讲义成果概率统计肖2

1、随机实验随机实验随机事件随机事件样本空间样本空间事件的关系及运算事件的关系及运算小结小结基本概念基本概念概率概率 基本事件基本事件复合事件复合事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件 三个限定条件三个限定条件 所有基本事件构成的集合所有基本事件构成的集合 四种关系和三种运算四种关系和三种运算定义定义 5 条条 定义在样本空间上满足三条公理的集合函数定义在样本空间上满足三条公理的集合函数基本事件基本事件样本点样本点三条公理三条公理非负有界性非负有界性规范性规范性可列可加性可列可加性性质性质 用概率的公理化定义，从实验出发用概率的公理化定义，从实验出发直接计算直接计算 P( (A) )是是 困难的

2、，困难的，某些满足某些满足特定条件特定条件的实验可以直接计算的实验可以直接计算 .基本事件的发生具有等可能性基本事件的发生具有等可能性1.2.4 等可能概型等可能概型一、古典概型一、古典概型定义定义 若随机试验若随机试验 E 具有以下两个特征：具有以下两个特征：(1) (1) E 的样本空间只有有限多个样本点，的样本空间只有有限多个样本点， (2) (2) 试验中每个样本点出现的可能性相同，试验中每个样本点出现的可能性相同， ;,21n 即即则称则称 E 为为古典概率模型古典概率模型，简称简称古典概型古典概型 .有限等可能随机试验有限等可能随机试验古典概型中事件概率的计算？古典概型中事件概率的

3、计算？甚至是不可能的甚至是不可能的.这样就把求概率问题转化为这样就把求概率问题转化为计数问题计数问题 .设事件设事件 A 由由 k 个样本点组成个样本点组成 ，即，即称此概率为称此概率为古典概率古典概率. 这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法 .由于由于12n L, )()()()(121nPPPP 又由于各样本点出现的可能性相同，又由于各样本点出现的可能性相同， ;, 2 , 1,1)(ninPi 由可加性知由可加性知 A 的概率为：的概率为：, ,21kiiiA )()()(21kiiiPPP nk A 包含的样本点数包含的样本点数 中的样本点总数中的样本点总数 中

4、的样本点总数中的样本点总数包含的样本点数包含的样本点数 Ank )(AP 同时掷两枚均匀硬币，分别求事件同时掷两枚均匀硬币，分别求事件A = 两枚都出现正两枚都出现正面面, B = 一枚出现反面一枚出现反面 和和 C = 两枚都出现反面两枚都出现反面 的概率的概率. 解解同时掷两枚硬币有同时掷两枚硬币有 4 个等可能的结果，即样本空间为个等可能的结果，即样本空间为 例例1 =(正正, ,正正) ), ( (正正, ,反反) ), ( (反反, ,正正) ), ( (反反, ,反反)4 个等可能个等可能古典概型古典概型又事件又事件A, B, C 分别包含分别包含 1个、个、2个和个和 1个样本点

5、，个样本点，;41)( AP;2142)( BP.41)( CP 排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 列列 举举 法法这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的基本计数原理基本计数原理第第 1 个步骤有个步骤有 n1 种方法种方法, 第二个步骤有第二个步骤有 n2 种方法种方法, ; 第第 m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,1. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，无论通过哪种方式都可以完成这件事，无论通过哪种方式都可以完成这件事，第第 1 种方式有种方式有 n1种方法种方法, 第第 2 种

6、方式有种方式有 n2 种方法种方法, , ; 第第 m 种方式有种方式有 nm 种方法种方法, 则完成这件事共有则完成这件事共有 n1 + n2 + + nm 种不同的方法种不同的方法 2. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤个步骤, 必须通过每一步骤必须通过每一步骤, 才算完成这件事才算完成这件事, 则完成这件事共有则完成这件事共有 n1 n2 nm 种不同的方法种不同的方法 这两个计数原理不但可直接解决不少具体问题这两个计数原理不但可直接解决不少具体问题, 也是推导下面常用排列组合公式的基础也是推导下面常用排列组合公式的基础 .1. 排列排列2. 组合组合排列组合的公式排

