二次函数临界问题

1、二次函数临界问题一、内容分析：函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位 置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。 重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形 结合的数形结合能力。本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问 题的数学经验是核心。二、 典型例题例 1.在平面直角坐标系中，已知A( 3,2)，B( -1,2 )，完成下面问题：(1)若一次函数y=-x+b 的图象与线段 AB 有交点，则 b 的取值范围为1wbw5 .(2) 若一次函数 y=kx+3 的图象与线段 AB 有交点，贝 U k 的取值范围为_ _k

2、kw-1/3-1/3 或 k k1 1(3)若二次函数 y=ax2的图象与线段 AB 有交点，则 a 的取值范围为 a2/9.2(4)若二次函数 y=x+c 的图象与线段 AB 有交点，贝 U c 的取值范围为_-7wcw2_.小结：以上四个问题具有什么共同点区别又是什么解题过程中有哪些相同的步骤都有线段AB(不动图形)，都含一个待定系数(直接影响图形运动方式)，所求为此待定系数范围。相同步骤：1 1、画出不动图形 2 2 、确定动图形运动方式3 3、画出临界状态4 4、代入临界点求岀范围5 5 、检验临界点合理性m的取值范围.分析：临界位置(1 )与 x 轴两交点为 x=-1 或 x=3，可

3、以取到x=3 时,y=4m-1w0, mw1/4(2)与 x 轴两交点为 x=-2 或 x=4，不可以取到， B.思考：以上各定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点若线段AB上(包括端点)恰有 5 个整点,2x=3 时,y=9m-10, m1/9 综上，1/9mw1/4 例 3:抛物线y=x -4x+3与y轴交于点D与x轴交于点E、F(点E在点F的左侧)， 记抛物线在D F之间的部分为图象G(包含DF两点)，若直线y=kx -1 与图象G有两个公共点，请结合函数图象，求k的值或取值范围.y+分析：临界位置(1) 平行于 x 轴，k=0,不可以取到.T(2) 过点(3,0)，k=1/3，可以取到1x

4、综上：0k 1/3变式：抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点D与x轴交于点E、F(点E在点F的左侧)，将抛物线对称轴右侧函数值大于0 的部分沿x轴翻折，得到一个新的函数图象，若直线y=x+b与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求b的值或取值范围.b-3例 4:( 1)已知：y,x22x 3, y2kx b,若只有当2 x 2时，目2，则y解析式为丫2= -2x+1_ .2(2)将y x 2x 3 (y 0)的函数图象记为图象 A,图象 A 关于 x 轴对称的图象记为图象 B.已知一次函数y kx b.设点 H(m,0)是 x 轴上一动点，过点 H 作 x 轴的垂线，交图象 A 于点 P,交图

5、象 B 于点 Q,交一次函数图象于点 N .若只有当1 m 3时，点 Q 在点 N上方，点 N 在点 P 上方，直接写出 b 的值_ 6 或-6_ .(3)已知：ytx22x 3, y2ax2bx c(a 0)，设点 H(m,0)是x轴上一动点，过点H 作x轴的垂线，交y1于点 P,交y于点 Q 若只有当1 m 3时，点 P 在点 Q 下方，请写出一个符合题意的y2解析式_y2_= -x2+2x+3_ (满足 y=a(x+1 ) (x-3),其中 a0 开口向下或者 0a1 开口大于 y1即可).(4)已知：力2x 1, y2x m，若当x 1时，yiy?，请写出一个符合题意的m的值_m=0

6、(只需交点横坐标 m-iw1 即可，即 m 0与 x 轴的交点为 A B(1)求抛物线的顶点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点。1当 m= 1 时，求线段AB上整点的个数；2若抛物线在点AB之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有 6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围。解析：(1)解：将抛物线表达式变为顶点式y - -)-丄，则抛物线顶点坐标为(1,-1).(2)解：- 1 时，抛物线表达式为T f：,因此A、B的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB上的整点有(0,0) , (1,0) , (2,0)共 3 个；抛物线顶点为(1,-1)，则由线段AB之间的部分及

7、线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为 -1 或者 0, 所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有 5 个整点；又1112宀有抛物线表达式，令y = om疋-2mx+ rn-1 = 0，得到A、B两点坐标分别为(1一吉0),(1 +吉，即 5 个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到ZW 去V二 幣兰2。力五942.(2015 北京 27 题)在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x轴的直线,与直线y x 1交于点A,点A关于直线x 1的对称点为B,抛物线2Cl: y x bx c经过点A，Bo(1) 求点A,B的坐标；(2) 求抛物线C1的表达式及顶点坐标；若抛物线C2：y

8、 ax2(a 0)与线段AB恰有一个公共 点，结合函数的图象，求a的取值范围。Ih m当尸2討则3)如昼営A煜.吊厲时为幅芥#I3f2卜W关于直裟 I 的対称虐为叭以Za j _ _ _4,3 ( -1* 2).Q1-J：把(3,：代人劇线尸！弋得；Jf2=+3b+c(3=1-c= - 1RAA (3, 2)綁；则g沪器RAB (-1, 2),=-2jUifli顶点坐标为门，-2*.|a6. （ 2011 北京 23 题）在平面直角坐标系xOy中，二次函数0）的图象与x轴交于AB两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.(2)若一次函数 y kx 6 的图象与二次函数的图象都经过点A（ 3，m

9、），求 m(1) 求点A的坐标；(2) 当/ABC=45时，求m的值；(3) 已知一次函数y=kx+b,点P(n, 0)是x轴上的一个动 点，在(2)的条件下， 过点P垂直于x轴的直线交这个一 次函数的图象于点M交二次函数y=mX+ (n 3)x3(m 0)的图象于 N.若只有当一 2vnv 2 时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式.分析：(1 )令 y=0 则求得两根，又由点 A 在点 B 左侧且 m0, 所以求得点A 的坐标；(2)二次函数的图象与 y轴交于点C,即求得点C,由/ABC=45 , 从而求得；(3)由 m 值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得.解答：解：(1)：点 A、B 是二次函数 y=mf+ (m- 3) x - 3 (n 0)的图象与 x 轴的 交占2令 y=0 , 即卩 mx+ (m- 3) x - 3=0解得 X1= - 1,= 7-又点 A 在点 B 左侧且 m 0点 A 的坐标为(-1 , 0)3(2)由(1)可知点 B 的坐标为 一.m二次函数的图象与 y 轴交于点 C点 C 的坐标为(0，- 3)/ ABC=452(3)由(2 )得，二次函数解析式为y=x - 2x -