知识讲解函数复习与巩固提高

1、铭师教研组收集整理，内部教研参考使用函数复习与巩固审稿：编稿：伟【学习目标】1会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；2能正确认识和使用函数的三种表示法：法，列表法和图象法了解每种的优点在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的表示函数；3求简单分段函数的式；了解分段函数及其简单应用；4理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5理解函数零点的意义，能二次函数零点的性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的；6能运用函数的图象理解和研究函数的性质【知识】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1两个函数相等的条件用集

2、合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的函数有三要素定义域、值域、对应这两个函数相等2函数的常用表示，它们是不可分割的一个整体当且仅当两个函数的三要素完全相同时，函数的常用表示表示函数3有：图象法、列表法、法注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的设 A、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x（原象），在集合 B 中唯一确定的元素 f (x) （象）与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个由定义知，函数是一种特殊的，即函数是两个非空的数集间的4函数的定义域函数的定义域是自变量 x 的取值范围

3、，但要注意，在实际中，定义域要受到实际意义的制约其资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用题型主要有以下几种类型：（1）已知 f (x) 得函数表，求定义域；f j(x)的定义域，其实质是由j(x) 的取值范围，求出 x 的取值范（2）已知 f (x) 的定义域，求围；f j(x)的定义域，求f (x) 的定义域，其实质是由 x 的取值范围，求j(x) 的取值范围（3）已知5函数的值域由函数的定义知，自变量 x 在对应法则 f 下取值的集合叫做函数的值域函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配（注意定义域）；（2）

4、形如 y = ax + b ± cx + d 的函数，可用换元法即设t =cx + d ，转化成二次函数再求值域（注意t ³ 0 ）；ax + b（3）形如 y =(c ¹ 0) 的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函cx + dìa ü数的值域为 y | y ¹；íc ýîþax2 + bx + c（4）形如 y =（ a, m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域mx2 + nx + p6函数的式函数的式是函数的一种表示，求两个变量之间的函数时，一是要求出

5、它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数 f g(x)的求函数式的主要：已知函数表，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表，则常用解方程组、消求出 f (x) 参的要点二：函数的单调性f (x1 ) <f (x2 ) ，（1）如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是增函数f (x1) > f (x2 ) ，（2）如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是减函数（3）

6、若函数 f (x) 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间若函数 f (x) 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用与函数单调性有关的主要有：由函数单调性定义或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、某些方程根的个数等要点三：函数的奇偶性（1） 若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它

7、就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数（2） 若奇函数 y = f (x) 的定义域内有零，则由奇函数定义知 f (-0) = - f (0) ，即 f (0) =- f (0) ，所以 f (0) = 0 （3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数 要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表列表

8、、描点、连光滑曲线；（2） 利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；（3） 利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象 要点五：一次函数和二次函数1一次函数y = kx + b(k ¹ 0) ，其中 k = Dy Dx2二次函数二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) ，通过配方可以得到 y = a(x - h)2 + k, a 决定了二次函数图象的开口大小及方向顶点坐标为(h, k ) ，对称轴方程为 x = h 4ac - b2b对于二次函数 f (x) = ax + bx + c = a(x +) +2a224aæ - b4ac - b2 &

9、#246;b当 a > 0 时， f (x) 的图象开口÷ ；对称轴为 x =-； f (x) 在,2a4a；顶点坐标为ç2aèøæ -¥, -ù 上是单调递减的，在 é-öbb2ab, +¥ 上是单调递增的；当 x =-时，函数取得最小值ç÷2a ûúêëèø2a4ac - b24aæ -b4ac - b2 öb当 a < 0 时， f (x) 的图象开口÷ ；对称轴为 x

10、 =-； f (x) 在,2a4a；顶点坐标为ç2aèø资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用æ -¥, -ù 上是单调递增的，在 é-bb2aöb, +¥ 上是单调递减的；当x =- 时，函数取得最大值ç÷2a ûúêëèø2a4ac - b24a要点六：函数的应用举例（实际的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量；（2） 建模：将文字语言

11、转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；（3） 求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学得到的结论，还原为实际的意义求解函数应用的思路和，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数 y = f (x)(x Î D) ，我们把使 f (x) = 0 得实数 x 叫做函数 y = f (x)(x Î D) 的零点（2）确定函数 y = f (x 的零点，就是求方程 f (x) = 0 的实数根在区间a, b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且（ 3 ） 一般地， 如果函数 y = f (x在区间(a, b) 内有零点，即x0 Î(a, b

