讲义参考11函数和极限

1、授课内容：医学高等数学授课内容：医学高等数学授课教师：王晓娜授课教师：王晓娜办公地址：基础楼一楼办公地址：基础楼一楼(C101)(C101) 计算机教学中心计算机教学中心联系方式：联系方式： 电子邮箱：电子邮箱：为什么要学习高等数学？ 随着科学技术的快速发展，医学科学的数学化于二十世纪七十年代以来也得以加速发展，不论是基础医学、预防医学和临床医学，已经突破了单纯观察、描述、积累经验的传统研究程式，将现代实验手段与现代数学方法紧密地结合起来，为了培养和造就现代医学高级人才，学好现代数学是必须的。高等数学是现代数学的基础学科之一。 本课程是学习数理统计学、卫生统计学、医用物理学、医学化学、计算机、

2、医学信息学及多门选修课的基础。 高等数学研究的主要对象是函数，研究方法是高等数学研究的主要对象是函数，研究方法是极限方法。高等数学中几乎所有的概念都离不开极极限方法。高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，极限概念是高等数学的重要概念，很好地理解限，极限概念是高等数学的重要概念，很好地理解极限概念是学习好微积分的关键。极限概念是学习好微积分的关键。成绩：成绩：一、平时成绩（作业）：一、平时成绩（作业）：10分；分；二、期末考试成绩：二、期末考试成绩：9090分分每周每班交每周每班交4 4人。人。高等数学：研究对象函数 研究方法极限第一章第一章 函数和极限函数和极限 第一节第一节 函数（略讲）函数

3、（略讲） 第二节第二节 极限极限 第三节第三节 函数的连续性函数的连续性1、无穷小量及其比较、无穷小量及其比较2、两个重要极限、两个重要极限1.1 1.1 函数函数1.1.3 初等函数初等函数1.1.4 分段函数与反函数分段函数与反函数1.1.3、初等函数、初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数幂函数幂函数()ayxa为为任任意意实实数数指数函数指数函数(0,1)xyaaa对数函数对数函数log(0,1)ayxaa三角函数三角函数sin ,cos ,tan ,cotyx yx yx yx反三角函数反三角函数arcsin ,arccos ,arctan ,cotyx yx yx yarcx常数

4、函数常数函数()yC C为为常常数数,lnaeyx特特别别地地，如如果果则则yuux设设变变量量是是变变量量的的函函数数，变变量量是是变变量量的的函函数数， ,yf uux即即uyx如如果果变变量量通通过过变变量量可可以以确确定定变变量量的的某某些些值值的的值值，yx则则称称是是的的记记为为：数数。复复合合函函 yfxu 称称为为。中中间间变变量量定义定义2二、复合函数二、复合函数解题思路：解题思路： 复杂复杂 简单简单 21sin(2)(3)lg 11cos12将将下下列列复复合合函函数数“分分解解”成成简简单单函函数数。（ ）kxayabxcyyx例例 ：212kxay （ ）2因因此此（

5、 ）式式由由解：解：12kxu 令令，2kxv 令，ayu则则1uv 则则,ayu1,uv 2 ,tv （基本初等函数）（基本初等函数）,t kx令令 = =2tv 则则t kx= =复复合合而而成成 三、初等函数三、初等函数 定义定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算以及由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数称为函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数称为初等函数。初等函数。注：注：1、我们所讨论的函数，一般都是初等函数。、我们所讨论的函数，一般都是初等函数。2、如果由两个函数复合而成的函数的定义、如果由两个函数复合而成的函数的定义域为空集，则此复合函

6、数无意义。域为空集，则此复合函数无意义。222arcsin2arcsin(2),21yuuxyxx 例例：由由函函数数，复复合合而而成成的的函函数数由由于于总总是是大大于于 ，其其定定义义域域为为空空集集，所所以以此此复复合合函函数数无无意意义义，1.1.4、分段函数和反函数、分段函数和反函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数式子来表示的函数称为分段函数. 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy一、分段函数一、分段函数201102110 xxyxxx 1,1 (0,2例例定义域为定义域为值

7、域为值域为注：注：1、分段函数是一个函数；、分段函数是一个函数； 2、分段函数一般不是初等函数，但在各个段内的表达式一、分段函数一般不是初等函数，但在各个段内的表达式一般由初等函数表示；般由初等函数表示； 3、求分段函数的函数值，不同范围内的自变量的值要带入、求分段函数的函数值，不同范围内的自变量的值要带入相应范围内相应范围内 的函数表达式中去求。的函数表达式中去求。二、反函数二、反函数1()()()()yfxDRyRxDfxyxyRyfxxfy 定定义义：设设函函数数的的定定义义域域为为，值值域域为为，若若对对于于任任意意一一个个，有有唯唯一一一一个个，使使成成立立，则则 与与 的的对对应应

8、关关系系在在上上定定义义了了一一个个新新函函数数，称称为为函函数数的的反反函函数数，记记为为。1、直接函数的定义域（或值域）是他的反函数的值域（或定义域）。、直接函数的定义域（或值域）是他的反函数的值域（或定义域）。2、直接函数在某个区间上有定义且是单调函数，他的反函数一定存在。、直接函数在某个区间上有定义且是单调函数，他的反函数一定存在。3、直直接接函函数数与与他他的的反反函函数数的的图图形形关关于于直直线线对对。称称yx注：注：log(log);sinarcsin ;cosarccos ;tanarctan ;cotcot ;xaayayx xyyxyxyx yxyxyxyx yarcx

