广西南宁市江南区江西中学人教版高中数学选修2-2教案：1.5定积分的概念

1、课题：定积分的概念课时：18课型：新授课教学目标：L通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2 .借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分.3 .理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义.教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义.教学过程：1 .创设情景复习：1 .回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤:芬叶，直代g求利评体限(逼近2 .对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点.2 .新课讲授1.定积分的概念般地，设函数f(x)在区间a,b上连续，用分

2、点a=x0:x1：二x2：:xij:xi：|:xn=bba将区间a,b等分成n个小区间，每个小区间长度为Ax(ix=a),在每个小区间bf(i)nnkxj上取一点。(i=1,2J|,n),作和式：&=£f(£)Ax=£如果Ax无限接近于0(亦即nT+8)时，上述和式Sn无限趋近于常数S,那么称该常数bS为函数f(x)在区间a,b上的定积分。记为：S=Jf(x)dxb积分上限，a积分下限。S ( nT + 8时)称为a其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，a,b为积分区间,b说明：(1)定积分ff(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数abff(x)d

3、x,而不是Sn.a(2)用定义求定积分的一般方法是：分割:n等分区间Ia,bl；近似代替：取点f (x)dx = lim % f i b-aan - Tnt2S = v v(t)dt ；t1b_ab二f(。)；取极限:nb(3)曲边图形面积：S=f(xdx;变速运动路程ab变力做功W=F(r)dra从几何上看,如果在区间目上函数)连续且恒有.那么定枳分f/Jkb表示山直线=”3T小公.了=。和曲线了二/Q)所围成的曲边梯形f图1.5-7中的阴影部分)的面积.这就是定积分,3的JL何意义.bx轴下方的面积去负说明：一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直线ax

4、=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在号.(可以先不给学生讲)分析：一般的，设被积函数y=f(x),若y=f(x)在a,b上可取负值。考察和式f(x1)Ax十f(x2)Ax+1十f(x)x+"|十f(xn)Ax不妨设f(xi),f(xii),|,f(xn)：二0于是和式即为f(x1)Ax+fU)Ax+|i+f(x,)Axf(x)Ax+|+-f(xn)Axb二(f(x)dx=阴影A的面积一阴影B的面积(即x轴上方面积减x轴下方的面积)2.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：b性质1idx=baabb性质2fkf(x)dx=kff(x)dx(其

5、中k是不为0的常数)(定积分的线性性质)a，abbb性质3£f1(x)tf>(x)d笈I1f(x)dd2f(xdx(定积分的线性性质)bcb性质41f(x)dx1(xdxf(f)x身d(x<acbaac(定积分对积分区间的可加性)bbbb说明：推广：f(x)二f2(x)用fm(x)dx=jf(x)dx二f2(x)dxIIIfm(x)a'a-aabc1c2b推广：f(x)dx=f(x)dxf(x)dxIIIf(x)dxaa-(1Q性质解释:性质1y=1Oab产三.典例分析例1.计算定积分j(x+1)dx分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为rr25"

6、AfMN_0aPbxS曲边形AMNB-S®边形AMPC+S曲边,形CPNB5o2性质4即：(x+1)dx=32思考：若改为计算定积分b(x+1)dx呢？改变了积分上、下限，被积函数在-2,2现了负值如何解决呢？(后面解决的问题)四.课堂练习计算卜列定积分1. j(2x4)dxj2. fxdx5.课本练习五.回顾总结1 .定积分的概念、定积分法求简单的定积分y/匕出，密,/o12x5；(2x-4)dx=9-4=511xdx=一父1父1+一父1父1=122、定积分的几何意义.六.布置作业b1 .设连续函数f(x)A0,则当a<b时,定积分(f(x)dx的符号aA.一定是正的B.一定

7、是负的C.当0<a<b时是正的D.以上都不对32 .与定积分"sinxdx相等的是3 3A.j'sinxdxB.jsinxdxD.3-.sin xdx 2 sin xdxJ JL1_3_C.(sinxdx-广sinxdxb3 .定积分的af(x)dx的大小a.与f(x)和积分区间a,b有关，与。的取法无关b.与f(x)有关,与区间a,b以及。的取法无关c.与f(x)以及匕的取法有关，与区间a,b】无关D.与f(x)以及匕的取法和区间la,b】都有关b18. xdx = 一a2bbD. (x 1)dx = xdxaa4 .下列等式成立的是bA.00Mdx=baa1 1C.(xdx=2(|xdxbb5 .已知ff(x)dx=6,则66f(x)dx=aabbb6 .已