7、列组合的公式!)(!)1()2)(1(knnknnnnAkn !12)2( )1(nnnnAAnnn knnnn ! )(!kknnkACknkn !kCAknkn 选排列选排列全排列全排列 允许重复的排列允许重复的排列 组合不管顺序组合不管顺序(2)(2) 先任取一只先任取一只, 作测试后不放回作测试后不放回, 在剩下的中再任取一只在剩下的中再任取一只. 一个盒子中装有一个盒子中装有10个大小、形状完全相同的晶体管，个大小、形状完全相同的晶体管，其中其中 3 只是次品只是次品. 例例2 (P.12(P.12 例例3) ) 按下列两种方法抽取晶体管：按下列两种方法抽取晶体管：(1)(1) 先任

8、取一只先任取一只, 作测试后放回盒中作测试后放回盒中, 再任取下一只；再任取下一只；有放回抽样有放回抽样无放回抽样无放回抽样 试分别对这两种抽样方法试分别对这两种抽样方法, 求从这求从这10只晶体只晶体管任取管任取 2 只中，恰有一只是次品的概率只中，恰有一只是次品的概率.解解设设 A = 抽取的抽取的 2 2 只晶体管中恰有一只是次品只晶体管中恰有一只是次品 ( (1) )有放回抽样：有放回抽样：由于每次都是从由于每次都是从10只中取只中取 10 10 种取法种取法 即即 的样本点数的样本点数 n = 10 2，第第 1 次取到合格品，且第次取到合格品，且第 2 次取到次品次取到次品第第 1

9、 次取到次品，且第次取到次品，且第 2 次取到合格品次取到合格品A: 7 3 3 7 共有共有 7 3 + 3 7 = 42 种取法种取法 古典概型古典概型.10042)( AP( (2) )无放回抽样：无放回抽样： 第第 1 次是从次是从10只中取只中取, 第第 2 次是从次是从 9 只中取，只中取， 10 9 种取法种取法 即即 的样本点数的样本点数 n = 10 9，A: 共有共有 7 3 + 3 7 = 42 种取法种取法 古典概型古典概型.9042)( AP 现从这现从这 N 件中任取件中任取 n 件件( (不放回不放回) ), 设有设有 N 件产品件产品, 其中有其中有 M 件次品

10、件次品, 解解,)(nNknMNkMCCCAP 例例3(P.(P.14 例例5) ) 设设 A = 恰抽到恰抽到 k 件次品件次品 求其中恰有求其中恰有 k 件次品的概率件次品的概率.次品次品正品正品N M 件正件正品品 含的样本点数为含的样本点数为 , nNC只能取自只能取自 M 件次品件次品A 的次品有的次品有 种取法，种取法， kMCA 的正品有的正品有 种取法，种取法， knMNC 故故 A 含的样本点数为含的样本点数为 , knMNkMCC . ,min, 2, 1nMk 超几何分布超几何分布的概率公式的概率公式 在电话号码簿中任取一个电话号码在电话号码簿中任取一个电话号码, ,求后

11、面求后面 4 4个个数字全不同的概率数字全不同的概率( (设后面设后面 4 4个数中的每一个数都是等可能地取个数中的每一个数都是等可能地取自自 0- -9 这这 10 个数个数) ). . 解解 所求概率与号码的位数无关所求概率与号码的位数无关, 允许重复允许重复求求样本空间样本点总数样本空间样本点总数 和和 求求事件所含样本点数事件所含样本点数 的计数方法不同的计数方法不同从从10个不同数字中个不同数字中取取4个的排列个的排列 例例4 设设 A = 后后 4 4 位数字全不相同位数字全不相同 , 含样本点数含样本点数: 10 4,A 所含样本点数为所含样本点数为 , 410A.405. 01

12、0)(4410 AAPP( (A) )= “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的. 1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件再次提醒注意：再次提醒注意： 在实际应用中，往往只能在实际应用中，往往只能“近似地近似地”出现等可能，出现等可能，“完全完全地地”等可能是很难见到的等可能是很难见到的. 在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我们我们就可以认为基本事件是等可能

13、的并在此基础上计算事件的概率就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.2、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数，也、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数，也不要遗漏不要遗漏例例5 掷两枚骰子出现的点数之和等于掷两枚骰子出现的点数之和等于3 的概率的概率.解解 掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为 2, 3, 4, , 12 , , .111)( AP =(1,1) ), ( (1,2) ), ( (2,1) ), ( (1,3) ), ( (6,6) ) 26 6.181 3、所求为所求为“至少至少”或或“至多至多”的问