12、) ，使得f (a) × f (b) < 0 ，那么函数 y = f (xf (x0 ) = 0 ，这个 x0 也就是方程 f (x) = 0 的根f (x) = 0 来说，我们可以将它与函数 y =f (x（4）一般地，对于不能用公式法求根的起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程 f (x) = 0 与函数 y = f (x)的根起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程对于如何函数在某区间内是

13、否是零点的，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用0（5）在实数范围内，二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的零点与二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的根之间有密切 D > 0 ，方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 有两个实根，其对应二次函数有两个零点； D = 0 ，方程 ax2 + bx +

14、 c = 0(a ¹ 0) 有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； D< 0 ，方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 无根，其对应二次函数无零点【典型例题】类型一：例 1设集合 A = B = (x, y) | x Î R, y Î R，f 是 A 到 B 的（1）求 B 中元素（3，4）在 A 中的原象；，并满足 f : (x, y) ® (-xy, x - y) （2）试探索B 中有哪些元素在 A 中原象；（3）求 B 中元素（a，b）在 A 中有且只有一个原象时，a，b 所满足的式【思路点拨】本例是一道与方程综

15、合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的的知识】（1）（1，3）或（3，1）；（2）b24a0；（3）b2=4a】【（1）设（x，y）是（3，4）在 A 中的原象，ì- xy = 3ì x = -1ì x = -3íí y = 3í于是，或，x - y = -4y = 1îîî（3，4）在 A 中的原象是（1，3）或（3，1）（2）设任意（a，b）B 在 A 中有原象（x，y），ì-xy = aíî应满足x - y = b 由可得 y=xb，代入得 x2bx+a=0 当且仅当

16、=b24a0 时，方程有实根只有当 B 中元素满足 b24a0 时，才在 A 中有原象（3）由以上（2）的解题过程知，只有当 B 中元素满足 b2=4a 时，它在 A 中有且只有一个原象【总结升华】高考对考查较少，考查时只涉及的概念，因此我们必须准确地把握的概念，并灵活地运用它解决有关举一反三：【变式 1】 已知 a，b 为两个不相等的实数，集合 M = a2 - 4a, -1 ， N = b2 - 4b +1, -2，f : x ® x 表示把 M 中的元素 x到集合 N 中仍为 x，则 a+b 等于（）A1【B2】 DC3D4ìïa2 - 4a = -2

17、36;ïa2 - 4a + 2 = 0Þ í】 由已知可得 M=N，故í，a、b 是方程 x24x+2=0【ïîb2 - 4b +1 = -1ïîb2 - 4b + 2 = 0资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用的两根，故 a+b=4类型二：函数的概念及性质【课堂：集合与函数性质综合 377492 例 2】例 2设定义在 R 上的函数 y= f（x）是偶函数,且 f（x）在（，0）为增函数若对于 x1 < 0 < x2 ，且 x1

18、 + x2 > 0 ，则有 ()A f (| x1 |) < f (| x2 |)B f (-x2 ) > f (-x1)C f (x1) < f (-x2 )D f (-x1) > f (x2 )【】D】因为 x1 < 0 < x2 ，且 x1 + x2 > 0 ，所以| x2 |>| x1 | ，画出 y= f（x）的图象，【结合知，只有选项 D 正确【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点这类往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质解决这类的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分

19、析解决举一反三：【变式 1】（1）已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x - 4) = - f (x)，且在区间0，2上是增函数，则（）f (-25) < f (11) < f (80)f (80) < f (11) < f (-25)ABC f (11) < f (80) < f (-25)D f (-25) < f (80) < f (11)f (x2 ) -f (x1 ) < 0 ，则（2）定义在 R 上的偶函数 f (x)，对任意 x1，x20，+）（x1x2），有）x2 - x1A f (3) < f (-2

20、) < f (1)B f (1) < f (-2) < f (3)C f (-2) < f (1) < f (3)D f (3) < f (1) < f (-2)【】（1）D（2）A】（1）由函数 f (x) 是奇函数且 f (x) 在0，2上是增函数可以推知 f (x) 在2，2上递增，【又 f (x - 4) = - f (x) Þ f (x - 8) = - f (x - 4) = f (x) ，故函数 f (x) 以 8 为周期， f (-25) = f (-1) ，f (11) = f (3) = - f (3 - 4) = f (

