三角函数公式大全(学习宏程序须知)

1、三角函数公式大全(学习宏程序须知三角函数Trigonometric是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。起源 “三角学”，英文Trigonometry，法文Trigonometr

2、ie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作三角学:解三角学的简明处理，创造了这个新词。它是由(三角学)及 (测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。 早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移

3、；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。 就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的同角三角函数的基本关系式倒数关系:商的关系：平方关系：tan ·cot1sin

4、 ·csc1cos ·sec1sin/costansec/csccos/sincotcsc/secsin2cos211tan2sec21cot2csc2诱导公式sinsincoscostantancotcotsin/2coscos/2sintan/2cotcot/2tansin/2coscos/2sintan/2cotcot/2tansinsincoscostantancotcotsinsincoscostantancotcotsin3/2coscos3/2sintan3/2cotcot3/2tansin3/2coscos3/2sintan3/2cotcot3/2tansi

5、n2sincos2costan2tancot2cotsin2ksincos2kcostan2ktancot2kcot(其中kZ)两角和与差的三角函数公式万能公式sinsincoscossinsinsincoscossincoscoscossinsincoscoscossinsin tantantan 1tan ·tan tantantan 1tan ·tan2tan(/2)sin 1tan2(/2)1tan2(/2)cos 1tan2(/2)2tan(/2)tan 1tan2(/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数 的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦

6、和正切公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2 2tantan2 1tan2sin33sin4sin3cos34cos33cos3tantan3tan3 13tan2三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式 sinsin2sin·cos2 2 sinsin2cos·sin2 2 coscos2cos·cos2 2 coscos2sin·sin2 21sin ·cos-sinsin21cos ·sin-sinsin21cos ·cos-coscos21sin ·sin -cosc

7、os2化asin ±bcos为一个角的一个三角函数的形式辅助角的三角函数的公式同角三角函数的基本关系 倒数关系: tan ·cot1 sin ·csc1 cos ·sec1 商的关系： sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方关系： sin2()cos2()1 1tan2()sec2() 1cot2()csc2()平常针对不同条件的常用的两个公式 sin² +cos² =1 tan *cot =1一个特殊公式 sina+sin*sina+sin=sina+*sina- 证明：sina+sin*sin

8、a+sin=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2 =sina+*sina-锐角三角函数公式 正弦： sin =的对边/ 的斜边 余弦：cos =的邻边/的斜边 正切：tan =的对边/的邻边 余切：cot =的邻边/的对边二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a) =2Cos2(a)-1 =1-2Sin2(a) 2.Cos2a=1-2Sin2(a) 3.Cos2a=2Cos2(a)-1 正切 tan2A=2tanA/1-tan2(A)三倍角公式 sin3=4sin

9、3;sin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos·cos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-

10、4sin3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina(3/2)²-sin²a =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60°-a)/2 =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosacos

11、²a-(3/2)2 =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2 =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin90°-(60°-a)sin-90°+(60°+a) =-4cosacos(60°-a)-cos(60&

12、#176;+a) =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)n倍角公式 sinn a=Rsina sina+/nsina+n-1/n。 其中R=2n-1 证明：当sinna=0时，sina=sin/n或=sin2/n或=sin3/n或=或=sin【n-1/n】 这说明sinna=0与sina-sin/n*sina-sin2/n*sina-sin3/n*sina- sin【n-1/n】=0是同解方程。 所以sinna与sina-sin/n*sina-sin2/n*si

13、na-sin3/n*sina- sin【n-1/n】成正比。 而sina+sin*sina+sin=sina+*sina-，所以 sina-sin/n*sina-sin2/n*sina-sin3/n*sina- sin【n-1/n】 与sina sina+/nsina+n-1/n成正比系数与n有关 ，但与a无关，记为Rn。 然后考虑sin2n a的系数为R2n=R2*(Rn)2=Rn*(R2)n.易证R2=2，所以Rn= 2n-1半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. si

14、n2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化积 sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+t

15、anAtanB)两角和公式 cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos -cossin积化和差 sinsin = cos(-)-cos(+) /2 coscos = cos(+)+cos(-)/2 sincos = sin(+)+sin(-)/2 cossin = sin(+)-sin(-)/2双曲函数 sinh(a) = ea-e(-a)/2 cosh(a) = ea+e(-a)/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的

16、值相等： sin2k= sin cos2k= cos tan2k= tan cot2k= cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin= -sin cos= -cos tan= tan cot= cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin-= -sin cos-= cos tan-= -tan cot-= -cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin-= sin cos-= -cos tan-= -tan cot-= -cot 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin2

17、-= -sin cos2-= cos tan2-= -tan cot2-= -cot 公式六： /2±及3/2±与的三角函数值之间的关系： sin/2+= cos cos/2+= -sin tan/2+= -cot cot/2+= -tan sin/2-= cos cos/2-= sin tan/2-= cot cot/2-= tan sin3/2+= -cos cos3/2+= sin tan3/2+= -cot cot3/2+= -tan sin3/2-= -cos cos3/2-= -sin tan3/2-= cot cot3/2-= tan (以上kZ) A

18、3;sin(t+)+ B·sin(t+) = (A² +B² +2ABcos(-) · sin t + arcsin (A·sin+B·sin) / A2 +B2; +2ABcos(-) 表示根号,包括中的内容诱导公式 sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin sin(-) = sin cos(-) = -cos sin(+) = -sin cos(+) = -cos tanA

19、= sinA/cosA tan/2cot tan/2cot tantan tantan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式 sin=2tan(/2)/1+(tan(/2)² cos=1-(tan(/2)²/1+(tan(/2)² tan=2tan(/2)/1-(tan(/2)² 其它公式 (1) (sin)²+(cos)²=1 (2)1+(tan)²=(sec)² (3)1+(cot)²=(csc)² 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)²，第二个除(cos)&#

20、178;即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)co

21、t(B/2)cot(C/2) (7)(cosA²+(cosB²+(cosC²=1-2cosAcosBcosC (8)sinA²+sinB²+sinC²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) 编辑本段内容规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质： 1 根据右图，有 sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y。 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比方以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为，BOD为，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 A(cos,sin),B(cos,sin),A'(cos(-),sin(-) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) c