14、题，用余概公式简单的问题，用余概公式简单 有有n个人个人, 每个人都以相同的概率每个人都以相同的概率1/N( (Nn) )被分在被分在 N 间房的每一间中间房的每一间中, 求指定的求指定的n间房中各间房中各有一人的概率有一人的概率.人人房房4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型 有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率个人，设每个人的生日是任一天的概率为为1/365. 求这求这n ( (n 365) )个人的生日互不相同个人的生日互不相同的概率的概率.人人任一天任一天 有有n 个旅客个旅客, 乘火车途经乘火车途经N个车个车站，设每站，设每个人

15、在每站下车的概率为个人在每站下车的概率为1/ N( (N n),), 求指求指定的定的 n 个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率.旅客旅客车站车站 某城市每周发生某城市每周发生7次车祸次车祸, 假设每天发生假设每天发生车祸的概率相同车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸求每天恰好发生一次车祸的概率的概率.车祸车祸天天分分球球入入箱箱 是常见的几种模型是常见的几种模型 .箱中摸球箱中摸球 分球入箱分球入箱 随机取数随机取数 分组分配分组分配 课下可通过作业进一步掌握课下可通过作业进一步掌握. 我们介绍了古典概型我们介绍了古典概型. 古典概型的定义虽然比较简单，但它有多方面的应用古典概型

16、的定义虽然比较简单，但它有多方面的应用. 例例5例例2、3 设有设有 n 个球，每个都以相同的概率个球，每个都以相同的概率 1/N(N n) 落入落入 N 个箱子个箱子中的每一个中中的每一个中. 根据不同条件，分别求事件根据不同条件，分别求事件 A= 某预某预先指定的先指定的 n 个箱子中各有一球个箱子中各有一球 的概率的概率 p .1. 球编号球编号2. 球不编号球不编号每个箱子只容纳一个球每个箱子只容纳一个球每个箱子容纳的球数不限每个箱子容纳的球数不限每个箱子只容纳一个球每个箱子只容纳一个球每个箱子容纳的球数不限每个箱子容纳的球数不限 nnNnNnCCNnNNN1) 1() 1( 在解决许

17、多概率问题时，往往需要在有某些附加在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息信息( (条件条件) )下求事件的概率下求事件的概率.一、一、条件概率条件概率 如在事件如在事件 B 发生的条件下求事件发生的条件下求事件 A 发生的概率，发生的概率，这种概率问题就是这种概率问题就是1.3 条件概率条件概率( (1) ) 求取到的零件是正品的概率；求取到的零件是正品的概率； 设设 A = 取到的是正品取到的是正品 ，两台车床加工两台车床加工同一零件同一零件( (见表见表) ) B= 取到的是第一台车床加工的取到的是第一台车床加工的 ，从这从这 100 个零件中个零件中任取任取 1 个个，解解.85

18、. 010085 容易看到容易看到 P( (A) ) P( (C) ) 正品数正品数 次品数次品数 总计总计第一台加工的零件第一台加工的零件第二台加工的零件第二台加工的零件总总 计计 35 5 40 50 10 60 85 15 100( (2) ) 若取到的零件是第一台车床加工，求它是正品的概率若取到的零件是第一台车床加工，求它是正品的概率. ( (1) ) P P( (A) )85100)|(BAP ( (2) ) 取到的取到的正品零件正品零件是由是由第一台车床加工第一台车床加工，3540.875. 04035)( CP C = 取到的是取到的是第一台车床加工第一台车床加工的正品的正品 ，

19、则则P( (A| |B) )在在B发生的条件下发生的条件下A发生的概率发生的概率在缩小的样本空间在缩小的样本空间里来考虑问题里来考虑问题包含的样本数包含的样本数缩减的样本空间缩减的样本空间包含的样本数包含的样本数发生条件下发生条件下在在BABBAP )|(4035)|( BAP1004010035 )()(BPABP ?例例1( (P.20 例例1) ) P( (C) ) 为使为使 A 也发生也发生, 试验结果必须试验结果必须是既在是既在 B 中又在中又在 A 中的样本点中的样本点, B由于我们已知由于我们已知 B 已发生已发生, 故故 B 变成了新的样本空间变成了新的样本空间 . 设设A、B

