二次函数和图形面积

1、1 / 7二次函数与图形面积涉及图形：三角形、不规则四边形 考查设问：（1 1 ）首先求出不规则三角形或者四边形的面积；（2 2 ）通过已知图形的面积确定未知三角形的面积；（3 3）通过未知三角形的面积求点坐标。例 1 1 ：（ 20092009 陕西 2424 题 1010 分）如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且OB=2OA，点A的坐标（-1,2）.（1 1 ）求点B的坐标；（2 2 ）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3 3 ）连接AB，在（2 2 ）中的抛物线上求出点P，使得SAABP二SAABO.24 .（本题满分 10 分）解：（1）过点 A 作AF丄x轴，垂足为点 F，过点则

2、AF =2, OF =1.：OA丄OB，AOF BOE =90又；BOEOBE =90AOF OBE.RtAFO s RtOEB.2 / 7BE =2, OE =4 B(4,2)2(2)设过点A(-1,2),B(4,2),O(0,0)的抛物线为y二ax bx ca b +c = 2,I16a 4bc=2,解之，得bc = 0.1所求抛物线的表达式为尹2 2.d =2 .点 P 的纵坐标只能是 0,或 4 . (7 分)123令y=0，得x x=0.解之，得x=0,或x = 3.22符合条件的点R(0,0),P2(3,0).令y =4，得】x2_3x =4.解之，得x二3_ 41.2 2 23-

3、Z4T3+符合条件的点P3(341,4),PJ341,4).22综上，符合题意的点有四个：BEOFOEAFOl-(2分)(5分)1a =23=一,二0(3)由题意，知AB/x轴.1 1设抛物线上符合条件的点 P 到 AB 的距离为d，则SAABPAB|_dAB_AF.3 / 73-41341R(0,0),B(3,0),巳(-,4),巳(-,4) . .(10 分)2 2(评卷时，无R(0,0)不扣分)1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。4 / 72. 通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二 次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形

4、结合思想和转化思想在二次函数中的应 用。3. 掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割 补方法求图形的面积。面积两大类型类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例 1.已知：抛物线的顶点为 D （1，-4 ），并经过点 E（4, 5），求：（1）抛物线解析式；（2）抛物线与 x 轴的交点 A、B,与 y 轴交点 C；（3）求下列图形的面积 ABD、AABC、4BE、OCD、AOCE解题思路：求出函数解析式 _;写出下列点的坐标： A ； B_；C_ 求出下列线段的长： AO_ _ BO_ _ AB_ ； OC_。求出下列图形的面积 ABD、MBC、MB

5、E、8CD、8CE。类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角 形拦腰来一刀）关于 S =水平宽 铅垂高 的知识点：如图 1，过ABCS三个顶点分别作出与水平线2条直线在厶ABC内部线段的长度叫厶ABC勺“铅垂高（h） ” .我们距离叫AABC勺“水平宽”（a），中间的这垂直的三条直线，外侧两条直线之间的A图5 / 7可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC=*ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求?例 2.如图 2，抛物线顶点坐标为点C( 1,4),交x轴于点A(3, 0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线

6、AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA,PB,当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及S-CAB;是否9存在一点P,使SAPAB=SZCAB,若存在，求出P点的坐标；若不存8在，请说明理由.解题思路：求出直线 AB 的解析式是为了求出 D 点的纵坐标yD；铅垂高，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线 AB 的上方还是下方？注意：方法推导1所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为CD yCYD。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点 的纵坐标减去靠下点的纵坐标.因此，求出点 D 的坐标，是求铅垂高度 CD 的

7、关键;2所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为AB =XA-XB.为了保证这个差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去 靠左点的横坐标.6 / 7因此，求出点 A、B 的坐标，是求水平宽的关键.7 / 73在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件, 认真加以推理求解专项训练1、抛物线y = -x2-2x 3与X X轴交与 A、B （点 A 在 B 右侧），与 y 轴交与点 C, D为抛物线的顶点，连接 BD，CD，（1 ）求四边形 BOCD 的面积（2）求BCD 的面积（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行

8、转化，把你想到的思路在8 / 7图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）3、已知一抛物线与 x 轴的交点是 A (-2 , 0)、B (1 , 0)，且经过点 C (2 , 8)(1 )求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点 D 的坐标;(3 )求四边形 ADBC 的面积.4、在抛物线的对称轴上是否存点N,使得S.NAB=SABC，若存在直接写出2、已知抛物线-x-4 与X X轴交与 A、C 两点，与 y 轴交与点（1）求抛物线的顶点 M 的坐标和对称轴;B，9 / 7若不存在，请说明理由.5、如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a 工 0 经过 A(-2,0) , B(0,4) , C(2,4)三点，且与 x 轴的另一个交点为E。(1 )求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴；(3 )求四边形 ABDE 的面积.10 / 76、已知二次函数y=x-2x-3与x x轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左边)，与 y