21、1) ， f (80) = f (0) ，故 f (-25) < f (80) < f (11) 故选 D（2）由题知， f (x) 为偶函数，故 f (2) = f (-2) ，又知 x0，+）时， f (x) 为减函数，且 3f (3) < f (2) <f (3) < f (-2) <f (1) ，即f (1) 故选 A21，资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用例 3设函数 f (x) =ax2 + bx + c(a < 0) 的定义域为 D ，若所有点(s, f (t)

22、(s, t Î D)一个正方形区域，则 a 的值为（A2B4）C8D不能确定【】 B】 依题意，设关于 x 的不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集是x1，x2（x1x2），且b2 - 4acf (x1 ) = f (x2 ) = 0 ， x2 - x1 =(b - 4ac > 0)2， f (x) =x + bx + c 的 最 大 值 是2-aéf (t) 取遍ê0,êëb2 - 4ac ù4ac - b2b2 - 4ac=ú 中的每一依题意，当 sx1，x2的取值一定时，-4a-4a4aúû

23、个组，相应的图形是一条线段；当 s 取遍x1，x2中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即b2 - 4acb2 - 4ac=> 0 ，相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有-a-4a-a =-4a 又 a0，因此 a=4，选 B 项举一反三：【变式 1】若函数 y = f (x) 的定义域是0，2，则函数 g(x) = f (2x) 的定义域是（）x -1C0，1）（1，4D（0，1）A0，1B0，1）】 B【】 要使 g(x) 有意义，则ìx £ 2x £ 2 ，íx -1 ¹ 0【0x1，故定义域为0，1），选

24、 Bî例 4设函数 f (x) =| 2x - 4 | +1（1）画出函数 y = f (x) 的图象；（2）若不等式 f (x) £ ax 的空，求 a 的取值范围1】（1）右图；（2） (-¥, -2) , +¥) 2【x < 2，则函数 y = f (x) 的图象³ 3】 （1）由于 f【（2）由函数 y = f (x) 与函数 y=ax 的图象可知，当且仅当 a ³ 1 或 a2 时，函数 y = f (x) 与2空时，a 的取值范围为(-¥, -2)1 , +¥) 2函数 y=ax 的图象有交点故不

25、等式 f (x) £ ax 的举一反三：资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用ìïa2 - ab, a £ b,设 f= (2x -1) *(x -1) ,【变式 1】对于实数 a 和b ,定义运算“”: a *b = ía > bïîb2 - ab,f (x) = m(m Î R) 恰有三个互不相等的实数根且关于 x 的方程为2 , x3 ,则x3 的取值范围是 .1- 3】（,0）【16£ 0ì(2ï&#

26、238;(f (x)=【】由定义运算“*”可知,画出- 1)2 + 1 x0î241- 3该函数图象可知满足条件的取值范围是（,0）.16f (x) = 1 , g(x) = ax2 + bx(a, b Î R, a ¹ 0),若 y =f (x) 的图象与 y = g(x) 图【变式 2】设函数x象有且仅有两个不同的公共点 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ,则下列正确的是 （）A当 a < 0 时, x1 + x2 < 0, y1 + y2 > 0B当 a < 0 时, x1 + x2 > 0, y1 + y2 &l

27、t; 0C当 a > 0 时, x1 + x2 < 0, y1 + y2 < 0【】BD当a > 0 时, x1 + x2 > 0, y1 + y2 > 0【】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当a < 0 时,要想满足条件,则有如图,做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为(-x1,- y1) ,由图象知- x1 < x2 ,- y1 > y2 , 即 x1 + x2 > 0, y1 + y2 < 0 ,同理当 a > 0 时,则有 x1 + x2 < 0, y1 + y2 > 0 ,故选 B.