20、是两个事件，是两个事件，)()()|(BPABPBAP A为在事件为在事件 B 发生的条件下发生的条件下, 事件事件 A 的的条件概率条件概率.定义定义( (P.20 定义定义1.6) )且且 P( (B) ) 0, , 则称则称 AB若事件若事件 B 已发生已发生, 即此点必属于即此点必属于AB.条件概率的性质条件概率的性质满足概率的三条公理满足概率的三条公理1. 对任一事件对任一事件A，0P( (A| |B) )1; 2. P ( ( | |B) ) = 1 ；3.设设 A1 ,An , 互不相容，则互不相容，则 P( A1+An + )|)| B = P( (A1| |B)+ +P( (

21、An| |B) ) + 自行自行验证验证是概率是概率概率的性质都适用于条件概率概率的性质都适用于条件概率自行自行写出写出用古典概型的思想去理解：用古典概型的思想去理解： 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，P( (A) )是在该试验条件下事件是在该试验条件下事件A发生的可能性大小发生的可能性大小. 条件概率条件概率P( (A| |B) )是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念它们是两个

22、不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同.条件概率条件概率 P( (A| |B) )与与 P( (A) )的区别的区别 ？条件概率条件概率 P( (A| |B) )与与 P( (A) )数值关系数值关系 ？ P( (A| |B) ) P( (A) ) 或或 P( (A| |B) ) P( (A) ) ? 现从这现从这 20 套题套题中不放回地连取两次，每次取一套，共取两套，中不放回地连取两次，每次取一套，共取两套， = ,2) ) 在减缩的样本空间中在减缩的样本空间中 ( (加入条件后改变了的情况加入条件后改变了的情况) )直接计直接计算算. 1) ) 在原样本空间中直接用定义计算在原

23、样本空间中直接用定义计算:,)()()|(BPABPBAP P(B)0； 例例 现题库现题库有有 20 套试题，其中套试题，其中7套已在考试中用套已在考试中用. . 12,9539 A1 发生后的缩减样本空间发生后的缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A2 所含样本点个数所含样本点个数条件概率的计算条件概率的计算解解 设设 Ai = 第第 i 次取到的是次取到的是未曾用过的试题未曾用过的试题 ， 问在第一次取到问在第一次取到的是未曾用过的试题的情况下的是未曾用过的试题的情况下, 第二次取到的也是未曾用过的试题第二次取到的也是未曾用过的试题的概率是多少？的概率

24、是多少？i =1, 2. 方法方法 1) ) P( (A1) ) P( (A1A2) )220C213C13 20 方法方法 2) ).1912)()()|(12112 APAAPAAP 的的点数点数 2019.1912)|(12 AAP= 则则 P( (A) )= 0. 6；,6. 0)()( APABP由题意知所求概率为由题意知所求概率为)|(BAP解解 设设 A = 该该建筑使用寿命超过建筑使用寿命超过60年年 ， ,BA 问该建筑经历了问该建筑经历了50年之后将年之后将10年内倒塌年内倒塌的概率有多大的概率有多大? 超过超过60年的概率为年的概率为0. 6，B = 该该建筑使用寿命超过

25、建筑使用寿命超过50年年 ， 则则 P( (B) )= 0. 8,)|(1BAP ,)()(1BPABP ,25. 08. 06. 01)|( BAP该建筑经历了该建筑经历了50年之后将年之后将10年内倒塌的概率为年内倒塌的概率为0. 25 . 例例3 某建筑物按设计要求使用寿命超过某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为年的概率为0. 8， 例如例如 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为年以上的概率为0. 7，活到活到25年以上的概率为年以上的概率为0. 4. 问现年问现年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到 25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？由条件概率的定义由条件概率的定义即即 若若P( (B) )0, 则则 P( (AB) )= P( (B) )P( (A| |B) ) ( (1) )()()|(BPABPBAP 而而 P( (AB) )= P( (BA) )若已知若已知P( (B) ), P( (A| |B) )时时, 可以反求可以反求P( (AB) ).对调对调A、B的位置，则有的位置，则有 故故 P( (B) )P( (A| |B) )=P( (A) )P( (B| |A) ) ( (1) )和和( (2) )式统称为式统称为乘法公式乘法公式 , 利用利用它可计算两个事件同时发生的概率它可计算两个事