绳BC刚好被拉直（绳中无张力）的情况，此时是重力和绳 AC的拉 力提供了小球做匀速圆周运动的向心力，如图5所示，由圆周运动知识得显然，这两个临界状态下的角速度值与题中所给的加速度有如下的关系，即01 V V 02由此可以判断题中所求的是两绳AC和BC都被拉直并且都存在拉力的情况，设此时两绳AC和BC对小球的拉力分别为F1和F2，如图6所示，则有0 0 0 2F1 sin30F2 sin 45m I sin30F1 cos300 F2cos45° mg解以上两式，得F10.27N , F21.09N即，绳

9、AC和BC对小球的拉力分别为 0.27N和1.09N。命题解读：此题中，由于 01 v v 02，所以判断的结果是两绳都被拉直，并且都产生了对小球的拉力。若出现v 01或 > 02的情况时，两绳 AC和BC与竖直方向的夹角就将分别小于30°角或大于45°角了，就会出现其中一绳不产生拉力，这时要根据具体的 受力分析列出相应的关系式进行求解。例题6.如图7所示，一质量 m 2kg的小球从光滑斜面上某处由静止滚下，斜面底端与一个半径R 1m的竖直放置的光滑圆环相接，试求： 小球至少应从多高处由静止滚下才能越过圆环的 最高点？若小球从h 2m处由静止滚下时将在何处脱离 圆环？

10、解析：设小球至少应从高为 h处由静止滚下，如 图所示，由机械能守恒定律和圆周运动知识可得1 2mg(h 2R)mv02 V。mg my R解得 h 2.5m由于h 2m v 2.5m，所以小球在从圆形轨道的右侧向上滚动的过程中将不会到达9所示，设小球在A处刚好脱离轨道（对轨道压力为零），此时小球的速度为得mg(h RRcos )- mv22mg cos2V mR解得12 cos -3v,由机械能守恒定律和圆周运动知识,圆形轨道的最高点，在到达最高点之前就已经脱离轨道。如图命题解读：此题的第一问中，问“至少应从多高处由静止滚下才能越过圆环的最高点 意思就是要求小球刚好到达圆周的最高点，第二问中，

11、轨道对小球压力恰好为零的位置就是小球脱离轨道的地方，这都是临界状态问题。5. 万有引力定律和圆周运动规律的结合宇宙中星体的运动是比较复杂的，但在研究讨论某些星体的运动时，都是当成最简单、也是最典型的匀速圆周运动来处理。例题7.某载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h 342km的圆形轨道。已知地球半径R 6.37 103km，地球表面处的重力加速度2g 10m/s。试推导出飞船在上述圆形轨道上运行的周期T的表达式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）。解析：飞船绕地球做近似的匀速圆周运动，需要的向心力由地球对它的万有引力提供, 则有MmG

12、p mr（）rT地球表面处的物体的重力等于万有引力，即MmG -R2hmg又r R解以上三式的得(R h) R h R代入数据，得35.4 10 s命题解读：这类有关卫星或飞船绕天体做圆周运动的计算问题中，一般只需把握两个方面就可以了，第一个 （也是最重要的）就是万有引力恰好提供向心力，第二个则是天体表面物体所受的的重力等于万有引力。6.运用运动学知识求解（任意星体）第一宇宙速度所谓第一宇宙速度，就是在某一星体表面发射一颗绕该星体表面飞行的卫星所需要的发 射速度，即在该星体表面发射卫星所需要的最小速度。例题8.宇航员在某一星球上以速度 v0竖直上抛物体，经t s落回手中。已知地球的半径为R，该

13、星球的半径为地球半径的一半。那么，至少要用多大的速度沿星球表面抛出物体， 它才不至于再落回该星球表面？解析：设地球表面的重力加速度为 g，该星球表面的重力加速度为g，则由竖直上抛运动规律和万有引力定律得£ V02 gmgmgMmR2其中M、M 分别为地球和该星球的质量。要想使沿星球表面抛出的物体不至于再落回该星球表面，设最小的速度为 v （即第一宇宙速度），则根据圆周运动知识，得为该物体的受力情况，其中 大小，由牛顿第二定律得F为测力计对物体的作用力，即物体此时的“视重”F mgma2 v mg mR1再代入R R，解得Rvot命题解读：这是一道万有引力定律和运动学知识结合的题目，解题的关键就是把联系万有引力定律和运动学知识的 “桥梁”一一重力加速度 g求出来，另外，还要理解第一宇宙速 度的真正含义。7.宇宙飞行中的超重和失重宇宙飞行中的超重和失重通常有两种情况，一是近似做匀速圆周运动的星体或宇航器，万有引力恰好提供了它们所需要的向心力，这是一种完全失重的情况； 二就是在宇航器起飞或降落过程，或是由于高度变化引起重力加速度变化，而造成的超重或失重。例题9.飞船以加速度a -（ g为地球表面的重力加速度）匀加速上升，测得在地面2上10kg的物体重力为 75N，由此可求出此时