28、例 5 已知函数 f（x0，常数 aR）（1）讨论函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数 f (x) 在 x2，+）上为增函数，求 a 的取值范围【思路点拨】（1）对 a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可（2）由题意知，x1x2，则有 f (x1 ) - f (x2 ) < 0 恒成立，即可得 a 的取值范围2【】（1）当 a=0 时，为偶函数；当 a0 时，既不是奇函数，也不是偶函数（2）（，16资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用【】（1）当 a=0 时，f (x) = x2 ，对任意

29、 x（，0）（0，+），fx) = (-x)2 = x2 = f (x) ， f (x) 为偶函数当 a0 时， f（a0，x0），取 x=±1，得 f (-1) + f (1) = 2 ¹ 0 ， f (-1) ¹ - f (1) ， f (-1) ¹ f (1) ，函数 f (-1) ¹ f (1) 既不是奇函数，也不是偶函数（2）解法一：设 2x1x2，ax1 - x2 ×f (x ) - f (+ x ) - a，要使函数 f (x) 在 x2，+）2112x1 2上为增函数，必须 f (x1 ) - f (x2 ) <

30、 0 恒成立x1x20，x1 x24，即 ax1 x2 (x1+ x2)恒成立 又x1+ x24，x1x2(x1+ x2)16a 的取值范围是（，16解法二：当 a=0 时， f (x) = x2 ，显然在2，+）上为增函数a当 a0 时，反比例函数 在2，+）上为增函数，x在2，+）上为增函数 f当 a0 时，同解法一【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本举一反三：，来分析解决【课堂：集合与函数性质综合 377492 例 5】1【变式 1】已知函数 f (x) = kx -，且 f（1）=1x（1）求实数 k 的值及函数

31、的定义域；（2）函数在（0，+）上的单调性，并用定义加以证明(-¥, 0)(0, +¥) ；（【】（1）22）单调递增，定义域为： (-¥, 0)(0, +¥) 】（1）f (1) = 1,k -1 = 1,k = 2 ， f (【1 < x2 ，则（2）在（0，+）上资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用11f (x ) = 2x - 2x +f (212xx1211 x2= ()> 02 f (x1) < f (x2 )f (2) = 2x - 1 在(0, +

32、¥) 上单调递增所以函数x【变式 2】函数 f (x) 在a, b 上有定义,若对任意 x , x Îa,b ,有 f ( x1 + x2 ) £ 1 f (x ) + f (x ) ,121222则称 f (x) 在a, b 上具有性质 P .设 f (x) 在1,3上具有性质 P ,现给出如下命题: f (x) 在1, 3 上的图像时连续不断的;f (x) 在1, 3 上具有性质 P ;若 f (x) 在 x = 2 处取得最大值1,则 f (x) = 1, x Î1, 3;x2 + x3 + x4 ) £ 1 f (x ) + f (x

33、) + f (x ) + f (x ), x , x Î1, 3,有 f (对任意234123444其中真命题的序号是（）ABCD【】D】正确理解和推断可知错误,错误例 6请先阅读下列材料，然后回答“已知函数 f，问函数 f (x) 是否对于最大值或最小值？若，求出2最大值或最小值；若不，说明理由”一个同学给出了如下解答：解：令 u=3+2xx2，则 u=(x1)2+4，当 x=1 时，u 有最大值，umax=4，显然 u 没有最小值当 x=1 时， f (x) 有最小值 1 ，没有最大值4（1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；1f (x) =(a >

34、; 0) ，试研究其最值情况（2）对于函数ax2 + bx + c【】（1）不正确；（2）当0 时， f (x) 既无最大值，也无最小值；当0 时， f (x) 有最4ab，此时 x =-，没有最小值大值4ac - b22a【】（1）不正确没有考虑到 u 还可以小于 0资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用u=3+2xx2，则 u=(x1)2+44，正确解答如当 0u4 时， 1 ³ 1 ，即 f (x) ³ 1 ；当 u0 时， 1 < 0 ，即 f (x) < 0 u44u f (x)

35、< 0 或 f (x) ³ 1 ，即 f (x) 既无最大值，也无最小值41（2）对于函数 f (x) =(a > 0) ，令 u=ax2+bx+c（a0）ax2 + bx + c4ac - b2当0 时，u 有最小值， umin =< 0 ，4a4ac - b214a4a£ u < 0 时， £，即 f (x) £；当 u0 时，即 f (x) > 0 当u4ac - b24ac - b24a4a f (x) > 0 或 f (x) £，即 f (x) 既无最大值，也无最小值4ac - b24ac - b2

