柱体、锥体、台体的表面积和体积 (2)

1、现在学习的是第一页，共47页问题提出问题提出 对于空间几何体，我们分别从对于空间几何体，我们分别从和和两个方面进行了研究，两个方面进行了研究，为了度量一个几何体的大小，我们为了度量一个几何体的大小，我们还须进一步学习几何体的还须进一步学习几何体的. .现在学习的是第二页，共47页思考思考1:1:面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的空间几何体而言的. .你知道面积和体积的含义吗？你知道面积和体积的含义吗？面积面积:平面图形所占平面的大小平面图形所占平面的大小 体积体积:几何体所占空间的大小几何体所占空间的大小 思考思考2:2:所谓所谓表

2、面积表面积，是指几何体表面的面积，是指几何体表面的面积. .怎样理怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？解棱柱、棱锥、棱台的表面积？现在学习的是第三页，共47页 在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题现在学习的是第四页，共47页 多面体是由一些平面多边形围成的几何体多面体是由一些平面多边形围成的几何体，沿着多面体的某些棱将它剪开，各个面就可，沿着多面体的某些棱将它

3、剪开，各个面就可展开在一个平面内，得到一个平面图形展开在一个平面内，得到一个平面图形,这个平这个平面图形叫做该多面体的平面展开图面图形叫做该多面体的平面展开图.现在学习的是第五页，共47页 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？S表=S底+S侧现在学习的是第六页，共47页棱柱侧面展开图棱柱侧面展开图平行四边形组成平行四边形组成S表=S底+S侧现在学习的是第七页，共47页正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的

4、表面积？正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图ha现在学习的是第八页，共47页棱锥侧面展开图棱锥侧面展开图三角形组成三角形组成S表=S底+S侧现在学习的是第九页，共47页正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图现在学习的是第十页，共47页棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图梯形组成梯形组成7S表=S底+S侧现在学习的是第十一页，共47页正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图现在学习的是第十二页，共4

5、7页 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和算它的各个侧面面积和底面面积之和hS表=S底+S侧现在学习的是第十三页，共47页 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 D 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因此只要求因此只要求.因为因为SB=a，aSBSD236

6、0sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作SBCBCSD BCASa223434aaS现在学习的是第十四页，共47页 如何根据圆柱、圆锥、圆台的几何特征，求它如何根据圆柱、圆锥、圆台的几何特征，求它们的表面积？们的表面积？OOO SOO现在学习的是第十五页，共47页OOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形现在学习的是第十六页，共47页圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积

7、r2lOr现在学习的是第十七页，共47页 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 )(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环lrrS)(圆台侧面积现在学习的是第十八页，共47页lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？系？这种关系是巧合还是存在必然联系？rrr0现在学习的是第十九页，共47页_SS 圆圆柱

8、柱侧侧圆圆柱柱表表_SS 圆圆锥锥侧侧圆圆锥锥表表1.看图回答问题看图回答问题_SS圆圆台台侧侧圆圆台台表表2463116 做一做做一做现在学习的是第二十页，共47页 3.以直角边长为以直角边长为1的等腰直角三角形的一的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转，直角边为轴旋转，所得旋转体的表面所得旋转体的表面积为积为_.侧面展开图为正方侧面展开图为正方形，则它的表面积形，则它的表面积为为_ .1m224 2.一个圆柱形锅炉的底面半径为一个圆柱形锅炉的底面半径为 ,212m21现在学习的是第二十一页，共47页例例2.一个圆台形花盆盆口直径为一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆盆底直径为底直径为15cm,

9、底部渗水孔直径为底部渗水孔直径为1.5cm,盆壁长盆壁长15cm.为美化花盆的外观，需要涂为美化花盆的外观，需要涂油漆油漆.已知每平方米用已知每平方米用100毫升油漆，涂毫升油漆，涂100个这样的花盆，需要油漆多少油漆个这样的花盆，需要油漆多少油漆.(精确到精确到1毫升毫升,可用计算器可用计算器) 22现在学习的是第二十二页，共47页分析分析 (1)(1)花盆外壁的面积花盆外壁的面积= =花盆的侧花盆的侧 面积面积+ +底面积底面积- -底面圆孔面积底面圆孔面积23现在学习的是第二十三页，共47页 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆

10、底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 2cm现在学习的是第二十四页，共47页 面积公式：面积公式：172Sclrl圆柱侧2Sr rl圆柱表Sr rl圆锥表

11、12Sclrl圆锥侧22Srrrlrl圆台表Sl rr圆台侧OOrlr2r2lOrr2lOrO r2 r现在学习的是第二十五页，共47页蜜蜂爬行的最短路线问题蜜蜂爬行的最短路线问题.易拉罐的底面直径为易拉罐的底面直径为8cm,高高25cm.分析分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转化将问题转化为平面几何的问题为平面几何的问题. AB现在学习的是第二十六页，共47页蜜蜂爬行的最短路线问题蜜蜂爬行的最短路线问题.分析分析: 可以把正方体沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开可以把正方体沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转化为平面几何的问题将问

12、题转化为平面几何的问题.AB 正方体的边长为正方体的边长为cm，点离下底面，点离下底面cm，点离上底面，点离上底面cm现在学习的是第二十七页，共47页柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥圆锥现在学习的是第二十八页，共47页现在学习的是第二十九页，共47页 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式, ,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：ShV （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）现在学习

13、的是第三十页，共47页一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高高高h底面积底面积S现在学习的是第三十一页，共47页圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 31现在学习的是第三十二页，共47页ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）棱锥的体积公式：棱锥的体积公式：高高h h底面积底面积S S 现在学习的是第三十三页，共47页 将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那将一个三棱柱按如图所示分解

14、成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？体积有什么关系？ 1 12 23 31 12 23 3探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系棱锥体积也是同底等高的棱柱体积的棱锥体积也是同底等高的棱柱体积的 31现在学习的是第三十四页，共47页 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的底面面积乘高的 31ShV31ShV 现在学习的是第

15、三十五页，共47页 由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱锥棱锥) )截成的，因此可以利用两个锥体的体截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台积差得到圆台( (棱台棱台) )的体积公式的体积公式( (过程略过程略) )根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31现在学习的是第三十六页，共47页棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高SS现在学习的是第三十七页

16、，共47页柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高ShV 0SS分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高ShV31SS S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小现在学习的是第三十八页，共47页 例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，已知底面是正六边形，边长为，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问，问这

17、堆螺帽大约有多少个（这堆螺帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg 解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为252)956. 28 . 7(10008 . 5（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个现在学习的是第三十九页，共47页柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积ShV31锥体锥体hSSSSV)(31台体台体柱体柱体ShV SS 0S现在学习的是第四十页，共47页

18、现在学习的是第四十一页，共47页n设球的半径为设球的半径为R，它的体积只与半径有关，是以，它的体积只与半径有关，是以R为自变量的函数为自变量的函数.n如果球的半径为如果球的半径为R，那么它的体积，那么它的体积343VRR现在学习的是第四十二页，共47页n设球的半径为设球的半径为R，它的表面积由半径唯一确定，它的表面积由半径唯一确定，即表面积也是以即表面积也是以R为自变量的函数为自变量的函数.n如果球的半径为如果球的半径为R，那么它的表面积，那么它的表面积R24SR现在学习的是第四十三页，共47页例例1 1 如图，圆柱的底面直径与高都等于如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：球的直径，求证： （1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积. .23现在学习的是第四十四页