应用反比例函数中k的几何意义解题举例

1、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积般地，如图1,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AMANL所得矩形AMO由面积为：S=AMKAN=|x|X|y|=|xy|.S矩形AMON =|k|.S AOMJk1.这就是说，过双曲线上任一点，做 X轴、Y轴的垂线，所xy=k.得矩形的面积为|k|,这是系数k的几何意义，明确了k的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题:1、求函数的解析式9例1如图2所不，在平面直角坐标系中，一次函数ykx1的图象与反比例函数yx的图象在第一象限相交于点A.过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C.如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式.9解析四边形O

2、BAC是正方形及反比例函数y2的图象x在第一象限相交于点A,则正方形OBAC的面积为：S=xy=9,所以正方形的边长为3,即点A的坐标(3,3,)。将点A(3,3,)代入直线得y=2x+1。32.特殊点组成图形的面积3例2如图3,点A、B是双曲线y上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影1,则S1S2.解析由A,B分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等,S1+S阴影=S2+S阴影=xy=3.:S阴影1图3A. 2B、m-2 C m 0 4图4SiS22+2=4。2例3如图4,A、B是函数y的图象上关于原点对称的任意x两点，BCx轴，ACy轴，ABC勺面积记为S,则（）A.S2B

3、.S4C.2S4D.S42解析.AB是函数y的图象上关于原点对称的任意两点,x1，ABC勺面积记为S=4Saod=4Xxy=4.3、求字母的值例4如图5,直线y=mx与双曲线y=k交于A、B两点，过点x作AM/Lx轴，垂足为M连结BM,若SABM=2,则k的值是（解析.直线y=mx与双曲线y=k交于AB两点，已知A,B两点关于原点O对称，所x1一以Sabm=24aom=2xy=xy=22.k=2o例5如图6,已知双曲线yOABM边OB的中点D,与直角边k人（k>0）经过直角三角形xOAB斜边OB的中点D,图6AB相交于点C.若OBC的面积为3,则k=解析：由双曲线y-（k>0）经过

4、直角三角形x设点D的坐标（x,y）,又DE/BA,点B的坐标为（2x,2y）,.OBC的面积3,1 1一=一X2xX2y=2xy=2k=3,2 2.k=3.24、求线段的长度k例6如图7,已知一次函数yx1的图象与反比例函数y的图象在第一象限相交x于点A,与x轴相交于点C,AB，x轴于点B,zAOB的面积为1,则AC的长为（保留根号）.解析：:zXAOB的面积为1,1k=1,k=2。2解方程组一y=x+1一丫二，x得A的坐标（1,2）。由一次函数yx1的图象与x轴相交于点C,.OC=1,BC=2,AB=2由勾股定理得AC=2J2。5、探讨面积的变化图8例7如图7,在直角坐标系中，点A是x轴正半

5、轴上的一个定点,（x0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，OAB的面积将会（）A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小解析A是x轴正半轴上的一个定点，OA的长度是定值，即4OAB的底边一定。3点B是双曲线y（x0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时,纵坐标y的值逐渐减小，故4OAB的面积将会逐渐减小，选B。6.确定自变量的取值范围k例8已知一次函数、1x1,点P在反比仞函数Vz（k0）的图象上，PA，x轴，垂足为xA,PB，y轴，垂足为B,且四边形AOBP（O为坐标原点）的面积为2.求k值;求所有满足y2的x;试根据这两个函数的图象，写出满足yy2的x的取值范围（只需直接写出

6、结论）.分析：根据四边形AOBP勺面积为2,可以求出反比例函数中的k值.再利用y1y2转换为一元二次方程求出相应的x（1.解：（1）四边形AOBP（O坐标原点）的面积为2,k=2.一2.一.x1解得x=-2或x=1.x由图象得当-2vx<0或x>1时，满足y1y2.点拨：反比例函数常与一次函数结合起来考查，而反比例函数独有的特性就是反比例函数图象上任意一点向坐标轴做垂线，形成矩形的面积为|k|.探究反比例函数中k的意义k反比例函数y（kw0）的比例系数k的意义，除同学们熟悉的“当k>0时，双曲线的x两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x的增大而减小；当k<0时

7、，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x的增大而增大”外，还有一个非常重k要的意义，即过反比例函数y（kW0）的图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，与两坐标x.一“k轴所围成矩形的面积都等于k;过反比例函数y（kw0）图像上任意一点作x轴（或y轴）x的垂线，且连结坐标原点，与坐标轴所围成三角形的面积都等于M.2k探允1：右P（x,y）为反比例函数y（kw。）图像上的x任意一点如图1所示，过P作PMLx轴于M彳PNLy轴于N,求矢I形PMO的面积.分析：S矩形PMO=PMPNy|xxyk-y,xy=k,S=k.探究2：若Qx, y）为反比例函数y轴于A（或作QBL y轴于E）,连结k（kw0）图像上的任意一点如图2所示，过Q作QALxxQO则所得三角形的面积为：及QOA=（或拄QOEF上）.（本题由同学们自己试着说明理由）说明：当k>0时，所围成的矩形的面积为k,三角形的面积为k;2当k<0时，所围成的矩形的面积为-k,三角形的面积为k.以上结论与点在反比例函数图2像上的位置无关yBOAx2应用举例k66yN0Mx3yykNx44k=