36、当=0 时，u 有最小值， umin = 0 ，4a1此时，u0， > 0 ，即 f (x) > 0 ， f (x) 既无最大值，也无最小值u4ac - b2当0 时，u 有最小值， umin => 0 ，4a4ac - b2即u ³> 0 4a14a4a 0 <£，即0 < f (x) £u4ac - b24ac - b2当 x =- b4a时， f (x) 有最大值，没有最小值4ac - b22a综上，当0 时， f (x) 既无最大值，也无最小值4a，此时 x =- b当0 时， f (x) 有最大值，没有最小值4ac -

37、 b22a【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象解决像本例这样的研究性把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本举一反三：，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地分析解决m【变式 1】（1）已知函数 y = 1- x +x + 3 的最大值为 M，最小值为 m，则的值为（）M14122232ABCD【】 C资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用【】 函数的定义域为3，1又 y4 + 2 (1- x)(x + 3) = 4 + 2 -x2 - 2x + 3

38、= 4 + 2 4 - (x +1)2 而0 £4 - (x +1)2£ 2 ，4y28又 y0， 2 £ y £ 2 2 M = 2 2 ，m=2m2=故选 C 项M2ìx2 ,| x |³ 1（2）设 f (x) = í， g(x) 是二次函数，若 f g(x) 的值域是0，+），则 g(x) 的值域îx,| x |< 1是（）A（，11，+）C0，+）B（，10，+）D1，+）【】C】要使 f g(x) 的值域是0，+），则 g(x) 可取（，10，+）又 g(x) 是二次【函数，定义域连续，故 g(x

39、) 不可能同时取（，1和0，+）结合选项只能选 C 项【总结升华】 函数的值域每年高考必考，而且既有常规题型如本例（1），也有创新题如本例（2）解答这类，既要熟练掌握求函数值域的基本，更要根据具体情景，灵活地处理如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出 f g(x) 的值域，要求 g(x) 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类，应利用基本、基本知识来分析解决类型三：函数的零点例 7若函数 f (x) = x2 - kx + 4 在区间（1，6）内有零点，求 k 的取值范围é20 ö】 4,【÷êë3&

40、#248;】 二次函数在区间（ x1 ， x2 ）上有零点，分以下四种情况：【】资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用（1） f (1) × f (6) < 0 ，5 < k < 20 ，如图 13ìD> 0ï f (1) > 0ï4 < k < 5 ，如图 2í f (6) > 0（2），ïkï1 << 6ïî2ìD= 0ïk = 4 ，如图 3

41、7;（3），kï1 << 6î2ì f (1) = 0ì f (6) = 0ïï或，k = 5 ，如图 4 或 5（4）í7í7kkï1 <<<< 6ïî22î 22é20 ö综上所述 k 的取值范围是 4,÷êë3ø【总结升华】二次函数 f (x) = ax2 + bx + c （不妨设 a > 0 ）在有限的开区间(x , x ) 内有零点的12ìD> 0

42、ï f (x ) > 0ìD= 0ì f (x ) = 0ï11ïï条件是：（1） f (x1 ) × f (x2 ) < 0 （2） í f (x2 ) > 0（3） íx（4） íxb < x1 + x2< - b < x< -ïïîïî1212a2a2bïx< -< xïî122aì f (x2 ) = 0ï或í x1 + x2

43、b< -< xïî222a举一反三：【变式 1】试讨论函数 f= x2 - 2 | x | -a -1(a Î R) 的零点个数【】ì³ 0,h(x) = a +1< 0,ï| -a -1 = 0x - 2 | x |= a +1g(x) =2f (í由得，令ïîg(x), h(x) 的图象，资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用g(-2) = g(0) = g(2) = 0, g(-1) = g(1) = -1当

44、a +1 < -1, 即 a < -2 时， g(x) 与 h(x) 无公共点当 a +1 = -1或 a +1 > 0 ，即 a = -2 或a > -1 时， g(x) 与 h(x) 有两个交点当-1 < a +1 < 0, 即-2 < a < -1时， g(x) 与 h(x) 有四个交点当 a +1 = 0 ，即 a = -1 时， g(x) 与 h(x) 有三个交点所以，当 a < -2 时，函数 f (x) 无零点当 a = -2 或 a > -1 时，函数 f (x) 有两个零点当-2 < a < -1时，函数

