寻找异面直线所成角的切入1

1、寻找异面直线所成角的切入点异面直线所成角是用过空间一点分别作两条异面直线的平行线所成的锐角（或直角）来定义的.因此，求异面直线所成角的关键是如何确定角的顶点，下面 介绍几种求异面直线所成角的方法.一、从异面直线上的已知点切入过一条直线上的一个已知点，作另一条直线的平行线，这是构造异面直线所 成角时首先要考虑的方法.例1 （2004年广东省高考题）如图1,在长方体ABCD - AiBiCiDi中，已知AB = 4，AD =3，AA=2，E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB 二 FB = 1， 求ECi与FDi所成角的余弦值.解：DiCi / AE .在平面AECi Di内过点Di作D

2、i Ei /CiE交EA的延长线于Ei，则Ci DiEiE是平行四边形，且 EiDiF为ECi与FDi所成角（或其补角）.连结 E1F，在；E1 D1F 中，易求 EF26，14，FD , 24 .二；21：21cos. EiDiF ，即ECi与FDi所成角的余弦值为 一.1414评注：当过一条直线上的已知点直接引另一条直线的平行线有困难时，可构 造辅助平面（如例1中辅助平面AECiDi），在辅助平面内平移直线构造异面直线 所成角.二、从异面直线上的特殊点切入例 2 女口图 2,在长方体 ABCD - ABiCiDi 中,已知 AB = 3 , BC = 4，AA 12， 求AC与BDi所成角

3、.解：连结BD交AC于点O （特殊点），过点O在 对角面BDD1内作OE/BD1交DD1于E，贝U E是DD1的中点，且 AOE为AC与BDi所成角（或其补角）.1连结 AE ,在：O A冲,OE 二丄 BD2132AE 二 AD2 DE2 52 ,cos./AOE 二一丄65 . AOE为钝角，根据异面直线所成角定义,AC与BD所成角的余弦值为765评注：作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图 中无法判断，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判断这个角 是锐角（也就是异面直线所成角）还是钝角（异面直线所成角的邻补角） .三、从几何体上的特殊点切入A B例3

4、如图3,在正方体ABCD -AiBiCiDi中，BiEi二DiFi二丄，求BEi与4DFi所成角的余弦值.i解：在棱AiBi上取点H （特殊点），使AiH二一ABi，4则AiH/DiFi，AiHFiDi是平行四边形. HFi /AiDi，又 AiDi/AD， AD/HFi，ADFiH是平行四边形，AH / DFi .在平面ABBi Ai内过点H作 HN /BEi交AB于N，贝，AHN是BEi与DFi所成角（或其补角）.设正方体的棱长为4a，在 AHN中，AN =2a，AH = NH = BEi =Ji7 a，二i5i5COS. AHN二 ，即BE,与DF,所成角的余弦值为 一i7''i7四、从平移后的几何体上的已知点切入例4 （题目同例i）解：如图4,将原长方体平移到BGHC - BGHiCi的位置，则点F平移到点F,，连结Ci Fi，则CiFi/DiF，所以 EC,F,是ECi与FD所成角（或其补角）.连结EF,，在 EC.F,中