9、例例：1.2 1.2 函数的极限函数的极限1.2.2 函数的极限函数的极限1.2.3 无穷小量无穷小量割之弥细，所失弥少，割之弥细，所失弥少，割圆术割圆术运用极限的思想证运用极限的思想证明圆的面积公式的方法。明圆的面积公式的方法。刘徽刘徽割之又割以至于不可割，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 6xxfxAAfx 当当自自变变量量 的的绝绝对对值值无无限限增增大大时时（记记为为) )，所所对对应应的的函函数数无无限限趋趋近近于于某某一一个个确确定定的的常常数数 ，则则称称 为为函函数数的的定定义义极极限限，记记为为 limxfxAfxAx或或（当当） 一一、时时函函

10、数数的的极极限限x1.2.2、函数极限、函数极限1( )( )xf xAxf x、如如果果当当自自变变量量 的的绝绝对对值值无无限限增增大大时时，函函数数不不趋趋近近一一个个常常数数 ，就就称称当当 趋趋于于无无穷穷大大时时，函函数数的的极极限限不不存存在在。2( )( )lim( )lim( )xxxf xAAf xf xAf xA、若若仅仅当当自自变变量量 沿沿正正方方向向无无限限增增大大（或或沿沿负负方方向向绝绝对对值值无无限限增增大大）时时，函函数数无无限限趋趋近近一一个个常常数数 ，就就称称 为为函函数数的的单单侧侧极极限限。记记为为或或。 注：注： lim(limxxfxAfxA单

11、单侧侧极极限限： 或或者者）注：注： limlimlimxxxfxAfxfxA arctan ,例例如如： 对对于于函函数数fxx 2当当时时，；xfx 2当当时时，。xfx 22 lim,lim22即即：xxfxfx 0000 xxxxx ：如如果果是是实实数数轴轴上上的的一一点点， 为为正正实实数数，则则适适合合开开区区间间的的全全体体称称为为点点邻邻域域的的邻邻域域。0 x0 xx0 xx0二二、时时函函数数的的极极限限xx 0007,fxxxxxxAAfx 设设函函数数在在点点的的某某邻邻域域（ 点点可可以以没没有有定定义义）内内有有定定义义，若若当当自自变变量量 无无限限接接近近点点

12、 时时（但但) )，函函数数值值无无限限接接近近某某一一个个确确定定的的常常数数则则称称 为为函函数数的的定定义义极极限限。记记为为： 00lim()xxfxAfxA xx或或者者 0000 xxxxxfxAAxx 若若自自变变量量接接近近定定点点的的方方式式仅仅限限于于从从的的左左侧侧，函函数数接接近近某某一一个个常常数数 ，则则称称 为为时时的的，记记为为：左左极极限限注注： 00limxxfxfxAA 或或 0000 xxxxxfxAAxx 当当 从从的的右右侧侧接接近近 时时，函函数数接接近近某某一一个个常常数数 ，则则称称 为为时时的的右右极极限限，记记为为： 00limxxfxfx

13、AA 或或 000limlimlimxxxxxxfxAfxAfxA 且且 20000106xxf xxxxx 讨讨论论函函数数当当时时的的极极限限。例例 ：我我们们分分别别求求函函数数的的左左、右右极极限限：解解： 00limlim 20,xxfxx 00limlim11xxfxx 00ff ，0 x 因因此此，当当时时，函函数数极极限限不不存存在在。1.2.3、无穷小量、无穷小量注注1 ：无穷小是相应于某一变化过程而言；：无穷小是相应于某一变化过程而言；注注2 ：无穷小是变量，任何很小的常数都不是无穷小。：无穷小是变量，任何很小的常数都不是无穷小。 008lim0(lim0)xxxffxfx

14、xxxxfx 如如果果则则称称函函数数是是当当（或或定定义义或或，无无穷穷小小）时时的的无无穷穷小小量量，简简称称。也也称称趋趋于于零零。一、无穷小量的定义一、无穷小量的定义1limxx11limxx1,xx 当当时时是是无无穷穷小小量量 000()9lim(lim)()若若当当或或时时，可可以以无无限限增增大大，则则称称是是当当或或时时的的无无穷穷大大量量，简简称称。记记为为 定定义义穷穷大大 无无或或 xxxfxfxxxxfxfxxxx 二、无穷大量二、无穷大量 1fxfx在在 同同 一一 变变 化化 过过 程程 中中 ， 若若是是 无无 穷穷 大大 量量 ，则则是是 无无 穷穷 小小 量量 。 是是无无穷穷大大量量。，则则是是无无穷穷小小，并并且且若若xfxfxf10三、无穷小定理及性质三、无穷小定理及性质 00limlim10 xxxxxxfxAfxAxx 其其中中，定定理理。 f xAf xA即即若若函函数数以以 为为极极限限，则则就就是是无无穷穷小小； f xAf xA反反之之，若若是是无无穷穷小小，则则以以 为为极极限限。055022tanlim,sinxxx例例如如：已已知知05522tanlimsinxxx 则则.有有限限个个无无穷穷小小的的代代数数和和或或乘乘积积还还是是无无性性质质1-11-1穷穷小小。：有