最新全国3卷第21题的命题背景及解法探究资料

1、2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究高观点下函数导数压轴题的系统性解读不得不读 淘宝上的博约书斋店铺：唯一正版且第二版例.（2018全国3卷第21题）已知函数 f x = 2 x ax2 In x 1 _2x（1） 若 a = 0，证明：当1 ： x : 0 时，f x ： 0 ；当 x 0 时，f x j 0 ；（2） 若x = 0是f x的极大值点，求a【解析】(1)若 a =0，则 f x = 2 x In x -2 x 2 In2xx _x 22x令gx小x 1-门，则g'x =x2x Cx 2x1x 220所以g x在0,七单增，又因为g 0 =0故当 一1 ： x

2、： 0时，g x : g 0 =0 ,即 f x ： 0 ；当 x 0时，g x g 0 i；=0 ,即 f x > 0 ；点评：如果直接求导，完全处理掉对数，需要二次求导，而高观点下函数导数压轴题的 系统性解读在第四章在 4.6和4.7两个技巧，其中之一就是对函数的处理，希望对数函数 单独存在，则一次求导就瞬间可破。（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数y二f x在x=x0处各阶导数都存在且连续，x是函数的极大值点的一个充要条件为前2n -1阶导数等于0,第2n阶导数小于0。）f' 0 A02 + x +ax2f' x =1 2ax In x 1 一 -2，x

3、 +12 + x + ax2x(3ax + 4a +1)f'' x = 1 2ax In x 1-2 =2aln x 1 x 3ax 4?1f 0 = 0x+1(x + 1ff''' x =2ax2 6ax - x 6a 1x 13，由Lx"得y1下证：当$时，x"是fx的极大值点,1x x 6f''' x二 3 ，所以f'' x在-1,0单增，在0：单减（x+1 3进而有f'' x _ f'' 0=0，从而f' x在1,= 单减，当 xw.1,0 时，f

4、' x f'0i=0，当 x 0,:：时，f'x：f'0i=0从而f x在1,0单增，在0, ：单减，所以x = 0是f x的极大值点。高观点下函数导数压轴题的系统性解读一书在第三章大学知识在导数中的应用，3.1节介绍的是极值点的两个充要条件，借助第二充要条件即可突破，并且以2016山东文科压轴题为例进行应用。(点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就 着自己的兴趣，不断学习，学而致知。基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。通过12xy =1 n x 1在1,2阶的帕德逼近可得In x 12，且两个函数在x =0处两12

5、+ 6x - x个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法。由此可以迅速得到1a，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相6应的题目。尝试一难点在于f x的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。高观点下函数导数压轴题的系统性解读副主编张栩瑞一书在 3.6节介绍了各种无理数的估值和函数的逼近，禾U用这个可以变出很好地改编高考压轴题，现在已经以三角函数、指 数函数编出了好几个题。下面也是他基于对帕德逼近推导的深刻，给出了一个更优化的解 法。引理1 :若y=fx与gx二-P-x在x = X0处函数值和导数值都相同，则 q(x)h x =q x f x p

6、 x 在 x处导数为 0 .证明：h' x i = q' x f x !亠q x f' x - p' x , g'x = P xqx2_pxq xq (x)因为f'X。二g'X。，且fX。二gX。，代入化简即证：h'x°=0引理2 :已知函数y = f x在x二X0处各阶导数都存在且连续，x = x°是函数的极大值点的一个充要条件为前 2n-1阶导数等于0，第2n阶导数小于0。2 + x +ax2f' x = 1 2ax In x 1-2 ,x +1令 m x = - 12ax In x 1 ,2 x

7、ax2x 1则易得 m0i = u 0 , m' 0 1=u' 0 , m'' 01=u'' 0 ,1 由引理1知，m'''O二u'''O等价于f'''x=O，从而迅速求得a二61当 a 时，f 4 0 ：06尝试二：若x = 0是f x的极大值点，注意到 f' 0 = 0 , 则存在充分接近于 0的.，使得当x三心,0时，f' x . 0 ,当x三0,:.时，f' x :：: 0 *得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法。f'(x&q

8、uot;xln(x+1)+召I_对任意的x -1=，都有2xln x 10，进而有2x2xln x 10x + 12x2xln x 1x+1xklnx 1当-0 时，a 三 lim -2xt+x22x ln x 1x+1=lim斤1nx 1 'x )0 '2x|nx1x1x ln x 1当 x 0时，a ： x 1-x-1当3,0时,lim -.2lim _ _T 2(x +1 fln(x +1 )+3x2 +4x t 4(x +1 Jn(x +1 )+2(x +1)+6x +46-ln x 12xln x 1当-0 时,a 乞 limxTxln x 1x 12xln x 1l

9、im -x )0 亠x 12xln x 12xx 1-1二 lim 22二 lim7一2(x +1 ) In (x +1 )+3x +4x 74(x + 1 )ln(x +1 )+ 2(x +1 )+6x + 4（点评：把复杂问题转化为基本问题，这是一种基本方法，即把问题转化为两个恒成立， 求参数的值。这在淘宝上的博约书斋店铺的全国卷高考数学的分析及应对已经把转化 为基本问题视为破解压轴题的有效策略，还有思维说、方法论（笛卡尔），非常有效，可以给出全国卷很多压轴题新的解法。在高观点下函数导数压轴题的系统性解读的3.2节以邻域的观点给出极值点的充要条件，有助于学生对极值点的准确理解，从而避开了求导研 究单调性，直接用罗必塔法则。高观点下函数导数压轴题的系统性解读的 3.1节系统地论述了极限和洛必达法则。）尝试三：按照波利亚的解题策略，我们联想到一个类似的题目，其思维方法是可以借鉴的。此