压轴讲义解几

1、几何（29）高端视野: 圆锥曲线极坐标统一椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系ep1 - e cosqr =.椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p0 当 0e1 时，方程表示椭圆；当 e1 时，方程表示双曲线，若0，方程只表示双曲线右支，若表示整个双曲线；当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.0，方程就ep1+e cosqr =引论（1

2、）若则 0e1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当 e=1，方程表示开口向左的抛物线当 e1 方程表示极点在左焦点上的双曲线ep1-e sinq（2 ）若 r =当 0e1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线当 e1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线ep1+e sinq（3） r =高考数学研究圆锥曲线极坐标统一1 / 5当 0e1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线当 e1 时，方程表示极点在下焦点的双曲线105 - 3cosq【例1】 确定方程 r =表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。3 ´ 10253解法

3、一： r =1- 3 cosq1- 3 cosq5e = 3，P = 10553ììc = 33 a = c5ìa = 25ï a5 Þ ïÞ ï8158íb2í5í10310ï=ïïî3ï c =a - c =ïîïî c3b =( 25)2 - ()15= 52882方程表示椭圆的离心率e = 3，焦距15长轴长25，短轴长5454圆锥曲线弦长若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 Fa 2b22ab

4、2epep1、椭圆中， p =- c =， MN=+=.1- e cosq1- e cos(p -q )a2 - c2 cos 2 qcc2、双曲线中，（注释：双曲线比较特殊，很多参考书上均有误解。）2ab2a 2 - c2 cos 2 qepep=+=若M、N 在双曲线同一支上， MN；1 - e cosq1 - e cos(p - q )2ab2epep= -=若M、N 在双曲线不同支上， MN.1 + e cosq1 - e cosqc 2 cos 2 q - a 2pp2 psin 2 q=+=3、抛物线中， MN1 - cosq1 - cos(p - q )x2y2【例1】 过椭圆+

5、= 1的焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O54为坐标原点，求DAOB的面积首先极坐标方程中的焦点弦长公式| AB |=2ep1- e2 cos2 q求弦长，然后利用公式高考数学研究圆锥曲线极坐标统一2 / 5S= 1 | AB| OF | sin ÐAFO 直接得出。DAOB22【练1】 已知点 为椭圆 x +1的左焦点.过点的直线l 与椭圆交于 、Q 两点，过2 =FyFP12F 且与l1 垂直的直线l2 交椭圆于M 、N 两点，求四边形 PMQN 面积的最小值和最大值.2以点 F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为： r =21-2 cosq2

6、设直线l1 的倾斜角q ，则直线l2 的倾斜角为q + 900 ，由极坐标系中焦点弦长公式知：222| PQ |=| MN |=1- 1 cos2 q，1- 1 cos2 (q + 900 )1- 1 sin2 q2用他们来表示四边形的面积2211=1S =| PQ | | MN | 211 + 1 sin2 q1 + 1cos2 qsin2 2q24216即求 1 + 1的最大值与最小值sin2 2q21616由三角知识：当sin 2q = ±1时，面积取得最小值；当sin 2q = 0 时，面积取得最大9值 2利用弦长公式解决常量x2y 2+ = 1 (a > b >

7、 0) 的左焦点 F，作倾斜角为 60 的直线l 交椭圆于 A、【例1】 过椭圆a 2b2= 2 FBB 两点，若 FA，求椭圆的离心率.，建立极坐标系，然后利用等量，可很快求出离心率。e p1 - e cosqe pe p设椭圆的极坐标方程为 r =则 FA, FB，1- e cos 6001- e cos 2400e pe p= 2 ×2e =；3 1 - e21 + e2，p的左焦点，且倾斜角为 的弦长423 - cosq【练1】 求过椭圆 r =AB和左焦点到左准线的距离。高考数学研究圆锥曲线极坐标统一3 / 52解：先将方程 r = 化为标准形式： r =31- 1 cos

8、q3则离心率e = 1 ， ep = 2 ，33 p = 2所以左焦点到左准线的距为 2。p5p4A(r1, 4 ), B(r2,) ，代入极坐标方程，则弦长设2+2= 24= r + r =AB3 - cos3 - cos 5pp121744定值【例1】 抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 的一条焦点弦被焦点分为 a,b 的两段，证明： 1 + 1 定ab值。p1- cosq解：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为 r =设 A(a,q ), B(b,q + p )，p1- cosqp1- cos(q + p )将 A,B 两点代入极坐标方程，

9、得a =,b =11 1- cosq1- cos(q + p )2则 +=+=（定值）pppab点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。112+=推论：若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，则有ep11+【例2】经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和弦 CD,求证为定值。ep1 - e cosq证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为 r =，又设ppA(r ,q ),B(r ,p +q ),Cæ rq ö,Dæ r ,+3öq3, 2 +ç÷ç 4÷则代入可得1 12èø

10、32;2ø2ep1- e2 cos2 q2ep1- e2 sin2 q| AB |=| AB |=，则高考数学研究圆锥曲线极坐标统一4 / 5CDABNFMF12-e21+=2epx2y2+ = 1 ，点 F 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点【例3】 中心在原点 O 的椭圆3627=P FP =P FP= 1200 P ,P ,P 使P FP1 2 3122331111+证明：为定值，并求此定值92 - cosq：以点 F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为： r =，设点 P 对应1的极角为q ，则点 P2 与 P3 对应的极角分别为q +1200 、q -1200 ， P1 、 P2 与 P3 的极径就92 - cos(q +1200 )92 - cos(q -1200 )92 - cosq分别是| FP |=|=|=、| FP与| FP，因1231112 - cosq2 - cos(q +1200