二次函数解题技巧

1、龙文教育学科教师辅导讲义二次函数知识点总汇教学内容2y ax h k的形式，得到顶点为(h,k),对称轴是直线x h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与 抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用2(1)a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.2(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线x，故：b 0时，对称轴为y轴；一0(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；一0(即a

2、、b2aaa异号)时，对称轴在y轴右侧.(1) 一般式：2y axbx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：y ax h2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式： 已知图像与x轴的交点坐标x2，通常选用交点式：y a x x1x x2.3 求抛物线的顶点、对称轴的方法21)公式法：y axbx c a x2b2a4ac b24ab 4ac b2顶点是(,),2a 4a对称轴是直线xb2a教学目标介绍一些些能加快速度的计算公式(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为2(3)c的大小决定抛物线y axbx c与y轴交点的位置当x 0时，y

3、c，二抛物线yax2bx c与y轴有且只有一个交点0，c)：c 0，抛物线经过原点；c0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立11.用待定系数法求二次函数的解析式如抛物线的对称轴在by轴右侧，则 一a0.12.直线与抛物线的交点2(1)y轴与抛物线y ax bxc得交点为(o,c).(2)与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2bx c有且只有一个交点(h,ah2bh C).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y ax2bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数 根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的

4、一元二次方程的根的判别式判定：1有两个交点0抛物线与x轴相交；2有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；3没有交点0抛物线与x轴相离.(4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根.2(5)一次函数y kx nk 0的图像I与二次函数y ax bx c a 0的图像G的交点，由方程组y kx n2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时I与G有两个交点：方程组只有一组解时I与Gy ax bx c只有一个交点；方程组无解时I与G没有交点.(6)抛物线

5、与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax bx c与x轴两交点为A x1,0，Bx2,0，由于x1x2是方程6、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离:5、反比例函数中反比例系数的几何意义考点三、二次函数的最值2axbx c 0的两个根,x-ix2b,x1ax2aABXix22x1x2x224x1x24c(1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等(2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于(3)点P(x,y 倒原点的距离等于x2y2如下图，过反比例函数s=PM?PN=|y|?|x| |xy|。ky (kxk yx0)图像上任一点P 作 x 轴、xy k, S koy 轴的垂线P

6、M，PN，则所得的矩形PMON 的面积K如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看 是否在自变量取值范围ab4 ac b2x= 时，y最值 -2a如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当xb4ac b22a时，y最值4aX1x X2内，若在此范围内，则当4a2、函数平移规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）4、直线方程：一般两点斜截距一般直线方程ax+by+c=O2，两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式5，截距 由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式

7、：1a b记牢可大幅提高运算速度5、设两条直线分别为，li:y kix biI2:y k?x b?a2b23、直线斜率:k tany2yiX2Xib 为直线在 y 轴上的截距yyiy2x2yixi-(xxi)3,点斜知道一点与斜率y yik(xXi)4，斜截斜截式方程，简称斜截式：y= kx+ b（k 工 0）-最最常用，记牢1，一般若li/ 12，则有Iil2ki若likik26、点 P（xo，yo）到直线 y=kx+b（即:kx-y+b=0) 的距离：dkxoyob2-k2( i)2|kx。y。b k2i对于点 P （X。，y）到直线滴一般式方程ax+by+c=0 滴距离有2、 如图，已知

8、二次函数y ax24xc的图象与坐标轴交于点A （-i，0）和点B （0, -5）.（i）求该二次函数的解析式;（2 ）已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得 ABP 的周长最小.请求出点 P 的坐标.yAB3IdliliIIIIilllIIIIIi|iIIIIII解：(1)根据题意，得20 a ( 1)24a 0241) C,2 分c.1,5.二次函数的表达式为2x24x 5.4分(2 )令 y=0,得二次函数x24x5的图象与 x 轴的另一个交点坐标 C (5, 0) .由于 P 是对称轴X 2上一点,连结 AB,由于AB、OA2OB2. 26要使 ABP 的周长最小，只要由于点 A 与

9、点 C 关于对称轴x的最小值为 BC因而 BC 与对称轴x 2的交点 P 就是所求的点.PA PB最小.6 分2对称，连结 BC 交对称轴于点 P,则PA PB= BF+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA PB设直线 BC 的解析式为ykx b，根据题意，可得b 5,解得k0 5k b. b所以直线 BC 的解析式为1,5.9 分因此直线 BC 与对称轴X2的交点坐标是方程组所求的点 P 的坐标为(2, -3).压轴题中求最值此种题多分类讨论，求岀函数关系式，再求各种情况的最值,典型例题：x 2,的解，解得y x 510 分最后求出最值。2,3.1 女口图，在梯形 ABCD 中，AD

10、/F 点移动速度是 E 点移动速度的( EFG 的边长是_(用含有BC,/B=90 ,BC=6,AD=3,ZDCB- 302 倍，以 EF 为一边在x 的代数式表示)，当CB 的上方作等边 EFGx= 2 时，点 G 的位置在E、F 同时从 B 点出发，沿射线 BC 向右匀速移动.已知 设E 点移动距离为 x (x 0).占八、 、若 EFG与梯形 ABCD 重叠部分面积是 y,求1当 0vx2 时，y 与 x 之间的函数关系式；2当 2 x6 时，y 与 x 之间的函数关系式；探求中得到的函数 y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值ETFT15444解：x, D 点 当 0vx2

11、时， EFG 在梯形 ABCD 内部，所以 y= _3x2；4分两种情况：I.当 2vxv3 时，如图 1,点 E、点 F 在线段 BC 上,EFG与梯形 ABCD 重叠部分为四边形 EFNM,VZFNC=ZFCN= 30，二 FN=FC=6-2x.GN=3x-6. 由于在 RtANMG 中，/ G= 60,所以，此时 y= 3x2-、3(3x- 6)2=7 3x29 3X9 34 88 2 2 n.当 3x6 时，如图 2,点 E 在线段 BC 上，点F 在射线 CH 上,EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为 ECP/ EC= 6-x,3.y= (6 x)28图 1323、3xx8 2当 0

12、vx0 时,43 ;73.x= 2 时,y最大当 2vxv3 时，丁 y=38v32当 3x6 时，丁 y= x8.x= 3 日寸,y最大=9818时，7综上所述：当 x=y最大如图，直线y点 E 从点932y 随 x 增大而增大,C56分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点；直线y x与 AB 交于点 C,与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D.4A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB、OD 于 P、Q 两点，以 PQ 为边向3_x4（1）（2）右作正方形 PQMN 设正方形 PQMN 与厶 ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为求点 C 的坐标.当(3)0t0 时，直接写出点（4, 一）在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围.2【参考公式： 二次函数y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标为（2b 4ac b).】2a4a解：（i）由题意，得-C (3,15).3x45x.6, x解得3,154445(4)(2 )根据题意，得 AE=t, 0E=8-t.53.点 Q 的纵坐标为(8-t)，点 P 的纵坐标为t，44P