45、 f (x) 有四个零点当 a = -1 时，函数 f (x) 有三个零点【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了结合思想的应用，它对于解决有限制条件的提供了一种新的途径类型四：函数的综合例 8（1）已知函数 f (x) = ax2 + 2ax +1在区间1，2上最大值为 4，求实数 a 的值；（2）已知函数 f (x) = x2 - 2ax + 2 ，x1，1，求函数 f (x) 的最小值【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按 a=0，a0，a0 三种情况分析；第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不3】（1）3 或 ；（2）略【8【】（1） f (x) = a

46、(x +1)2 +1- a 当 a=0 时，函数 f (x) 在区间1，2上的值为常数 1，不合题意；资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用当 a0 时，函数 f (x) 在区间1，2上是增函数，最大值为 f (2) = 8a +1 = 4 ， a = 3 ；8当 a0 时，函数 f (x) 在区间1，2上是减函数，最大值为 f (-1) = 1- a = 4 ，a=33综上，a 的值为3 或 8（2） f (x) = x2 - 2ax + 2 = (x - a)2 + 2 - a2 ，对称轴为直线 x=a，且抛物线的开口

47、所示：，如下图当 a1 时，函数 f (x) 在区间1，1上是减函数，最小值为 f (1) = 3 - 2a ；当1a1 时，函数 f (x) 在区间1，1上是先减后增，最小值为 f (a) = 2 - a2 ；当 a1 时，函数 f (x) 在区间1，1上是增函数，最小值为 f (-1) = 3 + 2a 【总结升华】 求二次函数在闭区间上的最值的是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用结合就可得到的解对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值举一反三：【变式

48、 1】设函数 f= x2 - 2x + 2 ，xt，t+1，tR，求函数 f (x) 的最小值ìt2 - 2t + 2, t > 1ïf (x) = í1, 0 £ t £ 1【】ït +1, t < 02î【】 二次函数是确定的，但定义域是变化的，依 t 的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律f (x2 - 2x + 2 = (x -1)2 +1，xt，t+1，tR，对称轴为 x=1，作出其图象如下图所示：当 t+1 1 ，即 t 0 时， 如上图， 函数 f (x) 在区间t ， t+1 上为

49、减函数， 所以最小值为资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用f (t +1) = t 2 +1；当 1t+12，即 0t1 时，如上图，最小值为 f (1) = 1；当 t1 时，如上图，函数 f (x) 在区间t，t+1上为增函数，所以最小值为 f (t) = t 2 - 2t + 2 ìt2 - 2t + 2, t > 1ï综上有 f (x) = í1, 0 £ t £ 1ï 2t +1, t < 0î【总结升华】这里区间是变化的，但整个

50、区间长度为 1 个长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿 x 轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响借助图形，可使清晰的解决显得直观、= 2x2 + (x - a) | x - a | f例 9设a 为实数，函数（1）若 f (0) ³ 1，求 a 的取值范围；（2）求 f (x) 的最小值；（3）设函数 h(x) = f (x) ，x（a，+），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式 h(x) ³ 1的解集ì-2a2 ,a ³ 0ï】（1）（，1；（2） g(a) = í 2a2【；（3）略a < 0,ï&#

51、238;3】（1）因为 f (0) = -a | -a |³ 1，所以a0，即 a0【由 a21 知a1因此a 的取值范围为（，1（2）记 f (x) 的最小值为 g(a) ，我们有ìa2a23(x -) +,x > a x £ a 2ï2x + (x - a) | x - a |2=f (í33ïî(x + a)2 - 2a2,（i）当 a0 时， f (-a) = -2a2 ，由知 f (x) ³ -2a2 ，此时 g(a) = -2a2 （ii）当 a0 时， f ( a ) = 2 a2 若 xa，则

52、由知 f (x) ³ 2 a2 ；若 xa，则 x+a2a0，由33知 f (x) ³ 2a2 > 2 a2 此时 g(a) = 2 a2 333ì-2a2 ,a ³ 0a < 0ï综上得 g(a) = í 2a2,ïî3资料来源于，归原作者所有。教学交流请进铭师教研 Q 群 205341525铭师教研组收集整理，内部教研参考使用6 22 , +¥) 时，解集为（a，+）；2（3）（i）当a Î(-¥, -é a +öé2 ö3 - 2a22（ii）当a Î ê-ë, +¥ ÷ ；÷ 时，解集为ê,223êëø2 öøæ